Modélisation et résultats

a +_h • M a + hA •A

Figure 4.5 – Points remarquables pour le calcul de la latitude Quasi-Dipole. A partir d’un point M donné situé à une altitude h, on trace la ligne de champ qui passe par ce point (ici en pointillé). On repère sur cette courbe, l’apex A situé à une altitude h_A. La latitude QD se déduit des deux altitudes h et h_A.

où B_t =pB2

y + B2

z et Θ = arctan(B_y/B_z). Le coefficient K permet de rendre comparable cette définition avec les autres définitions de l’indice Em proposées par Newell et vaut K = 0.33 pour obtenir E_m en mV/m, lorsque v est exprimé en km/s et l’indice IMF en nT. Avec cette définition, nous ne gardons les données scalaires haute latitude que si la valeur moyenne de cet indice sur l’heure précédant la mesure n’excède pas 3.3 mV/m.

En deça de 55^◦ de latitude QD, nous souhaitons n’utiliser que les données vectorielles les plus propres possible. En nous basant sur nos précédentes études (voir les chapitres2

et 3), nous avons choisi les critères suivants : si le résidu scalaire F − ||B|| est inférieur à 0.3 nT et si la dernière activation du moteur piezo-électrique est à plus de 3 secondes, nous utilisons la mesure vectorielle ; pour tous les autres cas, nous utilisons la mesure scalaire.

Notre sélection des données est résumée figure 4.6. Au final et après une ultime dé-cimation nous obtenons 3 × 65169 données vectorielles et 66454 données scalaires pour ALPHA et 3 × 74123 données vectorielles et 67095 données scalaires pour BRAVO, soit un total de 551425 données4.

Nous construisons de la même façon un jeu de données basé sur les mesures magné-tiques officielles de SWARM et séléctionnées aux mêmes points que notre jeu ASMV afin de construire un modèle de comparaison, que nous appellerons « modèle VFM ».

4.1.2 Modélisation et résultats

Pour pouvoir livrer un modèle IGRF pour l’époque 2015 jusqu’au degré 13, il est en fait nécessaire de construire un modèle « parent » légèrement plus sophistiqué, afin de permettre l’extrapolation à l’époque voulue. Notre modèle calcule ainsi les coefficients de Gauss jusqu’au degré 40, avec une prise en compte de la variation séculaire jusqu’au degré 8. Il modélise également de manière simplifiée les sources externes pour tenir compte des signaux ionosphériques et magnétosphériques que la sélection des données ne permet pas d’éliminer. Par ailleurs, comme nous l’expliquions plus haut, les données sont exprimées

4. Le lecteur pourra s’étonner que nous n’avons utilisé aucune donnée ASMV provenant du satellite CHARLIE, qui a pourtant fourni des données jusqu’au 04/11/2014. La raison principale en est que les satellites ALPHA et CHARLIE étant très proches l’un de l’autre, les données de CHARLIE étaient largement redondantes de celles de ALPHA pour les besoins de notre modélisation. En outre, les données de CHARLIE étaient de nettement moins bonne qualité (cf. [Léger et al., 2015]).

Sélection nuit noire cos ζ < cos(π/2 + ζ_C)

Zone magnétiquement calme RC < 2 nT/h K_p < 2+ Latitude QD > 55^◦? Qualité du vecteur ? |F − ||B||| < 0.3 nT d_piezo > 3s Sélection indice E_m E_m,12 < 3.3 mV/m

Scalaire Vecteur Scalaire

NON OUI

NON OUI

Figure 4.6 – Diagramme de sélection des données. Une ultime décimation des jeux de données scalaire et vectoriel (non montrée ici) permet au final une inversion sur un en-semble de données de dimension raisonnable.

Figure 4.7 – Couverture des données sélectionnées pour la construction du modèle parent de notre modèle candidat à l’IGRF-12. Les données sont représentées en fonction de la date et de la latitude géographique, en rouge pour le vecteur et en bleu pour le scalaire. On remarque que seules les données scalaires sont utilisées dans les zones polaires. Par ailleurs, la sélection côté nuit uniquement (nécessaire pour éviter la contamination des données par du signal ionosphérique non modélisé) introduit des « trous » dans la couverture des données, comme c’est par exemple le cas aux alentours de mars et juillet 2014.

dans le référentiel instrument alors que les coefficients de Gauss s’expriment dans le réfé-rentiel terrestre sphérique RTP. En introduisant un référéfé-rentiel intermédiaire, le Common Reference Frame (ou CRF) il est possible de décomposer la relation de passage (dyna-mique) liant le référentiel instrument au référentiel RTP (rappelons-nous la figure 4.1). La relation de passage liant le référentiel CRF au référentiel RTP se déduit, on l’a déjà dit, du quaternion q_CRF→NEC fourni par les données SWARM. Il nous reste à déterminer la relation de passage entre le référentiel instrument et le référentiel CRF. On représente cette dernière transformation par le biais d’angles d’Euler qui seront co-estimés avec les autres paramètres du modèle. On a vu au chapitre précédent qu’une déformation lente du bras pouvait être observée (de l’ordre de quelques arcsecondes sur une dizaine de jours), nous avons donc choisi d’estimer les angles d’Euler tous les 10 jours pour chacun des satellites. Nous ne rentrons volontairement pas dans les détails, mais le lecteur peut se référer à l’annexe D pour une présentation approfondie des angles d’Euler et de notre modélisation.

Au final, notre modélisation fait donc intervenir les contributions suivantes :

1. un champ statique jusqu’au degré 40 (coefficients de Gauss pour n = 1 à 40), soit 40 × 42 = 1680 coefficients statiques,

2. une variation séculaire jusqu’au degré 8 (dérivées premières des coefficients de Gauss pour n = 1 à 8), soit 8 × 10 = 80 coefficients,

3. un champ externe dynamique représenté par 13 coefficients,

4. une estimation de la rotation dynamique permettant de passer du référentiel ins-trument au référentiel CRF, calculée pour chaque satellite tous les dix jours, soit 180 coefficients.

Soit un total de 1953 paramètres. Pour l’IGRF, nous tronquerons notre modèle uni-quement aux coefficients statiques jusqu’au degré 13 en nous basant sur notre variation séculaire pour les extrapoler à la date du 1er janvier 2015.

La méthode qui permet, partant d’un certain nombre d’observations du champ magné-tique (B_k), de trouver les paramètres optimaux du modèle fait partie d’une vaste classe d’outils mathématiques connue sous le nom de Problème inverse ([Tarantola, 2005] et [Menke, 2012]).

Du fait de l’utilisation de données scalaires d’une part et de la co-estimation des angles d’Euler d’autre part, le problème inverse considéré ici est non-linéaire et nécessite un algortihme d’optimisation itératif. Compte tenu de la durée du support temporel, nous n’avons cependant introduit aucune régularisation sur la fonction à optimiser (pour plus de détail, voir [Vigneron et al., 2015b], reproduit en annexe F.1).

Les statistiques des résidus obtenus après inversion sont données pour les modèles ASM et VFM tableau 4.2 à la fois pour le résidu scalaire à haute latitude F_p et pour les trois composantes B_r, B_θ et B_φ. Ces résidus sont obtenus en calculant les différences entre valeurs prédites par le modèle et les valeurs des données utilisées pour construire le modèle. On observe que ces résidus sont globalement similaires entre les deux modèles ASM et VFM. La carte de la composante radiale du champ prédit par le modèle ASMV au 1erjanvier 2014 à l’altitude moyenne des satellites (450 km) est donnée figure4.8 ainsi que sa différence avec celle prédite par le modèle VFM. On observe que l’essentiel du désaccord est localisé au pôle Nord, ce que nous interprétons comme une incertitude sur l’extrapolation due à la couverture des données dans les régions polaires (cf. figure4.7). On remarque également un désaccord zonal d’environ 3 nT, sur lequel nous reviendrons. Les modèles sont néanmoins en bon accord, ce que nous confirme une comparaison des spectres

N ASMV VFM mean rms mean rms F_p 49214 −0.27 4.81 +0.00 4.80 B_r 139292 −0.02 2.45 −0.06 1.76 B_θ 139292 −0.03 3.56 +0.06 3.18 B_φ 139292 −0.16 2.96 −0.13 2.61

Table 4.2 – Résidus des modèles IGRF-12. Les résidus sont donnés en nT pour le modèle ASMV (à gauche) et VFM (à droite) pour le scalaire dont la latitude QD est au-delà de 55^◦ en valeur absolue (F_p), ainsi que pour les trois composantes en référentiel géocentrique B_r B_θ et B_φ. On remarque que les deux modèles ont des résidus comparables.

de Lowes-Mauersberger, figure4.9. Ces spectres sont définis par l’équation suivante :

Wn(r) = (n + 1) a r 2n+4_Xⁿ m=0 (gm n)²+ (h^m_n)^2 (4.7)

Une comparaison des différents modèles candidats a été effectuée dans [Thébault et al., 2015]. Notre modèle ASMV (noté modèle H dans cet article) présente des désaccords avec le mo-dèle moyen à la surface de la Terre qui sont du même ordre de grandeur que les désaccords des autres modèles. Ce résultat a permis de fournir la première démonstration tangible de la capacité de l’instrument ASM à fournir des données magnétiques scientifiquement exploitables. Nous reproduisons figure4.10la carte de ce désaccord. Sans surprise, nous re-marquons que les plus gros désaccords surviennent aux régions polaires. Tous ces résultats ont été publiés dans [Vigneron et al., 2015b] reproduit en Annexe F.1.

(a) Composante radiale du champ interne (N = 1 ∼ 13) estimé au 1er janvier 2015 à la surface de la Terre pour le modèle ASMV IGRF

(b) Différence selon la composante radiale (N = 1 ∼ 13) entre les modèles ASMV et VFM, estimée au 1erjanvier 2015 à la surface de la Terre

Figure 4.9 – Spectre du modèle IGRF ASM (en noir), estimé au 1^{er janvier 2015 à} l’altitude moyenne des satellites (450 km). Le spectre des différences VFM, ASM-CHAOS6 et VFM-ASM-CHAOS6 sont tracées, respectivement, en rouge, vert et bleu. On ob-serve que les trois modèles sont en relativement bon accord.

Figure 4.10 – Différence de la composante radiale entre le modèle ASMV et le mo-dèle moyen IGRF, estimée au 1er janvier 2015 à la surface de la Terre (carte issue de [Thébault et al., 2015])

Figure 4.11 – Couverture des données modèle sur un an. Les données sont représentées en fonction de la date et de la latitude géographique, en rouge pour le vecteur et en bleu pour le scalaire. Une barre verticale noire a été ajoutée à la date du 25 septembre 2014 et correpond à la fin du support temporel utilisé pour nos modèles IGRF : l’ajout d’un mois de données supplémentaire est ici crucial pour combler le déficit en données de la zone du pôle Nord.