Modélisation Exploitation

Pour poursuivre l’analyse des résultats de la figure 2.19, il est nécessaire de modé- liser le comportement du plasma qui vient d’être formé, afin de pouvoir détermi- ner les caractéristiques responsables de l’évolution mesurée de la transmission des harmoniques. Une première analyse qualitative permet cependant d’affirmer que l’augmentation de transmission est le signe d’une expansion du plasma, comme le confirme le fait qu’environ 200 fs après le passage de l’impulsion principale, l’harmonique 19 devient sous critique et est détectée, signe que la densité est bien passée sous les 2.9×1023_cm−₃

.

Modélisation hydrodynamique

La modélisation a consisté à utiliser un code hydrodynamique à une dimen- sion pour déterminer l’évolution temporelle de la cible. Simultanément, l’équa- tion d’Helmholtz est résolue pour les deux harmoniques afin de déterminer leur transmission. L’hypothèse d’une expansion unidimensionnelle, qui autorise le trai- tement par une code à une dimension, est tout à fait réaliste si on compare l’ex- tension radiale de la zone de plasma (quelques dizaines de microns) et l’épaisseur de la zone (quelques centaines de nanomètres) : l’expansion va se dérouler majo- ritairement perpendiculairement à la cible.

Initialement, les profils de densité et de température électronique sont supposés uniformes, ce qui est réaliste compte tenu de la finesse du milieu. La valeur de densité initiale est posée à N0 = 3.1 ×1023cm−3, comme justifié dans la discussion précédente. Si bien que la valeur de la température électronique initiale devient le seul paramètre ajustable dans la simulation pour reproduire l’évolution de la transmission.

Pour résoudre l’équation d’Helmholtz, il faut décrire la dépendance de la constante diélectrique avec la densité et la température électronique. On utilise une fois de plus le modèle de Drude, qui demande de définir une fréquence de collisions élec- trons/ions νei. Celle ci est déterminée au moyen de la formule de Spitzer

νei[s −₁ ] = 2.9 × 10−₆ Zne(t)(cm −₃ )T_e,eV−3/2(t) ln Λ

où ln Λ est le logarithme coulombien [Atzeni and Meyer-ter-Vehn, 2004]. Dans les conditions de l’expérience, il peut être calculé avec la formule suivante [NRL, 1994] :

ln Λ = 24.4 − ln √

ne Te



Enfin, le code utilise une équation d’état de type gaz parfait pour décrire le fluide. Les résultats obtenus avec ce modèle sont représentés sur la figure 2.19, où le meilleur accord est obtenu pour une température électronique initiale de 220 eV avec une incertitude de ±20 eV, meilleure que 15% (cette incertitude est déduite à partir de la dispersion des résultats de simulation restant à l’intérieur des barres d’erreur expérimentales). On remarque un très bon accord entre les données expérimentales et les simulations.

La température déterminée ici est naturellement plus élevée que celle trouvée par [Theobald et al., 1999] en raison de l’intensité plus élevée de l’impulsion servant à créer le plasma, et se trouve dans la même gamme que celles prévues par des simulations rapportées par [Eidmann et al., 2000], réalisées pour des intensités ≈ 1017 _W/cm2 _{en incidence normale, sur des feuilles d’aluminium.} On peut ensuite utiliser le modèle pour représenter l’évolution des profils de den- sité et température électroniques dans le plasma issu de l’expansion de la feuille mince. Dans les conditions du meilleur accord avec les données expérimentales, on obtient les évolutions représentées sur la figure 2.20.

-500 0 500 0 50 100 150 200 250 t=0 t=330 fs t=500 fs t=660 fs t=1 ps t=1,3 ps T e m p é r a t u r e ( e V ) Epaisseur (nm) b) -500 0 500 0 1x10 23 2x10 23 3x10 23 Epaisseur (nm) t=0 t=330 fs t=500 fs t=660 fs t=1 ps t=1,3 ps D e n s i t é é l e c t r o n i q u e ( c m - 3 ) a)

Fig. 2.20: _{Profils de densités (a) ) et de température (b) ) électronique , calculés} avec le code hydrodynamique, pour différents instants au cours de l’expansion du plasma.

On retrouve bien qu’initialement les profils sont uniformes, ce qui correspond à l’approximation réalisée dans le modèle. Ensuite, on observe une expansion

s’accompagnant d’une diminution de la densité et de la température électroniques, ainsi que de l’apparition de gradients de densité et de température aux bords du plasma.

Comparaison à un modèle d’expansion adiabatique

Les résultats du code hydrodynamique présentent donc une expansion inho- mogène du plasma. Afin de déterminer l’influence du caractère inhomogène de l’expansion sur la valeur de transmission des harmoniques, il serait intéressant de pouvoir comparer avec les résultats que fournit un modèle simple d’expansion adiabatique du type de celui utilisé par Théobald [Theobald et al., 1996] et décrit dans la partie 2.2.2. On rappelle en effet que ce modèle considère une expansion pour laquelle la densité et la température restent uniformes.

Le taux de collisions peut être déduit des calculs des profils de densité et de température à partir de la formule de Spitzer et de l’expression du logarithme Coulombien énoncées plus haut. Le résultat est reporté sur la figure 2.21, qui présente les profils de fréquence de collisions νei pour différentes durées de l’ex- pansion. On constate que la fréquence varie peu autour de la valeur moyenne de 3.5× 1015_s−₁ . -60 -40 -20 0 20 40 60 3,0x10 15 3,2x10 15 3,4x10 15 3,6x10 15 3,8x10 15 4,0x10 15 t=0 t=330 fs t=500 fs t=660 fs t=1ps t=1,3 ps T a u x d e c o l l i s i o n s ( s - 1 ) Epaisseur (nm)

Fig. 2.21: _{Evolution du profil de taux de collisions en fonction de la durée de} l’expansion.

La vitesse d’expansion de chaque face utilisée par le modèle est la vitesse acous- tique ionique. On peut dans notre cas effectuer une comparaison approximative

avec l’expansion calculées par le code hydrodynamique.

Pour le matériau utilisé (CH2), la valeur de la vitesse acoustique ionique (Cs = q

<Z>kbTe

mi ), en considérant une cible totalement ionisée (Z = 8) et une tempéra- ture de 220 eV, est de Cs = 1.25×107cm/s. En utilisant la figure 2.20 et la courbe de densité pour un délai d’une picosenconde, on détermine que la vitesse d’une face (bord de la courbe de densité) est de l’ordre de

C ≈ 500nm_1ps ≈ 4.8 × 107cm/s

On voit donc que la vitesse des bords est plus rapide que la vitesse acoustique ionique. 0,0 0,5 1,0 0 5 10 15 20 T r a n s m i s s i o n ( % ) Délai (ps) Code Hydro 1D + Helmholtz Expansion adiabatique H19

H21

Fig.2.22: _{Comparaison entre les transmissions prédites par le modèle hydrodyna-} mique avec les résultats du modèle simple d’expansion adiabatique, pour lequel on a fixé un taux de collisions constant de 5×1015_s−₁

.

Regardons alors les résultats d’une comparaison des deux modèles. La figure 2.22 présente à la fois les résultats obtenus avec le code hydrodynamique, et le meilleur accord obtenu avec le modèle d’expansion adiabatique, qui a lieu pour des valeurs de fréquence de collision de 5×1015_s−₁

et une vitesse d’expansion égale à la vitesse acoustique ionique pour chaque face. Dans les deux cas, la température initiale du plasma homogène est de 220 eV.

On constate donc que l’on arrive toujours avec le modèle d’expansion adiaba- tique à très bien reproduire le comportement en transmission du plasma formé. Cependant, il faut augmenter un peu la fréquence des collisions par rapport à la valeur déterminée à partir de la simulation hydrodynamique (il faut garder à l’esprit que l’on considérait un taux de collisions constant malgré une baisse de la température et de la densité, ce qui est a priori une approximation grossière). La vitesse d’expansion en revanche semble bien correspondre à celle d’un milieu homogène, ce qui peut s’interpréter en considérant que les bords du plasma, qui se détendent plus vite, influencent peu la transmission en raison d’une plus faible densité électronique et par suite d’une faible absorption.