Modélisation du comportement des méso-interfaces

Contexte L'étude de la morphologie des méso-interfaces (chapitre 1) a montré une large déco- hésion initiale autour des méso-constituants. La forte rugosité et les nombreux débris semblent néanmoins maintenir le tout en un ensemble non friable. Le carbone les constituant a une ap- parence vitreuse, là où celui au c÷ur des baguettes et des octets est de nature plus graphitique. Il provient probablement de la dernière passe de densication non graphitée. La caractérisa- tion des propriétés thermomécaniques du 3D C/C (chapitre 2) a mis en exergue l'inuence des méso-interfaces sur le comportement eectif du composite. Malgré la prépondérance des renforts dans le comportement en traction suivant les axes du 3D C/C, l'évolution des faciès de rupture à haute température pointe le changement signicatif de comportement aux méso-interfaces. Aussi, le comportement fortement endommageable en dehors des axes de tissage et le renfor- cement signicatif avec la température en est probablement la manifestation la plus concrète. Les campagnes de caractérisation des méso-interfaces ont permis d'étudier les mécanismes de rupture (chapitre 3). Il en ressort une interface principalement régie par du frottement et des phénomènes de blocage. Ces phénomènes de blocage sont particulièrement prononcés autour des baguettes X/Y, avec une forme ondulée provoquant un ancrage dans les octets. La forte évolution des interfaces avec la température a également été observée, se concrétisant par un renforcement du frottement apparent et une augmentation des phénomènes d'ancrage. Ainsi, intégrer les interfaces dans les modèles EF apparaît comme la clé pour relier les diérentes échelles du matériau, notamment avec l'utilisation d'éléments cohésifs.

Littérature Il existe divers modèles cohésifs dans la littérature, avec des caractéristiques adaptables selon les besoins. Ces modèles présentent aussi des limites intrinsèques qui per- mettent de les discriminer an de choisir le plus adapté. Historiquement, les premiers mo- dèles sont focalisés sur la gestion du mode I, c'est-à-dire sur l'ouverture/fermeture des ssures [Tvergaard and Hutchinson, 1992, Needleman, 1997]. Ils ont permis d'étudier la propagation de ssures en dynamique, reproduisant avec succès l'endommagement du matériau. Des modèles plus complexes ont été construits par la suite, intégrant l'endommagent en cisaillement (mode II), avec un couplage entre les modes et pénalisant l'interpénétration [Chaboche et al., 1997, Geubelle and Baylor, 1998]. Cependant, quand ces modèles intègrent les phénomènes dissipa- tifs liés au frottement, ils restent éloignés de la loi de Coulomb. Abaqus propose son propre modèle cohésif, développé par Camanho et Dávila [Camanho and Davila, 2002] et supportant les modes I et II couplés. Diverses lois d'endommagement sont proposées pour se rapprocher au maximum du comportement du matériau modélisé. Néanmoins, le frottement n'y est pas intégré, un modèle de contact a été ajouté en complément, incompatible avec un grand nombre d'éléments cohésifs. Alfano et Sacco puis Serpieri [Alfano et al., 2006, Serpieri et al., 2015b] ont proposé un modèle 2D reposant sur une décomposition entre une surface endommagée et une non endommagée. Une énergie de rupture est associée à la partie non endommagée et un frottement de type Coulomb à celle endommagée. Le modèle a su trouver diverses applications [Serpieri et al., 2014]. Il a ensuite été généralisé en 3D [Serpieri et al., 2015a]. Ce modèle, bien qu'intéressant, semble cependant bien trop complexe pour représenter une interface initiale- ment endommagée et un simple frottement de type Coulomb. Dans son modèle Parrinello va plus loin en intégrant des phénomènes de dilatance [Parrinello et al., 2009]. Il s'agit d'intégrer des phénomènes d'ancrage au sein des modèles cohésifs. Même si ces phénomènes sont retrou- vés dans les méso-interfaces du 3D C/C, l'implémentation et le réglage des paramètres restent complexes. Ainsi, il existe divers modèles intéressants pour les méso-interfaces. Cependant, ils sont pour la plupart trop complexes et seules certaines parties sont à retenir. Dans la démarche d'une implémentation relativement simple an de retracer correctement les mécanismes, un modèle spécique et inspiré des travaux décrits précédemment a été construit.

σn = ( 0, si un≥ dc K(un− dc), sinon (4.1)        σ_t1el = K(ut1− u0t1) σ_t2el = K(ut2− u0t2) σel t = q σel t1 2 + σel t2 2 (4.2) Soit Φ = τf + σtel. Si Φ > 0,        dλ = Φ K u0_t1+ = dλσt1el σel t u0 t2+ = dλ σel t2 σel t (4.3) σt=          σt1 = 0 σt2 = 0 , si un≥ d0 σt1 = K(ut1− u0t1) σt2 = K(ut2− u0t2) , sinon (4.4) τf =      0, si un≥ d0 µKr(un− d0), si d0 > un≥ dc µKr(dc − d0) + µK(un− dc), sinon (4.5)

Désignation Élément 1 Élément 2 Normale Surface int_bgy_bgz_x baguette Y baguette Z X 400µm×800µm int_bgx_bgz_y baguette X baguette Z Y 400µm×800µm int_bgx_bgy_z baguette X baguette Y Z 800µm×800µm int_om_bgz_y octet de matrice baguette Z Y 400µm×800µm int_om_bgz_x octet de matrice baguette Z X 400µm×800µm int_om_bgy_z octet de matrice baguette Y Z 800µm×800µm int_om_bgy_x octet de matrice baguette Y X 400µm×800µm int_om_bgx_z octet de matrice baguette X Z 800µm×800µm int_om_bgx_y octet de matrice baguette X Y 400µm×800µm

Dénitions L'objectif est de construire un modèle cohésif (CZM) répondant aux besoins spéciques des méso-interfaces du 3D C/C. Tout d'abord, la morphologie doit être discréti- sée géométriquement (gure 4.8-A). La décohésion moyenne est représentée par la grandeur ∆, les débris et la rugosité le sont avec δ. Le déplacement à l'interface est représenté dans la direction normale par un (mode I) et dans la direction tangentielle par ut (mode II/III). Les

eorts associés à ces directions sont respectivement σn et σt. Les diérents paramètres, décrits

ci-après, sont regroupés dans le tableau 4.5. Le modèle ne tient pas compte des phénomènes d'ancrage, mais ils peuvent être traduits par une augmentation de l'énergie de cohésion avec la refermeture des méso-interfaces. Une modication de ce modèle, inspirée des travaux d'Alfano [Alfano et al., 2006], peut tout à fait être réalisée pour y ajouter cette caractéristique. Cepen- dant, ajouter un tel phénomène va accentuer fortement sa complexité et rendre l'optimisation des paramètres plus dicile. Au vu du temps imparti et des larges objectifs, il a été choisi de ne pas implémenter les phénomènes d'ancrage à ce stade. Il en va de même pour les phénomènes de dilatance.

Mise en équation Construire le modèle cohésif requiert d'établir des relations entre les dépla- cements (un, ut) et les eorts (σn, σt). Tout d'abord, le comportement en mode I doit permettre

la libre ouverture/refermeture de l'interface, et pénaliser la fermeture au-delà de l'épaisseur de la décohésion (dc). L'équation 4.1 décrit ce comportement, présenté en gure 4.8-C. À l'image

des travaux d'Alfano [Alfano et al., 2006], un frottement τf proche de celui décrit par Coulomb

a été implémenté pour le comportement en mode II/III (équation 4.4). Au lieu d'interdire tout déplacement dans le cône du frottement, une réponse élastique très rigide (K) y est implémen- tée. Le faible déplacement généré permet le calcul d'un prédicteur élastique (équation 4.2). La position de la base du cône du frottement est décrite avec la variable u0

t. Si l'eort sort de ce

cône (σel

t > τf), un glissement se produit et cette position évolue (équation 4.3). Ce déplace-

ment continue jusqu'à vérier la condition σel

t ≤ τf. La gure 4.8-D résume le comportement

en mode II/III. Expérimentalement, le frottement évolue fortement avec la température, no- tamment à cause de la dilatation transverse des méso-constituants. Ceci est traduit ici par une dépendance du frottement envers l'ouverture et la fermeture de l'interface (un). Le frottement

initial non-nul τf = τ0 correspondant à un déplacement tangentiel pur (un = 0) . Il augmente

avec la fermeture de l'interface : à la refermeture complète des interfaces, un = dc = −∆ et

τf = τc. Inversement, lorsque l'interface est complètement ouverte, un = d0 = −∆ + 2δ et

τf = 0. L'évolution du frottement avec le déplacement normal est représenté en gure 4.8-B,

elle est formalisée par l'équation 4.5.

Implémentation Le 3D C/C possède diérentes méso-interfaces, décrites dans le tableau 4.6. Elles sont dénies par les éléments avoisinants, la direction normale et leur surface. L'étude de la morphologie du matériau a montré une diérence dans la composition en fonction de leur type, traduite ici par certaines valeurs géométriques à optimiser (ouverture initiale, rugosité). Le modèle a été intégré sous Abaqus sous forme de UMAT. La dénition d'un USER MATE- RIAL permet d'appeler la UMAT et de dénir les diérents paramètres et les variables d'état. L'épaisseur ctive de l'interface est laissée à sa valeur par défaut, soit 1.0mm. L'utilisation d'une COHESIVE SECTION permet de relier le modèle cohésif aux éléments d'interfaces concernés. Les valeurs initiales dénies sont la rigidité, K = 100.106 _{MPa/mm et le coecient de frotte-}

ment, µ = 0.300. Les autres valeurs ne sont pas présentées ici, elles restent à optimiser. À ce point, elles sont paramétrées pour obtenir un frottement à l'ambiante (un=0) de 7MPa et 5MPa

autour des baguettes X/Y et Z respectivement. L'évolution avec la température sera ajustée par la suite.

Figure 4.9  Calcul des propriétés élastiques eectives du 3D C/C par simulation éléments nis. A : Propriétés des constituants après optimisation. B : Étude du rôle des constituants. C : Inuence du pas de tissage. D : Sensibilité envers les principaux paramètres matériaux.

Figure 4.10  Évolution spatiale du module élastique du 3D C/C en fonction de la direction de sollicitation.