Modélisation du système

S de Max-Cut, nous avons pour cela repris le code de couleur précédent, bleu pour S et cyan pour S^—.

Soient deux utilisateurs, un en A et un en B symbolisés par une croix. L’utilisa-teur en A et B a alors le choix de se placer sur l’une de ces deux partitions. Le placement de ces utilisateurs dans la figure 5.8 correspond à une coupe maxi-male et minimise également les interférences inter cellule (il y a interférence si deux cellules voisines utilisent les mêmes RBs). Nous pouvons étendre cette modélisation à une recherche de coupe maximale non pas sur deux partitions, mais sur k partitions, avec k le nombre de RBs de chaque station de base. Le travail présenté ici se concentre sur des algorithmes complètement dis-tribués. Dans un premier temps, nous décrivons le modèle du système et la caractérisation des coûts. Par la suite, nous présentons le schéma de sélection des blocs de ressources comme un jeu de potentiel non coopératif. Nous présentons l’adaptation de l’algorithme de calcul distribué de Berenbrink et al. [Berenbrink et al., 2012], suivi de la preuve de convergence vers un équilibre de Nash. Des simulations ont également été menées pour évaluer le temps de convergence des algorithmes distribués adoptés vers des équilibres de Nash purs.

5.2.1 Modélisation du système

5.2.1.1 Contraintes réseau

Le multiplexage par répartition orthogonale de la fréquence ("Orthogonal Frequency Division Multiplexing", OFDM) est un procédé de codage de signaux numériques par répartition en fréquences orthogonales utilisé dans les réseaux mobiles de nouvelle génération (4G, "Long Term Evolution" (LTE). Dans ces réseaux, OFDMA ("Orthogonal Frequency Division Multiple Access"), un dérivé du codage OFDM optimisé pour l’accès multiple, a été adoptée en tant que technique de couche physique clé utilisée pour l’accès radio. En effet,

5.2. Coordination d’interférences inter cellules 109

elle permet une haute efficacité spectrale tout en atténuant l’interférence intracellulaire en raison de sa fonction d’orthogonalité ainsi qu’une immunité à l’atténuation sélective de fréquences et brouillage entre symboles.

Grâce à son procédé de codage par répartition en fréquences orthogonales, l’interférence intracellulaire est le plus souvent atténuée et peut être ignorée. Toutefois, lorsque la réutilisation de fréquences est déployée dans chaque cellule du système, les utilisateurs en bordure de cellule ayant une même fréquence peuvent souffrir de fortes interférences causées par les cellules voisines et une mauvaise qualité de canal, comme illustré par la figure 5.7. Pour surmonter ce problème d’interférences, une des premières solutions proposées a été la réutilisation de fréquences fractionnaires (FFR), qui gère de façon statique la distribution de ressources de fréquences dans chaque cellule afin de diminuer l’interférence intercellulaire [Assaad, 2008]. L’interférence intercellulaire peut également être atténuée par un contrôle de puissance sur les blocs de ressources alloués avec par exemple la réutilisation des fréquences souple ("Soft Frequency Reuse", SFR) [Mao et al., 2008] qui alloue une plus faible puissance pour les blocs de ressources des cellules centrales tandis que ceux des cellules en bordure se voient obtenir une puissance d’émission supérieure.

Pour réduire l’interférence intercellulaire et améliorer la performance du système, proposer des techniques efficaces de coordination d’interférence inter cellules (ICIC) est primordial. En général, les entités centrales effectuant les tâches de coordination d’interférence avec des connaissances globales du système doivent être évitées. Par conséquent, notre travail appartient à la catégorie des ICIC décentralisées qui est recherchée. Dans le cas de coordination d’interférences inter cellules décentralisée (par exemple, [Quek et al., 2009], [Rahman et al., 2009] et [Ellenbeck et al., 2008]), les stations de base communiquent les unes avec les autres et optimisent leurs paramètres propres sans contrôleurs, en se basant sur de l’information locale, qui permet une adaptation rapide aux changements de situation.

Figure 5.9 – Station de base hexagonale et son voisinage

Nous considérons un réseau cellulaire comprenant n stations de base hexago-nales où N = f1; ::; ng représente l’ensemble des stations de base. Chacune des stations de base peut communiquer avec ses six stations de base voisines (en utilisant l’interface X2 dans LTE) comme sur la figure 5.9.

110 5. Max-Cut et coordination d’interférences inter cellules

Nous nous concentrons sur le scénario de liaison descendante où OFDMA est utilisé en tant que système d’accès multiple. Les ressources de fréquences radio et temps sont regroupées en blocs de ressources temps-fréquence ("ressource blocs", RBs). Un bloc de ressource est le plus petit bloc de ressources radio qui peut être programmé pour un utilisateur mobile. Le nombre total de ces RBs est noté m. Les stations de base et les utilisateurs mobiles sont supposés avoir une unique antenne chacun. Une allocation de ressources pour une station de base i consiste à sélectionner un ensemble de RBs utilisés dans cette cellule. Pour une BS i ce choix est dénoté par le vecteur à m dimensions Xi où chaque composante xi;k vaut :

xi;k = 8 <

:

1 si le RB k est utilisé par la BS i; 0 sinon:

(5.4)

Nous utilisons le modèle de [Ellenbeck et al., 2008] pour modéliser la quantité d’interférences endurées par les stations de base. Les différentes positions géographiques des utilisateurs ne sont pas prises en considération : l’utilisation de toute RB k par une BS i est affectée par l’utilisation concurrente de ce même RB par les stations de base voisines (chaque BS n’étant affectée que par ses 6 BS voisines comme dans la figure 5.9). Nous notons N[i] l’ensemble des stations de base voisines de la station i. À partir de cela, nous définissons Ii;k

l’interférence endurée par une station de base i pour la RB k comme suit : Ii;k =

X

j2N[i]; j6=i

xj;k (5.5)

Nous avons présenté les contraintes techniques d’un point de vue réseau, nous allons maintenant établir la modélisation sous forme de jeu.

5.2.1.2 Jeu de concurrence entre les stations de base

La théorie des jeux non coopératifs modélise les interactions entre des joueurs en compétition pour une ressource commune. Par conséquent, il est bien adapté à la modélisation de l’ICIC. Ici, les stations de base sont les preneurs de décisions, ou joueurs, du jeu. Nous définissons un jeu de congestion multijoueurs G entre les n BSs. Les BSs sont supposées prendre leurs décisions sans connaître les décisions des autres. Les joueurs d’un jeu de congestion peuvent différer les uns des autres dans leurs préférences intrinsèques (le bénéfice qu’ils reçoivent de l’utilisation d’un RB spécifique), leur contribution à la congestion, ou les deux.

Nous présentons, dans ce qui suit, le cadre général du jeu. Nous notons M = f1; ::; mg l’ensemble des blocs de ressources disponibles et N = f1; ::; ng l’ensemble des joueurs que sont les stations de base. Chaque station de base i est un joueur qui doit choisir bi blocs de ressources entre les m disponibles.

5.2. Coordination d’interférences inter cellules 111

La stratégie de la station de base i est représentée par le vecteur X_i dont les composantes sont xi;k définies dans (5.4). Nous notons alors Si l’ensemble des stratégies du joueur i et S = fS1; : : : ; Sng l’espace de tous les profils de stratégies.

Nous allons définir la fonction de coût d’une station de base i qui sélectionne la stratégie Xi comme suit :

ci(Xi; X_`i) = X k2M xi;k· Ii;k = X k2M X j2N[i]; j6=i xi;kxj;k (5.6)

où X`i désigne le vecteur des stratégies jouées par l’ensemble des BSs, excepté la BS i.

Nous pouvons remarquer que cette fonction de coût est un cas particulier de la fonction de coût moyen du jeu de placement, définie dans le chapitre 3 par la formule 3.1. En effet Cmoyen(S) =

X

v2V

X

w2N[v]

dv;w(xv· xw), en posant dv;w = 1 et dv;v = 0 nous obtenons bien la formule 5.6.

Chaque BS i a besoin d’une certaine quantité de RBs parmi les m RBs. Cette quantité dépend du nombre d’utilisateurs actifs dans sa cellule. En effet, sans perte de généralité, nous considérons que n’importe quel utilisateur n’est affecté qu’à un seul RB.

Notre jeu G = (N; S; c) peut être mis sous la forme stratégique, telle que définie dans le chapitre 1, avec

• N = f1; ::; ng l’ensemble des joueurs que sont les BSs ;

• Si l’ensemble des stratégies pures pour la BS i et S = fS1; : : : ; Sng l’espace de tous les profils ;

• ci(Xi; X_`i) = X k2M X j2N[i]; j6=i

xi;kxj;k la fonction de coût pour chaque joueur i

étant donnée une stratégie Xi. Équilibre de Nash

Notre jeu G est un jeu de congestion pondéré et de tels jeux n’ont en général pas de garantie d’avoir un équilibre de Nash pur. Néanmoins, ils possèdent un équilibre de Nash mixte où chaque joueur doit changer continuellement sa sélection de RB selon une probabilité de distribution sur l’ensemble des stratégies. Les équilibres mixtes conduisent à une situation où chaque utilisateur mobile doit être connecté simultanément à plus d’un RB, ce qui est interdit dans la norme LTE [LTE, 2008].

Cependant, pour notre jeu, un potentiel pondéré existe. Cela signifie que le changement unilatéral de la stratégie Xi d’un utilisateur à X_i⁰ résulte en un

112 5. Max-Cut et coordination d’interférences inter cellules

changement de sa fonction de coût qui est égal à la variation d’une fonction de potentiel ffi : S ! R. Les jeux de potentiel admettent au moins un équilibre de Nash pur ce qui est essentiel dans le contexte actuel où un RB peut être affecté à seulement un utilisateur mobile.