Modélisation hydrodynamique d'un réacteur à lit uidisé

hydro-dynamiques dans un réacteur à lit uidisé sont plus complexes que dans un réacteur

parfaitement agité.

Dans [Otton et al., 2000], une étude approfondie a été faite pour modéliser le

compor-tement hydrodynamique d'un RLF pour avoir un modèle adapté au développement des

lois de commande. Le modèle hydrodynamique retenu à partir de cette étude correspond

à celui du type piston à dispersion axiale.

Sortie liquide Qs Sortie gaz Distributeur Qr Qe Substrat d’entrée Dégazage Substrat Biomasse Recirculation

Fig. 1.7 Réacteur à lit uidisé

Ainsi, le modèle hydrodynamique du RLF est représenté par 1.24. Il faut souligner

que dans cette équation on ne considère pas les réactions biologiques.

∂x(t,z)

∂t ⁼−U

i

∂x(t,z)

∂z ^+D

^a

∂

2

x(t,z)

∂z

2

(1.24)

avec U

i

représentant la vitesse interstitielle et D

a

le coecient de dispersion axiale.

Dans le cas du pilote particulier étudié dans [Otton et al., 2000] ces deux termes sont

calculés de la manière suivante :

U

i

= Q/s

i

;

D

a

= 7.2e−5∗Q+ 5.6e−4

où Q est le débit total (la somme du débit d'entrée et celui de recirculation : Q =

Q

_e

+Q

_r

(voir gure 1.7)) et s

_i

est la section transversale du réacteur.

La dispersion axiale a une inuence sur les composants solubles (le substrat, les cations

et le carbone en solution). La biomasse a un comportement inniment mélangé comme

dans le RPA.

Vu qu'il s'agit d'un modèle à paramètres distribués de dimension innie dans l'espace

et dans le temps, une discrétisation spatiale a été nécessaire. Pour ce faire, dans [Otton,

1998], l'auteur a eectué une étude comparative des diérentes méthodes. La conclusion

de cette étude montre que la méthode de collocation orthogonale ([Georgakis et al., 1977;

Dochain et al., 1992]) présente plusieurs avantages par rapport aux autres méthodes. En

eet, la collocation orthogonale permet de transformer (au moyen d'une matrice de

collo-cation) un système à paramètres distribués en plusieurs systèmes à paramètres localisés

interdépendants. C'est une méthode bien adaptée aux procédés chimiques et

biotechno-logiques, car elle conserve la signication physique des variables d'état et elle permet de

conserver aussi les bilans de matière et de chaleur. En revanche, sa mise en ÷uvre

expéri-mentale demande une méthodologie rigoureuse pour éviter des faux résultats. De plus, la

dimension du modèle resultant est dépendante du nombre de points de collocation,

c'est-à-dire que plus le modèle est exact plus grande est sa dimension ce qui peut occasionner

des problèmes numériques. Dans le cas de notre pilote RLF, quatre points de collocation

ont été choisis de manière à retrouver les non-linéarités les plus fortes et à avoir un

mo-dèle numériquement stable. Le choix des points de collocation ainsi que la determination

expérimentale des paramètres du modèle et de la matrice de collocation sont décrits en

détail dans [Otton, 1998].

En eet, l'application de la méthode de collocation orthogonale en quatre points

conduit à avoir quatre modèles algébro-diérentiels (un pour chaque point) liés les uns

aux autres par la matrice de collocation. Pour simplier la manipulation et l'analyse du

modèle, seule l'étape de méthanogenèse (l'étape limitante) a été considéré. C'est-à-dire

que seul l'équivalent acide acétique du substrat et seule la biomasse X

₂

ont été

repré-sentés. De plus, le taux de croissance utilise la valeur moyenne de l'acide acétique sous sa

forme acide (HS

moy

) car les bactéries suivent un comportement inniment mélangé tout

au long de la colonne, ce qui implique que le taux spécique de croissance est un taux

moyen sur l'ensemble du réacteur et il dépend donc du HS

moy

. Même s'il s'agit d'une

hypothèse qui n'est pas toujours vériée vu la complexité des phénomènes

hydrodyna-miques, c'est une bonne approximation qui va nous permettre d'étudier le procédé dans

ce type de réacteur. Il sera raisonnable de complementer cette hypothèse lors de futures

études. Ainsi, la notation que nous allons utiliser pour modéliser la digestion anaérobie

en RLF est montrée ci-dessous :

i sous-indice pour représenter une variable au point de collocation i (i=1,2,3,4) ;

t variable représentant le temps ;

z variable représentant l'espace ;

ξ correspond à S

2

, IC ouZ quand on représente la condition limite ;

ξ

_e

représente l'entrée du procédé dans la condition limite ;

ξ

0

représente la condition initiale ;

r=Q

r

/(Q

e

+Q

r

) est le taux de recyclage ;

t

r

le temps de recirculation ;

Y

1

et Y

2

coecients de rendement ;

λ

lf i

coecient pour représenter le rapport du gaz produit (CH

4

/CO

2

) ;

[S

2i

(t) ]

T

= [S

21

(t) S

22

(t) S

23

(t) S

24

(t)]

^T

;

[IC

_i

(t) ]

T

= [IC

₁

(t) IC

₂

(t) IC

₃

(t)IC

₄

(t)]

T

;

[Z

i

(t) ]

T

= [Z

1

(t) Z

2

(t) Z

3

(t) Z

4

(t)]

T

;

l

ij

est un vecteur ligne à quatre éléments, correspondant à la i

eme

ligne de la matrice de

collocation (j = 1,2,3,4) ;

l

0i

est la i

eme

valeur du vecteur d'entrée l

0

;

∆V

_ri

est le volume compris entre deux points de collocation.

Dans la partie diérentielle, la recirculation des composés dissous est prise en compte

par l'entrée du procédé. Elle est déterminée à partir des conditions limites et des conditions

initiales suivantes qui correspondent à un système à retard :

ξ(t,z = 0) = (1−r)ξ

_e

+rξ(t−t

_r

)

La partie algébrique du modèle à chaque point de collocation est donc dénie comme

suit :

HS

i

(t) +S

_i⁻

(t) +S

2i

(t) = 0

H

_i⁺

(t)S

_i⁻

(t)−K

_a

HS

_i

(t) = 0

CO

2Di

(t) +B

i

(t)−IC

i

(t) = 0 (1.25)

H

_i⁺

(t)B

i

(t)−K

b

CO

2Di

(t) = 0

Z

i

(t)−B

i

(t)−S

_i⁻

(t) = 0

La partie diérentielle du modèle au point i est décrite ci-dessous :

dX

2

(t)

dt ^{= (µ}−K

_d2

)X

₂

(t)

∂S

2i

(t)

∂t ⁼ −Y

1

µX

2

(t) + [l

ij

][S

2i

(t)]

^T

+l

0i

((1−r)S

2e

(t) +rS

24

(t−t

r

)) (1.26)

∂IC

i

(t)

∂t ^{= (1}−λ

lf i

)Y

1

Y

2

µX(t) + [l

ij

][IC

i

(t)]

^T

+l

0i

((1−r)IC

e

(t) +rIC

4

(t−t

r

))

∂Z

i

(t)

∂t ^{= [l}

^ij

^][Z

ⁱ

^(t)]

T

+l

0i

((1−r)Z

e

(t) +rZ

4

(t−t

r

))

avec les équations intermédiaires :

HS

₀

(t) = (1−r) ^S

^e

^H

+ e

K

i2

+H

+ e

+rHS

₄

(t−tr) et z

₀

= 0

HS

moy

= ¹

z

₄ 4

X

i=1

(HS

i

+HS

i−1

)(z

i

−z

i−1

)

2

µ = ^µ

^max

^HS

^moy

^(t)

K

s2

+HS

moy

(t) +

^HS2moy(t) Ki2

λ

lf i

= ^CO

^2di

K

_h

−CO

_2di

Concernant les équations de sortie, il faut considérer la production à chaque point de

collocation et faire son intégration spatiale, c'est-à-dire, la somme du méthane produit à

chaque point. Les équations s'écrivent donc comme suit :

QCH

4i

(t) = Y

1

Y

2

µX(t)∆V

ri

(1.27)

QCO

2i

(t) = λ

lf i

Y

1

Y

2

µX(t)∆V

ri

(1.28)

et après l'intégration :

CH

₄

(t) = (QCH

₄1

+QCH

₄2

+QCH

₄3

+QCH

₄4

) (1.29)

Le modèle nal a été validé expérimentalement par [Otton, 1998]. Puis un travail

complémentaire a été réalisé par [Giojelli et al., 2001] avec l'objectif de caractériser le

coecient de dispersion axial et de construire un simulateur numérique du procédé.

Par ailleurs, comme pour le cas du RPA, des expériences additionnelles peuvent être

nécessaires pour la vérication des paramètres biologiques et physico-chimiques. De la

même manière, ceci ne remet pas en cause la structure du modèle mais la valeur des

paramètres.

Dans le document Stratégies de commande intégrée intelligente de procédés de traitement des eaux usées par la digestion anaérobie (Page 32-36)