Choix des variables oues

X

_d

= ^dX

^d

dt ^=f(X

^a

^{, X}

^d

^{, u)} (4.1)

y = h(X

a

, X

d

)

avec :

X

a

= [HS H

+

S

−

CO

2d

B]

t

X

d

= [X

1

S

1

X

2

S

2

IC Z]

t

u= [D S

1e

S

2e

IC

e

Z

e

]

t

y= [Q

CH4

Q

CO2

]

t

4.2.1 Choix des variables oues

Les variables oues utilisées lors de la conception de l'observateur Takagi-Sugeno sont

choisies à partir d'une analyse des conditions opératoires du système. Cette analyse est

eectuée de manière à déduire les entrées qui ont une inuence plus importante sur le

comportement du système, notamment dans l'étape limitante, et établir ainsi des points de

fonctionnement représentatifs de la digestion anaérobie. Pour cela, le vecteur d'entrées est

légèrement modié. En eet,S

1e

étant une entrée de l'étape rapide n'a pas été considérée.

Par ailleurs,Z

e

dépend du bicarbonate ajouté pour avoir un pH initial souhaité. Ainsi, Z

e

peut être déduite en xant le pH. De plus, ce dernier est plus facilement mesurable que

les cations. Pour ces raisons, le pH, qui ne gure pas dans le vecteur d'entrées du modèle

mais qui est un paramètre essentiel pour le bon fonctionnement de la digestion anaérobie,

sera considéré à la place deZ

e

. Ainsi, les valeurs initiales et les variations sur les variables

d'entrée sont choisies de la manière suivante.

D. La valeur initiale du taux de dilution correspond à un débit d'entréeQ

_e

= 0,4l/h

et à un volume du réacteur V = 5l. La valeur nale de D correspond à Q

e

=

2,5l/h compte tenu des dimensions du réacteur. La plage de variation est donc

D= [0,08 0,5]h

−1

.

IC

e

. Le carbone inorganique initial dépend du bicarbonate ajouté pour ajuster la

valeur du pH. Ainsi, l'intervalle choisi est IC

e

= [0,03 0,08]mol/l.

S

2e

. Le substrat initialS

2e

correspond à une demande chimique en oxygèneDCO

e

=

5g/l et la valeur de la DCO maximale sera de 20g/l. Ainsi la plage de variations

pour le substrat équivalent acide acétique est S

2e

= [0,055 0,22]mol/l.

pH. Le pH optimal pour la digestion anaérobie est un pH neutre. Néanmoins, deux

choix de l'intervalle de variation sont possibles : d'un point de vue théorique, on

place le pH autour du 7 (pH = [6,6 7,4]). Mais d'un point de vue expérimental il

est plus réaliste de choisir une valeur autour de 7,5 (pH = [7 8]). En eet, il est

préférable d'avoir un pH plutôt basique pour éviter des éventuels problèmes d'acidité

lors de la phase d'acidogenèse qui a lieu avant la méthanogenèse.

Une fois les plages de variation des variables d'entrées établies, nous proposons tout

d'abord un choix empirique des variables oues et des modèles locaux puis un choix basé

sur une analyse en composantes principales.

Choix basé sur la connaissance empirique

Sachant que l'observateur ou se base sur l'interpolation des observateurs linéaires, le

modèle de la digestion anaérobie exprimé par 4.1 est linéarisé autour de plusieurs points

de fonctionnement. Dans ce contexte, comme les cations sont biologiquement inertes et

leur valeur en entrée peut être déduite en xant le pH, le vecteur des entrées ne considère

que trois éléments pour la linéarisation du modèle :D,IC

e

etS

2e

. Ainsi, le calcul du point

de fonctionnement de 4.1 est exprimé en fonction du pH et du taux de dilution (D=

^Qe

V

),

comme il est montré dans l'annexe B. Plusieurs points de fonctionnement peuvent être

ensuite établis. Dans notre cas, nous avons choisi une valeur xe du taux de dilution

D = 0,08h

−1

(correspondant à un débit d'entrée Q

e

= 0,4l/h et un volume du réacteur

V = 5l) et cinq valeurs du pH dans l'intervalle de l'approche théorique (pH = [6,6 7,4]).

Ces valeurs conduisent donc à cinq points de fonctionnement du procédé autour

des-quels le modèle de la digestion anaérobie sera linéarisé. Ainsi, cinq modèles linéaires

tangents de la forme 4.2 sont obtenus.

˙

X

d

= F

j

X

dj

+G

j

u (4.2)

Y

j

= H

j

X

dj

avec :

X

d

= [X

1

S

1

X

2

S

2

IC Z]

^t

le vecteur d'état,

u= [D IC

_e

S

_2e

]

t

le vecteur des entrées,

Y = [Q

_CH4

Q

_CO2

]

t

le vecteur des sorties,

j = [1,...,5]les points de fonctionnement,

F, G et H les matrices jacobiennes de 4.1.

Ce sont les cinq modèles linéaires qui caractérisent la dynamique non linéaire de la

digestion anaérobie en RPA.

Par ailleurs, vu que les modèles locaux sont imposés par le pH et le taux de dilution,

ces derniers sont sensés devenir des variables oues. En pratique, le taux de dilution

dé-pend du débit d'entrée et il n'apporte pas d'information sur l'évolution de la digestion

anaérobie. En revanche, le pH est couramment utilisé comme un indicateur du

fonction-nement du procédé car les variations des entrées ont une inuence directe sur la valeur de

ce paramètre. Pour ces raisons, seul le pH est choisi comme une variable oue.

Néanmoins, il est fort possible qu'une seule variable oue ne soit pas susante pour

sélectionner l'ensemble des comportements (ou les comportements les plus

représenta-tifs) d'un procédé aussi complexe que la digestion anaérobie. Ainsi, pour vérier cette

hypothèse, nous allons analyser les conditions opératoires du procédé d'une manière plus

détaillée en utilisant un outil mathématique formel : l'analyse en composantes principales.

Choix basé sur l'analyse en composantes principales

Dans notre étude, l'objectif de l'ACP est de mettre en évidence les relations existantes

entre les variables du procédé an de choisir celles qui décrivent le mieux l'ensemble des

comportements que peut prendre la digestion anaérobie. Pour cela, nous allons mettre en

place une étude complémentaire concernant l'inuence des entrées sur le procédé an de

regrouper l'ensemble des données nécessaires pour l'ACP.

Ayant pour objectif que l'étude à réaliser couvre l'ensemble de l'espace d'état, nous

allons choisir un certain nombre de valeurs représentatives des plages de variation des

entrées établies précédemment. Ainsi, les valeurs choisies sont résumées ci-dessous :

D = [0,1 0,25 0,37 0,5] l/h

S

2e

= [0,055 0,11 0,175 0,22] mol/l

IC

e

= [0,03 0,05 0,08] mol/l

pH = [7 7,3 7,6 8]

Ce choix entraîne 192 combinaisons diérentes. Chacune de ces combinaisons conduit

le système à un nouveau point d'équilibre autour duquel le système non linéaire (4.1)

sera linéarisé. Les modèles résultants, qui ont la forme de 4.2, seront ensuite analysés de

manière à étudier leurs propriétés en termes de stabilité et d'observabilité.

Analyse des modèles locaux. La gure 4.1 montre la localisation des pôles et de

zéros pour les variations des entrées D etpH.

Variation positive de D

Pole 1 Pole 6

Poles 2,3 peu influencés

Poles 4,5 constants

Variation positive de pH

Pole 2

Pole 3

Poles 1,4,5,6

peu influencés

+ Expérience 1

x Expérience 2 ^{+ Expérience 1} _{x Expérience 2}

Fig. 4.1 Etude des zéros et de pôles des systèmes locaux

Les pôles des tous les systèmes locaux analysés se trouvent dans la région stable. Il

n'y a pas de pôles complexes conjugués, ce qui implique un comportement apériodique du

système. Par contre, les diérentes dynamiques (lentes et rapides) du système induisent

un mauvais conditionnement des matrices d'état car le rapport entre le pôle le plus

rapide et le plus lent est de l'ordre de 80.

Les variations positives du taux de dilution font déplacer vers la gauche les pôles 1 et

6 (correspondant essentiellement au substrat S

1

et aux cations Z) en accélérant ces deux

dynamiques. Les pôles 2 et 3 (correspondant essentiellement au substratS

2

et au carbone

inorganique IC) ne semblent pas être beaucoup inuencés par les variations de D. Les

pôles 4 et 5 (correspondant aux biomasses) sont constants.

En revanche, les variations positives du pH déplacent vers la droite les pôles 2 et

3 (correspondant essentiellement au substrat S

2

et au carbone inorganique IC) en les

rapprochant de la zone instable. Les quatre pôles restants présentent de faibles variations

en réponse aux variations du pH.

Par ailleurs, les petites variations positives de S

2e

ne semblent pas avoir une grande

inuence sur l'ensemble des pôles. En revanche, les grandes variations conduisent le

modèle non linéaire du système vers la région du lessivage. Ce phénomène connu et qui

existe dans la réalité n'est pas représenté sur les modèles locaux.

Le comportement hydrodynamique du réacteur fait apparaître un zéro de transfert

dans l'ensemble des modèles locaux. Ce zero annule le pôle lié à la biomasseX

1

dans tous

les modèles linéarisés. Mais, il n'y a pas d'autre zéro pour annuler le pôle de la deuxième

biomasse, ce qui implique que la dynamique globale du système est toujours imposée par

la biomasse X

2

.

Concernant l'analyse d'observabilité, l'étude des matrices d'observabilité des paires

(F

j

, H

j

) montre que tous les états ne sont pas observables. En eet, les cations ne

peuvent pas êtres estimés à partir du gaz produit, ce qui rend le système partiellement

observable. Pour résoudre ce problème, deux alternatives sont envisagées. La première

consiste à séparer les états observables des états non observables par l'intermédiaire d'une

transformation d'état. La deuxième solution consiste à réduire le modèle en éliminant

l'équation diérentielle des cations et en considérant sa valeur à l'équilibre. Ces deux

approches seront étudiées lors de la conception des observateurs locaux.

Il faut maintenant mettre en évidence les relations entre les variables du système.

L'ob-jectif est de sélectionner un certain nombre de points de fonctionnement pour concevoir

un observateur ou avec un large domaine de validité. Pour cela, on fait appel à l'ACP.

Analyse en composantes principales des modèles linéaires

Les données issues de l'étape précédente sont donc relevées dans un tableau contenant

les combinaisons des entrées (D, S

2e

, IC

e

, pH), le point de fonctionnement correspondant

à chacune des combinaisons d'entrée et les six pôles de chacun des modèles linéaires. La

structure du tableau est présentée ci-dessous.

Entrées Point de fonctionnement Pôles

D

1

, S

2e1

, IC

e1

, pH

1

X

11

, S

11

, X

21

, S

21

, IC

1

, Z

1

,

Q

CH41

, Q

CO21

,

P1

1

, P2

1

, P3

1

, P4

1

, P5

1

, P6

1

... ... ...

D

192

, S

2e192

, IC

e192

, pH

192

X

1192

, S

1192

, X

2192

, S

2192

,

IC

192

, Z

192

, Q

CH4192

, Q

CO2192

,

P1

192

, P2

192

, P3

192

, P4

192

,

P5

192

, P6

192

Le résultat de l'analyse montre que l'ensemble des modèles linéaires est représenté à

partir des trois premières composantes principales, ce que montre la gure 4.2

Fig. 4.2 Composants principales du RPA

Ainsi, la première partie de l'ACP consiste à découvrir les corrélations entre les

in-dividus (les modèles linéaires). Pour cela, il est nécessaire d'étudier les diagrammes de

dispersion entre les trois composantes principales. La gure 4.3 correspond au diagramme

de dispersion pour le couple première-seconde composantes principales.

pH

D

Fig. 4.3 Diagramme de dispersion du RPA

Le diagramme de dispersion montre que les modèles linéaires sont principalement

regroupés en fonction de la valeur initiale du pH (groupements horizontaux) et de

celle du taux de dilution (groupements verticaux). Les diagrammes de dispersion des

couples première-troisième et seconde-troisième composantes principales sont similaires

à celui de la gure 4.3. De cette manière, l'ACP montre l'inuence que le pH et D ont

sur le comportement du procédé. Même si cette importance était soupçonnée, elle n'était

pas simple à visualiser lors du choix empirique. Ainsi, ces deux variables seront utilisées

comme des variables oues de manière à sélectionner les modèles linéaires lors de la

conception de l'observateur ou.

La deuxième partie de l'ACP concerne les variables de l'ensemble des données (les

variables d'entrée, les points de fonctionnement et les pôles). L'objectif de cette analyse

est de repérer les corrélations entre les variables pour le regroupement des modèles linéaires

et conrmer ainsi la pertinence du pH et de D. Pour cela, les cercles de corrélation des

trois premières composantes principales seront analysés. Ainsi, le cercle de corrélation

correspondant au couple première-seconde composantes est montré dans la gure 4.4.

Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

Fig. 4.4 Cercle de corrélation (première-deuxième composantes) du RPA

Trois regroupements de variables sont remarqués. Les variables qui appartiennent

au même groupe sont corrélées ce qui implique que la variation d'une d'elles aura une

inuence sur les autres. Dans le premier groupe, il y a quatre pôles (correspondant

aux substrats, au carbone inorganique et aux cations), la biomasse X

2

, le méthane et

le taux de dilution. Les seules variables manipulables par l'opérateur sont les entrées.

Dans ce cas, le choix de D, variable manipulable, est donc représentatif pour le premier

groupe. Par ailleurs, le groupe 2 contient les pôles 4 et 5 (biomasses) et le substrat S

2

,

ce groupe-ci ne contient pas de variables d'entrée, mais il est en anticorrélation avec le

groupe 3 qui est composé d'une entrée (ajout de carbone inorganique) et du pH. Ces

dernières ont alors une inuence sur les variables du groupe 2. Vu que le pH est utilisé

pour la linéarisation du modèle non linéaire à la place des cations, cette variable est

choisie pour le regroupement des comportements du système. L'analyse du cercle de

corrélation conrme donc la pertinence du choix du pH et du taux de dilution pour

choisir les modèles locaux à utiliser lors de la conception de l'observateur ou.

Les cercles de corrélation des couples première-troisième et deuxième-troisième

com-posantes principales, montrés dans la gure 4.5, sont analysés pour compléter l'étude.

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4

Fig. 4.5 Cercle de corrélation (première-troisième, deuxième-troisième composantes)

Le cercle du couple première-troisième composantes n'apporte pas beaucoup

d'in-formation sur les corrélations entre les entrées et les autres variables. Il est seulement

possible de repérer l'inuence des entrées sur le pôle 6 (correspondant aux cations).

Les groupes 3 et 4 sont anticorrélés, mais aucune entrée n'est présente dans les deux

groupes. Par contre, le cercle du couple deuxième-troisième composantes montre

l'inuence de D sur les pôles 4, 5 (biomasses) et 6 (cations), et sur S

2

.

L'anticorréla-tion entre le groupe 3 et 4, indique l'inuence de l'entrée (IC

e

) et dupH sur le pôle 3 (IC).

Il est ainsi possible de conclure que le taux de dilution et le pH sont des variables

per-tinentes pour le regroupements des comportements dynamiques du procédé de digestion

anaérobie en RPA. Ces deux entrées deviendront donc des variables oues.

Dans le document Stratégies de commande intégrée intelligente de procédés de traitement des eaux usées par la digestion anaérobie (Page 97-103)