Modélisation par dynamique inverse du membre supérieur

La méthode de la dynamique inverse a pour objectif d’estimer les résultantes des efforts articulaires lors de mouvements quelconques. Le calcul de la dynamique inverse repose sur les principes fondamentaux de la dynamique (lois de Newton-Euler). Cette méthode intègre un certain nombre de choix, dont un modèle anthropométrique, un modèle des liaisons cinématiques, des données relatives à la cinématique des segments corporels et aux efforts exercés par l’utilisateur sur son environnement [Lepoutre 2011]. Ainsi, différentes données sont nécessaires pour ce modèle dynamique : les paramètres inertiels, la position des segments dans l’espace et les actions mécaniques. Les paramètres inertiels correspondent à la répartition de masse de chacun des segments du modèle afin de positionner les différents centres de masse. Ils sont obtenus à partir d’équations de régressions basées sur des données anthropométriques mesurées sur l’utilisateur directement et/ou via la capture du mouvement [Dumas et al. 2007]. La position des segments est obtenue à partir des trajectoires spatiales des marqueurs enregistrées par le système de capture du mouvement et les efforts mécaniques appliqués sur la main courante à partir d’une roue instrumentée.

Le modèle utilisé est celui développé et intégré au projet collaboratif ANR SACR FRM : Dumas et al (2004, 2007) et Desroches et al. (2010). Ce modèle intègre deux modélisations l’une dynamique et l’autre cinématique.

III.1.1. Présentation du modèle utilisé

Pour la partie dynamique du modèle : Ce modèle est constitué de trois segments du membre supérieur (main, avant-bras, bras) et du tronc, considérés comme étant des corps rigides. Les trois articulations joignant les segments sont modélisées comme étant sphériques avec trois degrés de liberté. Les entrées nécessaires à ce modèle sont les données anthropométriques, la position des segments dans l’espace (cinématique) et la cinétique mesurée au niveau de la main courante. Ce modèle utilise la formulation des torseurs et l’algèbre des quaternions. Il permet notamment d’éviter le calcul séquentiel des angles articulaires (angles d’Euler) préalable au calcul des forces et moments articulaires. L’utilisation de torseurs permet aussi de calculer les forces et les moments au cours d’une seule étape contrairement aux algorithmes qui calculent d’abord la force articulaire pour ensuite calculer le moment. Le torseur est exprimé à un point et dans un repère défini et est un vecteur six dimensions regroupant les composantes des forces (Fx, Fy, Fz) et des moments (Mx, My, Mz) (figure 22). Ainsi, les forces et les moments au point proximal (Wiproximal_{[Pi]) du segment (i) sont obtenus par la somme des forces et moments au point} distal (Widistal_{[Pi]), d’une composante dynamique (Wi}poids_{) agissant au centre de masse (Ci).} Contrairement aux forces et moments au point distal (Widistal_{[Pi]) qui sont obtenus par le principe}

d’action-réaction, en inversant les forces et les moments au point proximal du segment adjacent (Wiproximal_[Pi-1]).

Figure 22: Diagramme des corps libres et notation des torseurs de la dynamique inverse

Afin d’obtenir les forces et les moments au point proximal, il est nécessaire de transformer au point proximal les torseurs exprimés en d’autres points. En sachant que lors de ce type de transformation le produit croisé entre le bras de levier et la force appliquée au point doit être rajouté à la partie moment du torseur. Voici les transformations des trois torseurs de la figure 22 en proximal (Pi).

𝑊_𝑖𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠(𝑃𝑖) = { 𝑚𝑖𝑔 03×1+ 𝑐𝑖× 𝑚𝑖𝑔 [1] 𝑊_𝑖𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒(𝑃𝑖) = { 𝑚𝑖𝑎𝑖 𝐼𝑖𝛼𝑖+ 𝑤𝑖× 𝑙𝑖𝜔𝑖+ 𝑚𝑖𝑎𝑖 [2] 𝑊_𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙_(𝑃 𝑖) = { −𝐹𝑖−1 −𝑀𝑖−1+ 𝑑𝑖× 𝐹𝑖−1 [3]

Avec mi la masse du segment, g la constante gravitationnelle, ci le vecteur du bras de levier du point proximal au centre de masse, Ii le tenseur inertiel du segment exprimé dans le repère global, ai et αi l’accélération linéaire et angulaire du centre de masse exprimé dans le repère global, ɷi la vitesse angulaire du centre de masse exprimée également dans le repère global et di le vecteur du bras de levier mesuré du point proximal au point distal. Le torseur au point proximal (Wiproximal_{) est obtenu par la} somme des autres torseurs exprimés au point proximal :

𝑊_𝑖𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙(𝑃𝑖) = 𝑊𝑖 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠_(𝑃

𝑖) + 𝑊𝑖

𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒_(𝑃

𝑖) + 𝑊𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙(𝑃𝑖) [4]

Dans ces différents torseurs mi, ci et Ii sont calculés par des équations de régressions basées sur les longueurs segmentaires [Dumas et al. 2007]. On peut résumer l’équation des forces (Fi) et des moments (Mi) au point proximal par l’équation suivante :

[_𝑀𝐹𝑖 𝑖] = [ 𝑚𝑖𝐸3×3 03×3 𝑚𝑖𝑐𝑖 𝐼𝑖 ] [ 𝑎𝑖− 𝑔 𝛼𝑖 ] + [ 03×1 𝜔𝑖× 𝐼𝑖𝜔𝑖] + [ 𝐸3×3 03×3 𝑑𝑖 𝐸3×3] [ 𝐹𝑖−1 𝑀𝑖−1] [5]

i représentant le numéro du segment, E3x3 la matrice identité trois par trois et 03x3 et 03x1 des matrices trois par trois et un vecteur trois par un de valeur 0. Afin de généraliser cette équation, Dumas et al (2004) ont proposé une notation générique des segments (figure 23) [Dumas et al. 2004].

Figure 23: Notation générique des segments (Dumas et al 2004)

Le premier segment (i=0) sera la main courante. Le torseur proximal du segment i = 0 sera représenté par les forces et moments mesurés par la roue (F0, M0). Le modèle utilise une approche récursive pour estimer la cinétique au poignet, au coude, et à l’épaule. Les forces et les moments obtenus au point proximal d’un segment seront donc les forces et les moments distaux du segment suivant. Ainsi, les trois segments du MS (main, avant-bras, bras) ont été modélisés comme étant des corps.

Pour la partie cinématique du modèle : Les forces et les moments articulaires à l’épaule sont dans un premier temps calculés dans le repère global (annexe 1) et par la suite, calculés dans un système de référence local défini par les marqueurs au tronc. En effet, en général dans le repère global un seul des trois axes de ce repère coïncide avec un axe fonctionnel de l’articulation ne permettant pas une interprétation anatomique ou clinique intuitive alors que l’utilisation d’un système de coordonnées articulaires permet de faire ce lien entre les moments et les forces articulaires estimées et les structures anatomiques puisqu’alors les trois axes sont les axes fonctionnels de mouvement de l’articulation [Guillaume Desroches, Chèze, et al. 2010]. Cela permet également d’exprimer les moments et les forces articulaires dans le même repère que celui pour interpréter les angles articulaires. Les noms et les orientations des axes des repères orthonormés associés au repère global et aux segments corporels sont définis d’après les recommandations de l’International Society of Biomechanics (ISB) [Wu et al. 2005]. Les forces et les moments articulaires à l’épaule obtenus à partir du modèle sont d’abord calculés dans le repère global et, par la suite, exprimés dans un système de référence local défini par les marqueurs au

tronc (Cooper et al., 1999). Les forces obtenues par le modèle dans le repère global sont : antéro(+)/postérieur(-), proximo(+)/distale(-), latéro(+)/médial(+). Les moments dans le repère global se décrivent comme : adduction(+)/abduction(-), rotation interne(+)/externe(-), flexion(+)/extension(-).

La section suivante détaille le principe d’expression des moments et forces à partir des axes de rotation de chaque articulation : 𝑀 = (𝑒2×𝑒3)∙𝑀 (𝑒1×𝑒2)∙𝑒3 𝑀⏞₁ 𝑒1+ (𝑒3×𝑒1)∙𝑀 (𝑒1×𝑒2)∙𝑒3 𝑀⏞₂ 𝑒2+ (𝑒1×𝑒2)∙𝑀 (𝑒1×𝑒2)∙𝑒3 𝑀⏞₃ 𝑒3 [6]

Où M1, M2 et M3 sont les composantes du moment M sur les axes e1, e2 et e3 respectivement (figure 24)

Figure 24: Axes de rotation pour les trois articulations du membre supérieur

Définition du système référentiel local à l’épaule : La première rotation (e1) s’effectue autour de l’axe médio-latéral du segment thorax (figure 24, Zthorax). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la flexion (+) et l’extension (-) de l’épaule tandis que les déplacements et forces articulaires sont la distraction (+) et la compression (-). La troisième rotation (e3) s’effectue autour de l’axe longitudinal du segment humérus (figure 24, Yhumerus). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la rotation interne (+) et externe (-) du bras tandis que les déplacements et forces articulaires sont proximal (+) et distal (-). La deuxième rotation (e2) s’effectue autour de l’axe dit flottant, obtenu à partir du produit vectoriel entre les axes e1 et e3 (figure 24, XS_floating). Les rotations et moments définis

sur cet axe représentant l’adduction (+) et l’abduction (-) de l’épaule tandis que les déplacements et forces articulaires sont antérieur (+) et postérieur (-).

Définition du système référentiel local au coude : La première rotation (e1) s’effectue autour de l’axe médio-latéral de l’humérus (figure 24, Zhumerus). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la flexion (+) et l’extension (-) du coude tandis que les déplacements et forces articulaires sont la distraction (+) et la compression (-). La troisième rotation (e3) s’effectue autour de l’axe longitudinal de l’avant-bras (figure 24, Yforearm). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la pronation (+) et la supination (-) du coude tandis que les déplacements et forces articulaires sont proximal (+) et distal (-). La deuxième rotation (e2) s’effectue autour de l’axe dit flottant, obtenu à partir du produit vectoriel entre les axes e1 et e3 (figure 24, XE_floating). Les rotations et moments définis sur cet axe représentant l’adduction (+) et l’abduction (-) du coude tandis que les déplacements et forces articulaires sont antérieur (+) et postérieur (-).

Définition du système référentiel local au poignet : La première rotation (e1) s’effectue autour de l’axe médio-latéral de l’avant-bras (figure 24, Zforearm). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la flexion (+) et l’extension (-) du poignet tandis que les déplacements et forces articulaires sont la distraction (+) et la compression (-). La troisième rotation (e3) s’effectue autour de l’axe antéro- postérieur de la main (figure 24, Xhand). Les rotations et moments définis sur cet axe représentent la déviation ulnaire (+) et la déviation radiale (-) du poignet tandis que les déplacements et forces articulaires sont proximal (+) et distal (-). La deuxième rotation (e2) s’effectue autour de l’axe dit flottant, obtenu à partir du produit vectoriel entre les axes e1 et e3 (figure 24, YW_floating). Les rotations et moments définis sur cet axe représentant la rotation interne (+) et la rotation externe (-) du poignet tandis que les déplacements et forces articulaires sont antérieur (+) et postérieur (-).