Modélisation de la partie hydraulique

CHAPITRE6

Modélisation de la partie

hydraulique

Chapitre 6 : Modélisation de la partie hydraulique

191

6. MODELISATION DE LA PARTIE HYDRAULIQUE

Dans ce chapitre, une étude sur les propriétes hydrauliques des milieux poreux non saturés fissurés sera présentée. Il est à rappeler que l’énergie interfaciale est liée non seulement à la courbe de rétention d’eau, mais aussi au comportement mécanique à travers la pression équivalente. Sa détermination sera donc importante et sera également étudiée dans ce chapitre.

6.1 Modélisation de la WRC et de l’énergie des interfaces

6.1.1 Hypothèses principales

La modélisation des propriétés de transfert dont l’étude bibliographique a été présentée dans le chapitre 2 (paragraphe 2.3) est généralement basée sur des hypothèses de la géométrie de l’espace poreux. Dans ce modèle actuel, s’appuyant sur des résultats expérimentaux de l’argilite et des géomatériaux similaires (roches fragiles ou semi-fragiles), les hypothèses suivantes sont adoptées :

• (1) Toutes les cavités interstitielles, comprenant à la fois les pores naturels et

les fissures générées lors des chargements, sont connectées et forment un espace poreux unique. Cette hypothèse permet aussi de relier les données

expérimentales de PSD tirées des essais (par exemple MIP… ) à la géométrie de l’espace poreux.

• (2) Les deux types de vides composant l’espace poreux : les pores naturels et les

microfissures, ont la géométrie cylindrique. Cette hypothèse est largement

utilisée et permet d’appliquer le concept de BCC et des résultats déjà obtenus. • (3) Les vides sont soit remplis d’eau soit d’air. Celle-ci est aussi conforme au

concept de BCC.

• (4) La taille des fissures est un ou plusieurs ordres de grandeur supérieure à

celle des pores naturels et le matériau est considéré comme un milieu de double porosité. Cette hypothèse a été largement utilisée pour géomatériaux

fracturées (Peters & Klavetter, 1988) (Pereira & Arson, 2013) (Zhang & Chen, 2005). Elle est aussi conforme aux observations expérimetales sur les argilites résumées dans le chapitre précédent (paragraphe 5.1.2)

• (5) L’espace poreux est totalement rempli d’eau à succion nulle (ou très petite)

et totalement rempli par l’air à grande succion élevée. Cela amène à poser

_w = 0 et _: = 1. Cette hypothèse n’est pas toujours valable avec une succion d’entrée d’air élevée, mais permet de simplifier un problème compliqué avec de nombres couplages.

A partir de ces hypothèses, on en déduit que la géométrie de l’espace poral est semblable à celle classiquement décrite dans le concept de BCC, mais avec une distribution de tailles des pores de type bimodal. En plus, avec ces hypothèses, le

192

degré de saturation effectif ∗ _{se confond avec le degree de saturation en eau}

liquide _l.

Dans la suite, on considère la relation de rétention d’eau d’abord du point de vue macroscopique (en suivant les développements énergétiques dans le chapitre précédent), ensuite du point de vue microscopique en se basant sur les hypothèses géométriques ci-dessus.

6.1.2 Formulation énergétique de la fonction de rétention d’eau et l’influence

de la porosité

La fonction de rétention d’eau est déterminée via l’équation (5-9) qui montre que son identification demande la connaissance de l’énergie des interfaces et du potentiel de Gibbs. En conséquence, elle est également influencée par des effets mécaniques qui se produisent au sein du squelette solide. La modification du degré de saturation peut provoquer non seulement le changement de la répartition spatiale de l’état hydrique et de la courbure des interfaces, mais également la déformation du squelette solide.

Cependant, dans le cas général, il est considéré que la contribution du potentiel de Gibbs à la propriété de rétention n'est généralement pas important. Dans la pratique, le degré de saturation ou la succion intervient dans l'énergie de Gibbs via les propriétés poro-élastiques (Coussy, 2010). Par conséquent, en vertu de l’hypothèses de petites perturbations, la dérivée partielle du potentiel thermodynamique par rapport à _l implique des termes pratiquement négligeables (par exemple ]¹8^0 _ou

ÙT_MN8Ú⁰) (Coussy, 2010). L’influence du deuxième terme sur le côté droit de (5-9) semble être seulement remarquable à une basse gamme de la succion (ce qui est le côté gauche de (5-9)) et peut être négligé pour la fourchette principale considérée de valeur de la succion.

Néanmoins, il semble difficile de parvenir à une telle conclusion sans tenir compte de chaque cas particulier. Par soucie de simplicité, dans ce travail, on admet l’hypothèse que : «Œ_{™ ne depend pas de} š_Š» courramment adopté dans les

modélisations des géomatériaux. Avec cette hypothèse, (5-9) se réduit, sans aucune autre considération, à :

_, = −^{¡\]±, }_¡^{l, Q^}

l ^(6-1)

Autrement dit, la fonction de rétention est liée exclusivement à l'énergie interfaciale dans ce modèle. En outre, compte tenu de choix des variables indépendantes de l'énergie interfaciale \ = \]±, _l, Q^, la pression capillaire dépend non seulement du degré de saturation, mais également de la porosité et de la variable d’endommagement _, = _,]±, _l, Q^. C'est-à-dire que la fonction de rétention ou la WRC, à travers l'énergie interfaciale, dépend à la fois de la porosité et surtout de l’endommagement. Compte tenu des hypothèses et discussions précédentes,

Chapitre 6 : Modélisation de la partie hydraulique

193

l'énergie interfaciale peut être exprimée suivant la fonction de rétention à travers une relation intégrale simple :

\ =  ^/ _,]±, ̃_l, Q^U ̃_l

Y

(6-2) avec ̃_l est la variable d’intégration.

L'équation (6-1) et (6-2) soulignent que la connaissance de la WRC dans le cas général (à toute porosité et à tout état de fissuration) conduit à la détermination de l'énergie interfaciale. Inversement, la WRC peut être identifiée si l'énergie interfaciale est connue. En outre, nous tirons à partir de l’expression (5-7) sur la relation entre l’énergie des interfaces avec la porosité, et la relation d’état (6-1) :

_,]±, _l, Q^ = ê_±^±

wë^Ó//o_,]±_w, _l, Q^ (6-3) Cette dernière équation, qui résulte de l'analyse thermodynamique, montre comment la porosité influe le comportement de rétention d'eau. On observe que l'influence de la porosité est découplée d'autres effets (endommagement, degré de saturation) ; de ce constat, il suffit d'étudier la fonction de rétention d'eau à la porosité de référence.

Il est à noter que la prise en compte de la porosité à travers le terme î₇⁷_/ï^Ó//o dans la fontion de retention d’eau (6-3) a été mentionnée dans les travaux précédents (Grgic, et al., 2005). L'exposant ]−^/_o^ garantit la cohérence thermodynamique, mais semble trop restrictif pour décrire la propriété de rétention d'eau. Par conséquent, l'expression suivante est proposée comme une généralisation de (6-3) :

_,]±, _l, Q^ = ê_±^±

wë^Ótó_,]±_w, _l, Q^ (6-4) où ℎ_. est un paramètre du modèle, à déterminer par expériences, qui évalue l’influence de la porosité sur la rétention d’eau. Notons qu’ici, la porosité intervient dans la WRC de la façon identique que (Jacinto, et al., 2009).

Pour être compatible avec (6-2), la relation (5-7) doit être modifiée comme suit : \]±, _l, Q^ = ê_±^±

wë^Ótó\]±_w, _l, Q^ (6-5) Il ne reste qu’à étudier la fonction de rétention d’eau et l’énergie des interfaces à une porosité de référence constante.

6.1.3 Fonction de rétention d’eau des milieux fissurés à porosité de référence

Les hypothèses précédentes permetent de considérer la PSD des géomatériaux fissurés comme continue et bimodale. En utilisant le concept BCC présenté dans la

194

partie 2.3.1.3, la fonction de rétention d’eau pour les milieux fissurés est étendue ci-après.

Avec l’hypothèse que _w = 0, on peut écrire (2-24) comme suit : »_l]“^ =  Ë]^ U

Ë ËÜÝ

(6-6) Comme _: = 1 on dérive que »_l]“”-•^ = ±. Autrement dit l’air du diagramme de la PSD (voir partie 2.3.1.3) ¥Yh = ±. Comme ∗ = _l , (2-26) peut être modifiée de façon suivante :

»_l(_,) =  .()U

.ß

.ß

(6-7)

Avec  est la variable d’intégration, .() = Ëî⁺ßó

. ï⁺ßó

.û comme define dans (2-26), _,”-• est la valeur maximum de la succion, correspondant au pore le plus petit : _,”-• = ⁺ßó

ËÜÝ . En adoptant une hypothèse supplémentaire que “_”MI → 0, on a _,”-• → ∞, c’est-à-dire la succion peut varier dans une fourchette de valeur très large.

De (6-7), on peut définir une fonction dite de PSD ]^ telle que:

_l]_,^ =  ]^U

v .ß

(6-8)

On trouve que ]^ =^ó₇^{].^}. Il est aisé de voir que : _l]_,”MI^ = _: = 1. En effet, la valeur minimum de la succion _,”MI peut être confondue à la succion d’entrée d’air _-8.

L’équation (6-8) montre que la fonction de rétention _l]_,^ pourrait être obtenue si la fonction de PSD ]^, déduite de la fontion de distribution statistique de la PSD Ë]^. Inversement, la fonction de PSD peut être aussi déduite lorsqu’on connait préalablement la fonction de rétention d’eau selon l’équation suivante :

]_,^ = −^¡_¡^{l],^}

, ^(6-9)

Considérons maintenant un milieu fissuré (bimodal). Supposant que la fonction de PSD de chaque mode du milieu (pores préexistants et fissures) est _.]^ (pour pores) et _,]^ (pour fissures). Par la même démarche, le résultat suivant est obtenu :

Chapitre 6 : Modélisation de la partie hydraulique 195 _l],^ = _±^±. w  _.]^U v .ß + _±^±, w  _,]^U v .ß (6-10) où ±_. et ±_, sont les porosities partielles du mode “pore” et du mode “fissure”, satisfaisant ±_.+ ±_, = ±_w. Utilisant (6-8), cette dernière équation peut s’écrire :

_l]_,^ =^±_±^.

w_l/]_,^ +^±_±^,

w_l0]_,^ (6-11)

où _l/]_,^ et _l0]_,^ sont respectivement la fonction unimodale de rétention d’eau pour chaque mode « pore » et « fissure ».

Le dernier résultat est construit à l’aide de l’analyse de la struture microscopique de l’espace poreux des milieux fissurés. Plus général, en élargissant (6-10) et en s’inspirant des travaux de (Durner, 1994) (l’expression (2-28)), l’équation suivante est postulée :

_l]_,^ = ]1 − ℎ_J^_l/]_,^ + ℎ_J_l0]_,^ (6-12) où ℎ_J est un facteur de pondération pour le mode de fissures, remplissant la condition 0 ≤ ℎ_J ≤ 1. En général ℎ_J doit être considéré comme un paramètre empirique.

L'équation (6-12) est valable pour tout état donné de fissuration et elle dispose d'une fonction de rétention bimodale à une valeur constante de la variable d’endommagement. Néanmoins, lorsque l’endommagement évolue (l’état de fissuration change), le facteur de pondération et la PSD pour chaque mode ainsi que chaque fonction unimodale de rétention d'eau vont changer. Autrement dit, ℎ_J, _l/ et _l0 devraient être en fonction de l’état de fissuration.

Par souci de simplicité, nous supposons que la PSD partielle de chaque mode reste inchangée lorsque l'état de fissuration évolue, donc les fonctions _l/ et _l0 ne dépendent pas de variable d’endommagement. Par contre, ℎ_J est supposé dépendre de l'état de fissuration du matériau.

On suppose que l'évolution de la variable d’endomagement macroscopique peut refléter les principaux effets hydromécaniques dus au développement des fissures. En réalité, les phénomènes physiques peuvent être plus complexe (dans certains cas, de nouvelles fissures créées pourraient être trop petites pour affecter réellement le comportement macroscopique, ou dans d'autres cas, ils sont isolés de sorte que leur contribution à la conductivité hydraulique est négligeable). La variable d'endommagement macroscopique est supposée être en mesure de tenir compte des changements de la microstructure et surtout de leurs conséquences sur les propriétés hydromécaniques. Cette hypothèse permet de représenter les effets de fissuration sur les fonctions hydrauliques utilisant la variable d’endommagement macroscopique Q. Plus précisément, le facteur de pondération est une fonction de la variable d'endommagement, c'est à dire ℎ_J = ℎ_J]Q^.

196

Cette fonction ℎ_J]Q^ est importante pour évaluer la WRC des milieux fissurés. Cependant, il est à noter que cette fonction modélise la partie hydraulique via une variable d’endommagement phénoménologique. Comme cette variable macroscopique Q est gouvernée par des lois d’évolution hydromécanique complexes, elle ne peut pas être déterminée à ce stade, quand le comportement mécanique n’est pas encore précisé. Elle ne pourra être déterminée que dans le

chapitre suivant, après la formulation du comportement mécanique.

La fonction de rétention d’eau est ensuite mathémathiquement réécrite à partir de (6-12) :

]_,, Q^ = 1 − ℎ_J]Q^_l/]_,^ + ℎ_J]Q^_l0]_,^ (6-13) où ]_,, Q^ représente la fonction de rétention d’eau à la porosité de référence (i.e. le cas non déformable). En d’autres termes, on a ]_,, Q^ = _,]±_w, _l, Q^ et la fonction de rétention dans le cas général (déformable) peut être déduite à l’aide de (6-4) et (6-13).

6.1.4 Expression de l’énergie des interfaces

A la porosité de référence, l’énergie des interfaces peut se réduire de (6-2) : \_w = \]±_w, _l, Q^ =  ^/ _,] _l, Q^U _l

Y

(6-14) Cette définition est opérationnelle à condition que la fonction _, = _,]_l, Q^soit connue.

Toutefois, nous n’avons pour l’instant que la fonction de rétention sous la forme _l]_,, Q^ = ]_,, Q^ (équation (6-13)). Il faut donc déterminer la fonction inverse _, = ]Ó/^]_l, Q^, en résolvant l’équation _l = ]_,, Q^.

En effet, la fonction ]_,, Q^ est définie à partir des fonctions ℎ_J]Q^, _l/]_,^ et _l0]_,^. Au vu des formes possibles de _l/]_,^ et _l0]_,^ ainsi que les fonctions de PSD dans la littérature, la fonction ]_,, Q^ est généralement complexe. Une solution explicite de l’équation _l = ]_,, Q^ selon la variable _, semble impossible.

Par conséquent, on suit plutôt une approche indirecte pour calculer l'énergie interfaciale. On utilise alors une intégration par parties sur l'équation (6-14). Notant que _, = 0 lorsque _l = 1, il vient :

\_w = −_,_l +  ], Q^U^.ß

3 ^(6-15)

Cette formule (6-15) peut être illustrée sur la Fig 6-1, dans laquelle la courbe bleue représente la WRC, correspondant à une fonction _l]_,^ ou de manière équivalente _,]_l^ à un état donné de Q et à la porosité de référence. L'énergie interfaciale, défini dans (6-14) comme l’intégrale de _l à 1 de _,]_l^, pourrait être

Chapitre 6 : Modélisation de la partie hydraulique

197

calculée comme étant l'excédent de l'intégrale de _l à _, de _l]_,^ (zone verte) sur le produit _,_l (rectangle rempli par des lignes horizontales en pointillés).

Fig 6-1. Identification de l’énergie des interfaces par intégral par parties

On observe que dans (6-15), l'énergie des interfaces est représentée par une forme explicite, mais par la pression capillaire à la place du degré de saturation. En fait, comme l’hystérésis capillaire est négligée, il existe une bijection entre _, et _l. Cela permet de représenter tous les champs hydromécaniques en fonction de la succion au lieu du degré de saturation. En d'autres termes, le choix entre la pression capillaire ou le degré de saturation comme une variable d'état est tout à fait arbitraire et équivalent.

Utilisant (6-5) et (6-15), l’énergie des interfaces est ensuite exprimée par : \]±, _,, Q^ = ê_±^±

wë^Ótó?−_l_,+  ], Q^U^.ß

3 @ (6-16)

6.1.5 Fonction de rétention d’eau des milieux fissurés à porosité quelconque

Après l'obtention de la forme analytique de \ dans le cas général, il est également intéressant de généraliser la fonction de rétention d'eau pour le cas général déformable. Cela pourrait nous aider à élucider l'impact de l’endommagement et de la porosité sur la WRC.

En outre, la forme générale de la fonction de rétention joue un rôle dans la procédure de calcul. En effet, certaines quantités dans notre modèle de comportement sont formulées en fonction du degré de saturation, tandis que d'autres sont représentées suivant la variable de la pression capillaire. La relation entre la succion et le degré de saturation est donc nécessaire pour l’implémentation du modèle. Pour ce faire, la relation (6-13) sera généralisée pour toute valeur de la porosité pour obtenir la forme _l = _l]±, _,, Q^.

198

Fig 6-2. Identification de la WRC à une porosité quelconque

La procédure de généralisation est illustrée dans la Fig 6-2, dans laquelle la courbe de rétention à l’état de référence ±_w et à une porosité quelconque ±. Ces WRCs sont représentées comme des fonctions de entre _, et _l. Remarquons que ces deux WRC sont tracées à un même état de fissuration (même valeur de Q). Alors une valeur quelconque du degré de saturation _l correspond à une valeur _, en confrontant sur la WRC]±, Q^. En considérant la WRC]±_w, Q^, cette même valeur du degré de saturation correspond à une autre valeur _,w de la succion. Il est à noter que WRC]±_w, Q^ est représentée par la fonction ]_,, Q^ définie à l’état de reference (équation (6-13)). Autrement dit, une valeur _l peut être évaluée par deux méthodes :

_l = _l]±, _,, Q^ = ]_,w, Q^. (6-17) Inversement, la succion peut aussi être représentée comme une fonction du degré de saturation : _, = _,]±, _l, Q^. Identiquement on a _,w = _,]±_w, _l, Q^. A partir de (6-4), on en déduit que :

_,w = ê_±^±

wë^tó_, (6-18)

On peut donc écrire la fonction de rétention selon (6-17) et (6-18) comme suit : _l = _l]±, _,, Q^ =  ?ê_±^±

wë^tó_,, Q@ (6-19) La dernière équation nous donne la WRC dans le cas général, à tout état de fissuration et à toute porosité.

WRCHf_r,DL ^WRCHf,DL p_c p_cr Succion 0 S_w 1 Deg Sat

Chapitre 6 : Modélisation de la partie hydraulique

199

6.2 Modélisation des lois de transfert

A part la propriété de rétention d'eau, les lois de transfert sont également très importantes pour le comportement hydraulique des géomatériaux non saturés. Elles ont été résumées dans le paragraph 2.3.2. Dans la suite, on va les étendre pour le cas des milieux fracturés.

6.2.1 Lois de transfert de l’eau liquide et de l’air gazeux

On rappelle ici les lois de transfert de l’eau liquide et de l’air gazeux, élargies pour le cas endommageable. On suppose deux hypothèses que : le changement de phase

liquide-gazeuse est négligé.

A partir de ces deux hypothèses, le gaz est donc considéré comme homogène et n’a pas de vapeur d’eau. La loi de Fick (2-54) n’est donc pas nécessaire.

La loi de transfert de l’air est rappelée à partir de la loi de Darcy (2-49) :

ª_«S= −u_v «¨ !Ùk_vÚ (6-20)

Avec k_v est la charge gazeuse et u_v est la perméabilité au gaz, calculée par (voir (2-50)) :

u_v =^Ä_º^v

v u_wvu_MIW (6-21)

Avec la perméability intrinsèque u_MIW dépendant de la structure porale du matériau, et la perméabilité relative u_wv en fonction du degré de saturation du gaz.

La loi de transfert de l’eau liquide est aussi gouvernée par la loi de Darcy :

ª_ŠS= −u_l «¨ !]k_l^ (6-22)

Avec k_l est la charge hydraulique et u_l est la perméabilité à l’eau liquide, calculée par (voir (2-32)) :

u_l =^Ä_º^l

l u_wlu_MIW (6-23)

où u_wl est la perméabilité relative à l’eau.

Il est important de remarquer que (6-21) et (6-23) sont basées sur la notion de la perméabilité intrinsèque, qui dépend seulement de la structure du matériau poreux et est indépendante du fluide considéré. Cela conduit au fait que la perméabilité intrinsèque peut être mesurée (ou calculée) soit pour l’eau à saturation complète, ou pour l’air à l’état totalement sec. Un tel concept n’est pas tout à fait expérimentalement vérifié. A titre d’exemple pour les argillites de COX, la perméabilité à l’eau à saturation complète est deux ordres de grandeurs de moins que celle à l’air à l’état totalement sec (Cariou, et al., 2012) (Charlier, et al., 2013). Par conséquent, il vaut mieux d’introduire la perméabilité « saturée » à chaque fluide

Dans le document Etude théorique et numérique du comportement poro-plastique endommageable non saturé des géomatériaux : application au stockage de déchets radioactifs (Page 190-200)