2.3 Utilisation d’un miroir de Bragg désaccordé
2.3.2 Modélisation : méthode de la matrice de réflexion
Dans le cas d’un empilement de plusieurs couches, notamment avec une couche piézoélectrique (cas du miroir de Bragg) nous utilisons la mé- thode de calcul par la matrice de réflexion [RPBL03]. Cette méthode ba- sée sur une formulation des champs électromécaniques, a été proposée par Fahmy et Adler en 1973 [RPBL03]. Elle propose de rechercher la solution de propagation comme étant la superposition de huit ondes planes par- tielles représentées matriciellement par ~h = F.∆(x2)~aejω(t−s1x1−s3x3) où
~h = u1u2u3φ T21 jω T22 jω T23 jω D2 jω T = (u1, u2, u3, φ, τ21, τ22, τ23, D2)T avec
F la matrice des polarisations, ∆ la matrice diagonale portant les dépen-
dances en x2, ~a le vecteur des amplitudes des ondes partielles, ui les défor-
mations mécaniques suivant xi, φ le potentiel électrique, Tij les contraintes
mécaniques, τij la contrainte tensorielle et D2le déplacement électrique nor- mal. h est le vecteur d’état du système et représente le vecteur des champs électromécaniques continus à chaque interface. La méthode est basée sur un calcul récursif de matrices de réflexion reliant les amplitudes des ondes partielles se propageant dans le sens x2 > 0, aux amplitudes des ondes se
propageant dans le sens x2 < 0 (Fig. 2.17). Pour les ondes partielles eva-
nescentes, on note comme réflechies celles évanescentes dans le sens des x2 décroissant et transmises celles évanescentes dans le sens des x2 croissants.
La matrice de réflexion pour la première couche Rb1 est déterminée au préa- lable en fonction des conditions aux limites. Le calcul est effectué pour une valeur de la lenteur s1 suivant x1. s1 est liée à la fréquence et au vecteur
d’onde des ondes de Lamb par la formule :
Figure 2.17 – Calcul récursif de la méthode de la matrice de réflexion de la couche n + 1 à la couche n.
Nous distinguons trois cas :
1. Connaissant la matrice de réflexion RBn en bas d’une couche (exposant
B pour Bas), on détermine la matrice RH
n (exposantH pour Haut) en
haut de la même couche en prenant en compte les termes de propaga- tion selon l’axe x2. On montre ainsi que [RPBL03] :
RHn = ∆(ref )n (en)RBn∆(inc)n (−en) (2.30)
où ∆(ref )n et ∆(inc)n sont respectivement les restrictions de la matrice
∆ aux ondes partielles réfléchies et transmises contenant l’information sur la phase décrivant la propagation dans l’épaisseur de la couche n :
∆n(x2) = diag[e(−ωsm2,nx2)] = ∆ (trans) n (x2) 0 0 ∆(ref )n (x2) ! (2.31)
2. La matrice de réflexion RBn+1 à l’interface inférieure d’une couche est calculée à partir de la matrice de réflexion RTn du haut de la couche située immédiatement en-dessous en utilisant les relations de continuité du vecteur d’état (Fig.2.18) à l’interface entre les deux couches :
hn(xinterface) = hn+1(xinterface) (2.32) On aboutit à la relation [RPBL03] : RBn+1= B.A−1 (2.33) où : A B ! = Fn+1−1 .Fn Id4×4 RHn ! (2.34)
Figure 2.18 – Calcul de la matrice de réflexion de couche n + 1 à partir de celle de la couche n en utilisant la continuité de la «grandeur» ~h.
(a) Structure avec un substrat semi- infini
(b) Structure avec un substrat fini
Figure 2.19 – Calcul de la matrice de réflexion RB1 pour la première couche n = 1 (a) substrat
semi-infini, (b) substrat fini.
3. Le calcul est initialisé au niveau de la couche inférieure de l’empile- ment considéré (détermination de la matrice de réflexion RB1 pour la première couche (n = 1) cf. Fig.2.19(a) et Fig.2.19(b). Cette matrice de réflection à l’interface inférieure est calculée comme suit :
– Dans le cas d’une couche semi-infinie, il n’y pas de réflexion à l’in- terface basse : RB1 = 04×41 (Fig. 2.19(a)).
– Dans le cas d’une couche d’épaisseur finie2, il n’y a donc pas de contrainte mécanique donc ~τ = ~0 et pas de densité de charge élec-
trique donc σ = 0 sur la surface inférieure. Ces deux hypothèses permettent de déduire la valeur RB1 (Fig.2.19(b)).
Pour un empilement constitué de N couches, la matrice RBN est le coef- ficient de réflexion de l’empilement des N − 1 couches inférieures. En triant les ondes partielles par polarisation, cette matrice peut s’écrire :
1. La dimension de la matrice nulle est 4 × 4 dans le cas d’une couche piézoélectrique, 3 × 3 dans le cas d’un métal, 2 × 2 dans le cas d’un liquide non conducteur et 1 (scalaire) dans le cas d’un liquide conducteur
RBN =
RBNES→ES RBNES→L RBNES→T V RBNES→T H RB NL→ES R B NL→L R B NL→T V R B NL→T H RBN T V →ES R B NT V →L R B NT V →T V R B NT V →T H RBN T H→ES R B NT H→L R B NT H→T V R B NT H→T H (2.35)
avec ES l’onde quasi-électrostatique, L l’onde quasi-longitudinale, T V l’onde quasi-transversale verticale, T H l’onde quasi-transversale horizontale. Comme le montrent les termes de la matrice RBN de l’Eq. 2.35, dans le cas des ondes de Lamb, des conversions de modes se produisent aux différentes interfaces c’est à dire qu’une onde longitudinale incidente peut se réfléchir partiellement en une onde transversale et vice-versa.
Nous nous intéressons uniquement aux réflexions d’ondes acoustiques, les termes électrostatiques ne sont donc pas considérés. Les coefficients rete- nus sont donc RBN
L→L, R B NL→T V, R B NT V →L, R B
NT V →T V. Pour tenir compte des
conversions de modes, les coefficients de réflexion «effectifs» de l’empilement constitué de N couches sont définis comme suit (Eq. (2.37)) [KDB+08] :
R∗L= r RBN L→L 2 +RNB L→T V 2 (2.36) R∗T V = r RB NT V →T V 2 +RB NT V →L 2 avec RBN L→T V, respectivement R B
NT V →L, les conversions de l’onde incidente
longitudinale (respectivement transversale) vers l’onde transversale (respec- tivement longitudinale) à l’interface basse de la dernière couche (N ) cf. Fig.
2.16.
Les coefficients de transmission «effectifs» sont calculés à partir des co- efficients de réflexion en supposant une absence de pertes :
TL∗ = 10 log1−|R∗L|2 (2.37)
TT V∗ = 10 log1 − |R∗T V|2
Pour simplifier l’analyse, nous préférons dans la suite tracer le complé- ment de ces grandeurs. Par analogie avec le cas d’une incidence normale où les conversions de modes sont négligeables, nous parlerons donc de trans- missions définies comme :
TL→L = 10. log(1 − |RL→L|2)
TT V →T V = 10. log(1 − |RT V →T V|2) (2.38)
TL→T V = 10. log(1 − |RL→T V|2)
Pour qu’une onde traverse une alternance périodique de couches, il faut que l’épaisseur des couches permettent de créer une interférence construc- tive aux interfaces. Pour minimiser le nombre de couches d’un miroir de Bragg, l’épaisseur des couches est égale au quart de la longueur d’onde dans la couche. On obtient alors des interférences destructives à chaque interface et l’onde est détruite au fur et à mesure qu’elle pénetre dans l’empilement. Donc un dimensionement est valable uniquement pour une longueur d’onde donnée (correspondant au mode partiel considéré : λL−L, λL−T V, λT V −T V,
λT V −L). Pour atteindre des performances correctes, nos dispositifs doivent
être isolés simultanément pour chacun des modes partiels. Cela est impos- sible, car on observe que les vitesses des ondes de volume longitudinales sont près de 2 fois plus rapides que celles des ondes de volume de cisaillement dans les matériaux que nous étudions. Une couche quart d’onde pour des ondes quasi-longitudinales serait donc quasiment demi-onde pour des ondes quasi-transverses. Par conséquent, le miroir correspondant présenterait une réflexion extrêmement faible pour ces dernières malgré une excellente ré- flexion des ondes quasi-longitudinales [MKFA05]. Nous cherchons ainsi le miroir qui réalise le meilleur compromis d’isolation simultanée de tous les modes partiels (appelé miroir de Bragg désaccordé par les concepteurs de résonateurs BAW).
Les matrices de réflexion et les variables mathématiques intermédiaires permettent de calculer la matrice G des fonctions de Green de l’empilement étudié ou son inverse H. La fonction de Green est la réponse impulsionnelle de la structure. Elle relie les déplacements ~u (respectivement les contraintes ~
τ ), aux contraintes ~τ appliquées (respectivement aux déplacements ~u).
~
u = G~τ (2.39a)
~
τ = H~u (2.39b)
La résolution de l’Eq. (2.39b) pour une valeur de lenteur s donnée avec des contraintes mécaniques nulles ~τ = ~0 :
H~u = ~0, ~u 6= ~0 (2.40)
permet de déterminer la fréquence des modes qui sont susceptibles de se propager dans la structure. Ces modes correspondent aux fréquences qui annulent le déterminant de la matrice ~H :
det(H) = 0 (2.41)
Le calcul est effectué pour chaque valeur de s. Les valeurs des fréquences qui annulent l’Eq. (2.41) sont tracées en fonction de s ou en fonction du vecteur d’onde k = kLamb = 2πf s. Cette courbe correspond à la courbe de
Figure 2.20 – Structure du miroir de Bragg étudié.
La sous-section suivante (Section2.3.3) présente un exemple d’utilisation de la méthode d’isolation par utilisation d’un miroir de Bragg.
2.3.3 Utilisation de la méthode de la matrice de réflexion :