Courbe de dispersion et structure multi-couches

Nous utilisons un empilement de différents matériaux parce qu’il est sou- vent difficile de déposer un matériau épais. En alternant des matériaux dif- férents, on réduit cette contrainte. L’empilement est appelé miroir de Bragg par analogie avec le miroir de Bragg classique. Le principe consiste à réduire la vitesse de phase des ondes correspondant au mode S0 par un choix ap-

proprié des couches du miroir de Bragg. Quand l’onde dans le multi-couches est plus lente que l’onde transversale dans le silicium, elle est évanescente dans le substrat et l’énergie est confinée dans la structure du résonateur et éventuellement dans la partie supérieure du silicium. La vitesse de l’onde transversale C_TSi étant plus faible que celle de l’onde longitudinale C_LSi dans le silicium, si la vitesse de phase des ondes S0 est inférieure à CTSi,

elle est aussi inférieure à C_LSi. Nous nous baserons donc uniquement sur la frontière imposée par l’onde transversale dans le silicium. La droite cor- respondant à l’onde transversale dans le substrat, marquée en couleur noire sur la courbe de dispersion délimite deux zones : une zone non isolée (par-

Figure 2.7 – Région isolée (pointillés rouge) et région non isolée (pointillés vert). La position du point de fonctionnement (rond bleu) est décalée par rapport au point d’intersection pour garantir une isolation suffisante.

tie marquée en pointillés rouges sur la Fig. 2.7) et une zone isolée (partie marquée en pointillés verts sur la Fig.2.7)

Dans cette étude, nous avons constaté une variation sensible de la vi- tesse des ondes guidées en fonction de l’épaisseur du réseau d’isolation. Les matériaux sont choisis en tenant compte de la maîtrise des procédés techno- logiques, de la minimisation du couplage électrique parasite avec le substrat et de leurs propriétés acoustiques. Au CEA/Leti, les matériaux utilisés pour la fabrication technologique des couches d’isolation des résonateurs BAW sont le SiO2/W ou le SiN/SiOC [Vol07]. Dans l’exemple montré ci-dessous,

nous utilisons des couches de tungstène (W ) et d’oxyde de silicium (SiO₂). Pour cela nous partons d’une épaisseur initiale e₀ = e_W. L’épaisseur e_SiO2 du SiO2est choisie proportionnelle à celle du W , pour conserver un rapport

d’épaisseur constant :

eSiO2 =

eW.CT_SiO2 CTW

(2.28)

où CTW et CT_SiO2 représentent respectivement les vitesses transversales du

tungstène (W ) et de l’oxyde de silicium (SiO₂).

Sur la Fig.2.8, nous traçons les courbes de dispersion pour l’onde S₀ du guide d’onde, pour différentes valeurs de l’épaisseur des couches de tungstène (eW) :

Nous remarquons qu’avec l’augmentation de l’épaisseur des couches de tungstène e_W :

Figure 2.8 – Évolution de la courbe de dispersion en fonction de l’épaisseur du tungstène (W).

1. La fréquence minimale pour laquelle la vitesse de phase de l’onde S₀ du guide devient inférieure à la vitesse de l’onde transversale dans le silicium diminue (ronds marqués en bleu sur la Fig. 2.8).

2. Les fréquences sont plus faibles (Fig.2.8) pour un même vecteur d’onde

k1, car l’épaisseur totale du guide augmente.

3. A partir d’une certaine valeur de l’épaisseur, nous constatons une dimi- nution forte de la fréquence pour les mêmes valeurs du vecteur d’onde. La diminution citée en 3 indique une plus forte évanescence et donc un meilleur isolement du substrat.

2.2.3.2 Simulation numérique

Comme décrit plus haut, le but est d’isoler le guide d’onde (partie active) du substrat sur lequel il est conçu. Nous utilisons deux outils pour étudier et simuler les résonateurs. La simulation par éléments finis (FEM pour Fi- nite Element Modeling) et la simulation par une méthode de matrice de réflexion [PLB02], [RPBL03]. L’épaisseur d’un substrat silicium classique varie entre 0.5 et 1 mm d’épaisseur en fonction de son diamètre, l’épais- seur du résonateur est de l’ordre de 2 µm soit un rapport de plus de 500. Ce rapport complique beaucoup la mise en œuvre de simulations par élé- ments finis, car il accroît le nombre de degrés de liberté des problèmes à résoudre. En gardant un maillage uniforme, nous aurions un nombre très important d’éléments au niveau du substrat augmentant considérablement le temps de calcul. Nous pourrions penser à un maillage progressif (la taille

Figure 2.9 – Structure telle que décrite dans le cas du calcul avec le modèle BEM (méthode des éléments de frontière).

des éléments devient de plus en plus grande au fur et à mesure que nous nous éloignons de la zone active du guide). Le problème d’un tel maillage est qu’il perd l’interpolation d’une longueur d’onde rendant les résultats aléa- toires (cf. théorème d’échantillonnage de Shannon [Jer77], [SA07], [Lal02]). Ce phénomène rendra le résultat du calcul inexact et l’erreur résultante est difficilement quantifiable à cause du fait que nous ne connaissons pas les ondes qui ont été affectées par l’erreur d’interpolation. Pour pallier ce pro- blème, nous utilisons une méthode BEM (Boundary Elements Method ou méthode d’éléments de frontière) [EDV06]. Cette méthode permet de tenir compte du fait que le substrat soit semi-infini. Dans le cas d’une simulation en deux dimensions, il suffira d’indiquer une ligne d’éléments de frontière, représentant le reste du substrat (Fig.2.9).

Une fois le point de fonctionnement choisi, nous en déduisons le vecteur d’onde k_r correspondant. La période ou la largeur est calculée en fonction de la longueur d’onde λr =

2π

kr

.

Dans la section suivante (Section 2.2.3.3), nous allons décrire la métho- dologie que nous avons développée pour optimiser l’isolation du résonateur par la méthode de ralentissement des ondes.

2.2.3.3 Choix des épaisseurs pour une évanescence des ondes