Modélisation de la MADA

II.8.1. Présentation de la MADA

La machine asynchrone à double alimentation présente un stator analogue à celui des machines triphasées classiques (asynchrone à cage ou synchrone). L'originalité de cette machine provient du

29 fait que le rotor n'est plus une cage d'écureuil coulée dans les encoches d'un empilement de tôles mais il est constitué de trois bobinages connectés en étoile dont les extrémités sont reliées à des bagues conductrices sur lesquelles viennent frotter des balais lorsque la machine tourne (Figure. II.18).

FigureII.18 : Structure du stator et des contacts rotoriques de la MADA

II.8.2. Mode de fonctionnement de la MADA

Contrairement à la machine asynchrone classique, qui ne peut fonctionner en moteur qu’en dessous de sa vitesse de synchronisme et ne peut être en générateur qu’au-dessus de cette vitesse, la MADA a la possibilité de fonctionner en hyper synchronisme ou en hypo synchronisme aussi bien en mode moteur qu’en mode générateur. On a donc quatre modes opérationnels caractéristiques de la machine. Les différents modes de fonctionnement de la MADA sont décrits ci-dessous (Figure II.19) :

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II.8.2.1 Moteur en hypo/hyper synchronisme - Moteur en hypo synchronisme

L'énergie absorbée du réseau (figureII.19(1)) est transformée partiellement en énergie mécanique. L’autre partie est injectée au réseau à travers les contacts glissants du rotor. Pour les moteurs à cage, l'énergie de glissement est dissipée en pertes Joule dans le rotor.

- Moteur en hyper synchronisme

La puissance statorique est fournie par le réseau (figureII.19(2)) ainsi que la puissance de glissement. Les machines à cage ne peuvent avoir ce type de fonctionnement car celui-ci ne peut être obtenu qu’à l’aide d’un accès au rotor via un circuit électronique.

II.8.2.2 Génératrice en hypo/hyper synchronisme - Génératrice en hypo synchronisme

L’énergie mécanique est transmise à l’arbre de la machine, celui-ci la fournit au stator, lequel la transmet au réseau (figure II.19(3)). Afin de permettre un fonctionnement hypo synchronisme, l’énergie de glissement, provenant du réseau, se doit d’être transmise au rotor. Ainsi pour le fonctionnement générateur hypo synchronisme, une alimentation du circuit rotorique à fréquence variable permet de délivrer une fréquence fixe au stator même en cas de variation de la vitesse de rotation. Il est évident qu’un moteur à cage ne peut avoir ce type de fonctionnement, car celui-ci n’a pas d’accès permettant un apport de puissance au rotor.

- Génératrice en hyper synchronisme

La puissance fournie au réseau (figureII.19(4)) par le stator et la puissance de glissement est récupérée via le rotor pour être réinjectée au réseau. On a donc le fonctionnement générateur au-dessus de la vitesse de synchronisme. La machine asynchrone a cage classique peut avoir se mode de fonctionnement, mais dans ce cas la puissance de glissement est dissipée en pertes joule dans le rotor.

II.8 .3. Description de la machine asynchrone à double alimentation :

La machine asynchrone double alimentée dont on étudie la mise en équations correspond à la structure de principe représentée sur la Figure (II.20). Les armatures magnétiques du stator et du rotor sont cylindriques, séparée par un entrefer constant, et munies chacune d’un

31 enroulement triphasé. Le stator comporte 3 enroulements dont les axes magnétiques , et sont décalés dans l’espace de 120°. Le rotor (rotor bobiné) comporte 3 enroulements triphasés à même nombre de pôles que celui du stator. Ces 3 bobinages dont les axes magnétiques , et sont décalés dans l’espace de 120°.

Figure II.20 : Représentation schématique de la machine asynchrone à double alimentations.

II.8.4.Hypothèses simplificatrices

Pour la modélisation de la MADA, on adopte les hypothèses simplificatrices suivantes : Le circuit magnétique n’est pas saturé, ce qui permet d’exprimer les flux

comme fonctions linéaires des courants.

Les pertes par hystérésis et courant de Foucault sont négligeables. On se limite au premier harmonique d’espace de la distribution de force

magnétomotrice criée par chacune phase du stator et du rotor, d’où résulte du fait que l’entrefer est constant, que les inductances mutuelles entre deux enroulements varient sinusoïdalement en fonction de l’angle entre leurs axes magnétiques et les inductances propres sont constantes.

Les résistances ne varient pas avec la température et l’effet de peau est négligé. Les pertes mécaniques sont négligeables.

L’influence de l’échauffement sur les caractéristiques n’est pas prise en compte. Ces hypothèses ont pour conséquences :

- les inductances propres entre les enroulements statoriques sont constantes. - les inductances propres entre les enroulements rotoriques sont constantes.

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II.8.5.Equations électriques

Avec les hypothèses citées ci-dessus, les équations des tensions des phases statorique et rotoriques qui décrivent le fonctionnement de la machine s’écrivent comme suit :

{[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ^(II.26) Les flux sont donnés par :

{[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] ^(II.27) Avec : [ ] [ ] ,[ ] [ ] ,[ ] [ ] , [ ] [ ] (II.28) Tel que :

[ ] : Vecteur des tensions statoriques et [ ] : Vecteur des courants statoriques.

[ ] : Vecteur des tensions rotoriques et [ ] : Vecteur des courants rotoriques. Et

[ ] ( ) , [ ] ( ) (II.29) où et sont respectivement les résistances rotoriques et statoriques.

[ ] Est la matrice des inductances statoriques, elle est donnée par :

[ ] [ ] (II.30) [ ] Est la matrice des inductances rotoriques, elle est donnée par :

33 , Inductance propre d’une phase statorique, rotorique. Inductance mutuelles entre deux phases statoriques et deux phases rotoriques.

Inductances mutuelles maximale entre deux phases statoriques et deux phases rotorique. La matrice des inductances mutuelles (matrice de couplage rotor-stator) s’écrit :

[ ] [ ( ) ^{( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (II.32) avec: [ ] [ ]

En remplaçant (II.27) dans (II.26), on obtient le système suivant :

{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ([ ][ ]) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ([ ][ ]) ^(II.33)

-Equations mécanique de la machine

Le couple électromagnétique est donné par l’expression générale suivante :

[ ]

([ ][ ]) (II.34) Donc l’équation mécanique de la machine s’écrit :

(II.35) La résolution analytique dans ce repère est très difficile car le système d’équation est à

coefficients variables en fonction de (angle de rotation de la machine).

II.8.6. Modèle de la machine asynchrone à double alimentation dans le plan dq

Le but d’un changement de repère est de rendre l’écriture des équations électriques et mécanique plus simple à exploiter. Dans notre étude nous avons utilisé la transformation de Park. La transformation de Park consiste à transformer les enroulements statoriques et rotoriques en enroulements orthogonaux équivalents, afin d’obtenir un modèle mathématique plus simple que le modèle physique du système [19] [20].

34 Figure II.21: Représentation de la MADA triphasée dans le repère de Park. Les deux bobines d et q, produisent le même effet que les trois bobines réelles fixes.

d : axe directe stator et rotor. q : axe en quadrature stator et rotor.

La matrice de transformation est définie par :

[ ] √ [ ( ) ^{( ) ( )} ( ) ( ) ( ) √ √ √ ] (II.36)

où est l’angle entre l’axe et l’axe de référence dans le système triphasé ( pour les grandeurs statorique et pour les grandeurs rotorique).Tous les équations électrique de la MADA sont d’écrit dans le repère .

Le passage du système biphasé au système triphasé est défini par le produit matriciel suivant :

[ ] [ ( )] [ ] (II.37) Les tensions rotoriques , , et les tensions statoriques , , sont transformées en composantes directes et en quadratures , , , . Les tensions statoriques et rotoriques sont :

35 * + [ ( )] [ ] , * + [ ( )] [ ] (II.38)

Les équations dynamiques de la machine sont exprimées par :

{ (II.39) Avec :

est la pulsation électrique statorique, est la pulsation électrique rotorique. et sont respectivement les résistances des bobinages statoriques et rotoriques. , , , Sont les composantes directs et en quadratures des flux statoriques et rotoriques. { (II.40)

L’expression générale du couple électromagnétique résulte de la dérivée de la Co-énergie par rapport à l’angle mécanique de rotation. Dans le repère ( ) l’équation devient :

( ) (II.41) Avec est le nombre de pair du pôles, Inductance propre statorique.

A noter qu’en conversion générateur le couple résistant sera remplacé par le couple moteur , qui issu du multiplicateur dans notre système procédé d’un signe (+) dans l’équation (II.23) et le couple sera procédé d’un signe (-).

II.8.7. Choix du référentiel

Le choix du référentiel dépend du problème à étudier. Il existe trois types de référentiel pour la machine asynchrone dont le choix dépend du type de problème à étudier.

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II.8.7.1. Référentiel lie au stator

Ce repère de référence est le mieux adapté pour les grandeurs instantanées. Il est utilisé pour l’étude des variations importantes de la vitesse de rotation de la machine [12]. Il est caractérisé par : , , { (II.42)

II.8.7.2. Référentiel lie au rotor

Ce référentiel est choisi pour étudier les problèmes durant les régimes transitoires où la vitesse de rotation est constante. Il est caractérisé par : , , et 0.

{ (II.43)

II.8.7.3. Référentiel lie au champ tournant

Ce référentiel est souvent utilisé dans le cas où la fréquence d’alimentation est constante. Ce qui justifie sa large utilisation dans le domaine de la commande des machines asynchrones. Il est caractérisé par : , ,

et ( ) . { ( ) ( ) (II.44)

37 Dans notre étude, nous avons opté pour le repère immobile par rapport au stator. C’est le référentiel le mieux adapté pour travailler avec les grandeurs instantanées ; il possède des tensions et des courants réels et peut être utilisé pour étudier les régimes de démarrage et de freinage des machines à courant alternatif.

II.8.8. Mise sous forme d’équation d’état

Pour obtenir le modèle complet de MADA, on remplace les expressions des flux dans les équations de tension, on obtient quatre équations électriques en fonction des composantes des courants et/ou flux statorique et rotorique, l’association mécanique aux quatre équations électrique donne le modèle de la machine asynchrone à double alimentation dans le repère de Park. En choisissant le vecteur d’état ( ) et les grandeurs et comme entrées de commande on obtient le modèle sous forme de représentation d’état :

{ ( ) ( ) (II.45) , ( ) , et ( )

Par ailleurs, les puissances active et réactive statorique est données par :

Puissances statoriques : { ( ) ( ) ^(II.46) Puissances rotoriques : { ( ) ( ) ^(II.47)

, sont les flux statorique et rotorique diphasés dans un repère tournant. est la vitesse de rotation de la machine.

38 Figure II.22 : Schéma bloc de simulation de la MADA alimentée en tension par le réseau