Modélisation numérique des écoulements souterrains

Un modèle est une simplification de la réalité, devant être la plus conforme possible du point de vue des mécanismes et processus simulés (Dassargues, 1990). Le niveau de détail exigé dans le modèle géologique dépend du but pour lequel le modèle est développé. En hydrogéologie, les modèles sont mis en place pour une meilleure connaissance et une gestion durable des eaux souterraines (Rapantova et al., 2007 ; Atteia, 2011 ; Leray et al., 2013). En effet, les informations sur la ressource en eau souterraine sont souvent ponctuelles. Elles ne sont connues qu’en des points particuliers (forage, piézomètre). Elles ne peuvent pas alors servir de support de prise de décisions. Afin de vaincre cette contrainte, le comportement du système étudié est retranscrit en équations mathématiques : on parle alors de modèle mathématique. Ce modèle peut être soit déterministe (associant par une relation unique avec des paramètres à valeur unique la cause d’un phénomène et les résultats) soit stochastique (les paramètres et les variables indépendantes sont des variables aléatoires). La plupart des modèles hydrogéologiques utilisés aujourd’hui sont des modèles mathématiques déterministes (Konikow, 1996). Ces modèles nécessitent généralement la résolution d’équations différentielles partielles. Ces équations peuvent être résolues soit analytiquement soit

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numériquement. L’approche analytique est adaptée pour les cas jugés “simples” car son application requiert une importante simplification des paramètres et des limites du système. Cependant, l’hétérogénéité et la variabilité des propriétés des aquifères, sont les caractéristiques de tout système géologique. Celles-ci influencent fortement les processus d’écoulement des eaux souterraines dans les aquifères de socle (Konikow, 1996). Il est donc judicieux d’utiliser l’approche numérique. Elle permet de réaliser des modèles à paramètres distribués. Les propriétés du système peuvent être alors représentées spatialement de façon plus réaliste. Par ailleurs, les modèles hydrogéologiques sont de types physiques déterministes, car basés sur l’application des lois physiques générales (comme la loi de Darcy et la loi de continuité) et les variables ont une valeur fixée.

2.3.4.1. Equations régissant les écoulements souterrains

Les modèles hydrogéologiques sont élaborés en combinant des lois physiques. Ainsi, les écoulements souterrains sont décrits par des équations qui dérivent de la loi de Darcy et de la loi de conservation de masse.

 Loi de Darcy : La loi de Darcy permet de déterminer le flux d’un fluide à travers un milieu poreux. Dans un problème à une dimension, elle s’exprime selon l’équation 1 :

𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑 ℎ

Avec,

q est le flux à travers un milieu poreux. Il a la dimension d’une vitesse. h (m) exprime la charge hydraulique.

 Principe de conservation de masse : Le principe de conservation de masse est décrit par l’équation de continuité (équation 2). Il stipule que dans un volume élémentaire, la quantité d’eau sortant pendant un intervalle de temps est égale à la somme de la quantité d’eau entrant et de la quantité d’eau stockée ou relâchée pendant ce même intervalle de temps :

div(p. q) +

𝜕𝑡

(𝑝. ∅𝑡) + pq

= 0

avec q’ : somme algébrique des débits prélevés et apportés, ρ : masse volumique de l’eau et ϕt : porosité totale.

 Equation de diffusivité : L’équation de diffusivité régit les écoulements souterrains en milieux poreux. Pour un fluide incompressible de masse volumique et de viscosité

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dynamique constante (Equation 3). Cette équation est obtenue en associant la loi de Darcy (équation 1) et l’équation de continuité (équation 2) :

𝑑𝑖𝑣(𝑘𝑔𝑟𝑎𝑑 ℎ) + 𝑞′ = 𝑆

𝜕𝑡 (Eq.3) Où 𝑆_𝑠 représente le coefficient d’emmagasinement spécifique (𝑆_𝑠 = 𝑆/𝑒)

2.3.4.2. Méthodes de résolutions de l’équation de diffusivité

Les méthodes numériques donnent des solutions approchées de l’équation de diffusivité de base, à travers la discrétisation de l’espace et du temps. Les méthodes qui sont communément utilisées sont : la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Ces méthodes ont chacune des avantages et des inconvénients. Dans les deux cas, la modélisation nécessite que le système aquifère soit discrétisé (ou segmenté) en mailles (ou cellules) de formes variables. A l’intérieur du domaine discrétisé, les valeurs des propriétés internes, des conditions aux limites et des perturbations du système sont approximées. La figure 12 présente un exemple de système aquifère avec des limites imperméables et un champ captant (figure 12a), qui a été discrétisé avec un maillage en différences finies (figure 12b) et un maillage en éléments finis (figure 12c).

Figure 12 : (a) discrétisation d’un aquifère ; (b) maillage en différences finies et (c) maillage en

éléments finis (Konikow, 1996)

L’application de la méthode des différences finies nécessite un maillage du système étudié généralement en des cellules rectangulaires. Cependant, des modifications permettent de resserrer le maillage au niveau d’une zone d’intérêt comme ici au droit du forage (figure 12b). Cette méthode présente l’avantage d’être simple à appliquer. Ainsi, elle permet de traiter une grande variété de problèmes. Toutefois, elle est difficile à mettre en œuvre pour des géométries très complexes, totalement en 3D et très hétérogènes.

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Dans la méthode des éléments finis, le domaine peut être représenté par des cellules polygonales quelconques telles que les triangles et les quadrilatères. Il est plus difficile à comprendre et à programmer que la méthode des différences finies mais il est beaucoup plus flexible géométriquement. En effet, cette méthode admet toute forme et toute taille d’éléments finis. De ce fait, la complexité des formes aux frontières, l’hétérogénéité et les sollicitations externes sont représentées de façon plus précise. Elle admet toutes les directions d’anisotropie et les hétérogénéités très marquées.

2.3.4.3. Conditions aux limites

Un modèle numérique ne peut fonctionner que si on définit des conditions aux limites ; c’est-à dire aux bornes du domaine ou au voisinage des cellules inactives. En effet, le modèle est conditionné par le fait que l’eau rentre ou sort à ces limites (Atteia, 2011). Il faut spécifier les paramètres du sol ainsi que les données qui expriment l’état initial (t=0). Les conditions aux limites peuvent être de trois types :

- 1^er type, condition de type « Dirichlet » ou de potentiel : définition de quantités imposées (niveaux piézométriques, limites artificielles, …) ;

- 2^èmé type, condition de type « Neumann » ou de flux : définition d’un flux (lié à une précipitation effective, une irrigation, un drainage, une surface imperméable, …) ;

- 3^ème type, condition mixte de type « Cauchy » ou mixtes : définition d’un transfert, fonction d’une élévation prédéfinie (interface nappe/rivière, …).

2.4. Périmètres de protection