Modélisation et design en virgule fixe

Considérons un système de numération de base B, la représentation en virgule fixe X d’un signal réel x est exprimée par :

X = NI−1 X n=0 anBⁿ+ NF X n=1 bnB⁻ⁿ (4.12)

avec N_Iet N_F sont respectivement le nombre d’entier appartenant à l’ensemble D = {0, 1, ..., B− 1} et représentant la partie entière et fractionnaire de x. Le nombre N_x = N_I+ N_F est le nombre total de nombres utilisés pour représenter x en base B.

La multiplication de (4.12) par le facteur B^NF appelé facteur d’échelle est pratique pour se débarrasser du point décimal et elle est efficace pour une implémentation DSP en virgule fixe. Dans le cas d’un système binaire avec B = 2, X devient un nombre entier sous la forme de :

X =

Nx−1

X

n=0

x_n2ⁿ (4.13)

où x_n, n = 0, 1, ..., N_x− 1 sont les chiffres binaires de la représentation entière de x, avec x_n =

BNF−n pour n = 0, 1, ..., N_F − 1 et x_n= a_n−NF pour n = N_F, NF + 1, ..., N_F + N_I− 1.

Loi de conversion

Figure 4.5 – Fonction en escalier de conversion de la virgule flottante à la virgule fixe

Soit un signal x défini dans le domaine des réels, x ∈ R, sa représentation virgule fixe X sur

Nx bits est donnée selon une loi bien précise. Comme seulement un nombre limité N_x de bits est disponible, le domaine de x doit être contraint à un intervalle de R, soit [−A, A]. Donc, une saturation préventive du signal dans l’intervalle [−A, A] doit être effectuée et la valeur de A sera interprétée comme une dynamique. L’opération de la conversion en virgule fixe peut être effectuée suivant la transformation suivante :

(

X = min(2^Nx−1, b_∆^x

x + 0.5c), x ≥ 0

X = max(2^Nx+1, b_∆^x

où ∆_x = _2N^2A₋₁ est le pas de quantification, c’est à dire la différence maximale entre deux différentes valeurs flottantes qui sont codées dans le même symbole X en virgule fixe. La valeur de ∆_x est une mesure de la résolution de la représentation. En d’autres termes, c’est le poids du bit le moins significatif (Least Significant Bit LSB) x₀ de X.

Il convient de préciser que (4.14) effectue non seulement la quantification du signal d’entrée, mais elle limite son domaine à l’intervalle [−A, A], comme le montre la figure 4.5. Les valeurs supérieures (inférieures) à A(−A) sont saturées au plus grand niveau positif 2^Nx−1 − 1(le plus petit niveau négatif −2Nx−1 − 1). Dans (4.14), seulement 2Nx−1 niveaux de virgule fixe sont utilisés (le co-domaine de la fonction de transformation est symétrique par rapport au niveau 0), ce choix empêche l’algorithme de dériver vers des valeurs négatives comme montré dans [37].

Ainsi, la paire (A, N_x) définit complètement la quantification du signal en virgule flottante x, et fournissant la dynamique et le poids de LSB ∆_x utilisé pour sa représentation. Cette approche est similaire a celle décrite dans [37] et [30] pour la quantification des entrées LLRs, et elle est plus flexible que celle généralement adaptée dans la littérature [73][19][79], où le format virgule fixe est spécifié par les paires (N_I, N_F), sans tenir compte de la dynamique du signal réel sous-jacent. En d’autres termes, la dynamique du signal réel est souvent mise sous la forme A = 2^NI−1 et elle est limitée à une puissance de deux. Par contre, la représentation que nous proposons dans cette thèse dépasse cette restriction. Elle sera appliquée à chaque élaboration interne en virgule fixe du turbo décodeur.

Modélisation virgule fixe du turbo décodeur

Plusieurs travaux dans la littérature ont traité cette problématique de modélisation en virgule fixe des algorithmes de décodage itératif [73][39][30]. De plus, des indications utiles sont fournies pour l’implémentation pratique du turbo décodeur [19][12] et du décodeur LDPC [89][79]. En outre, les modèles dans [73] et [37] fournissent des bornes pour l’augmentation maximale des signaux impliqués à l’intérieur du décodeur Turbo.

L’algorithme de turbo décodage est reformulé dans le domaine de l’arithmétique virgule fixe pour impliquer les opérations avec des entiers. Suivant une approche en cascade, toutes les opéra-tions impliquées dans l’algorithme sont successivement converties en leur représentant en virgule fixe une après l’autre.

1-L’information canal a priori : Les LLRs canal sont quantifiés selon (4.14) en utilisant un seuil A_λch et N_λch bits.

2-La métrique de branche : Le calcul de γ_k(e) dans (4.4) implique la somme de messages de fiabilités canal a priori λ^ch_k,i, i = 0, 1, ..., n − 1. Par conséquent, dans le pire des cas, la somme

cohérente γ_k(e) est donnée par :

γ_k(e) = n.A_λch (4.15)

La représentation en virgule fixe Γ de γ doit être représentée avec :

Aγ = n.A_λch (4.16)

et le nombre de bits de γ est donné par :

N_γ = N_λch+ dlog₂(n)e. (4.17)

3-L’opérateur max^∗ : L’opération z = max^∗(x, y) implique le calcul du max des deux signaux

x et y, et l’addition du terme correctif dans l’intervalle ]0, log2]. Par conséquent, la dynamique

de z est majorée par A_z. Elle est donnée par la relation suivante :

Afin de laisser la comparaison possible, les versions en virgule fixe X et Y de x et y respectivement doivent avoir la même résolution, soit donc ∆_x = ∆_y = ∆. Sous cette hypothèse, le nombre de bits nécessaires pour représenter z peut être déduit de la définition de ∆ comme suit :

2^Nz = ^2.Az ∆ ^{+ 1 =} 2.A ∆ ⁺ 2.log2 ∆ ^{+ 1 = (2} N − 1) +^2.log2 ∆ ^{+ 1 = 2} N(1 +log2 A ^{) (4.19)}

avec A = max(A_x, Ay) et N = max(N_x, Ny). Par conséquent, nous supposons que A > log2 ce qui est généralement le cas, alors l’expression (4.19) donne :

Nz= dlog₂  2^N  1 +log2 A  e = N + 1. (4.20)

Par contre, les équations (4.19) et (4.20) sont strictement maintenues lorsque x = A_x = y =

A_y = A i.e. lorsque la contribution du terme correctif est maximale. En plus de ce cas très défavorable, le bit additionnel exprimé dans (4.20) n’est pas réellement exploité et l’utilisation de A_z = max(A_x, Ay) est généralement suffisante. Par conséquent, le résultat de l’opérateur

max∗ peut être saturé sur N_z = N bits. Cette approximation conduit à de très faibles pertes d’information et par la suite possède un impact négligeable sur les performances de l’algorithme. Ainsi, l’opération max^∗ en virgule fixe devient :

Z = max^∗(X, Y ) = min{max(X, Y ) + LU T (D), L} (4.21) avec L = 2^{N −1}− 1 est le seuil de saturation. Dans cette dernière expression, le terme correctif est quantifié en utilisant la même résolution ∆ que les entrées x et y et il est enregistré dans une table de recherche LUT (look-up table) adressée par D = |X − Y |.

4-L’information extrinsèque a posteriori Puisque les messages de fiabilités extrinsèques

a posteriori et les récursions forward/backward sont mutuellement dépendants à travers le

prin-cipe turbo itératif, leur représentation en virgule fixe peut être étudiée sous l’hypothèse que les récursions métriques d’état soient représentées sur N_α = N_β = N_γ+ h bits, où h est un entier. D’après l’équation (4.10), la dynamique de λ^O est majorée par :

A_λO = (A_α+ A_β+ A_γ) − (−A_α− A_β− A_γ) = 2.(2A_α+ A_γ) = 2A_γ.(1 + 2^h+1) (4.22) avec A_α = 2^hAγ et A_α = A_β.

Nous pouvons alors exprimer la représentation de la précision de λ^O à partir de la relation

N_λO = dlog₂(2A_λO/∆_λO + 1)e bits, ce qui donne :

N_λO = 1 + N_γ+ dlog₂(1 + 2^h+1)e = 1 + N_γ+ dmax^∗₂(0, h + 1)e (4.23) avec la fonction max^∗₂ correspondant à l’opérateur max^∗ en base deux, et défini par :

max^∗₂(a, b) = max^∗(a, b) + log₂(1 + 2^−|a−b|). (4.24) Deux cas peuvent être distingués :

a) h ≥ 0 : Il est facile de prouver que dmax^∗₂(0, h + 1)e = h + 2, par conséquent, N_λO =

N_γ+ h + 3 = N_α+ 3.

b) h < 0 : dmax^∗₂(0, h + 1)e = 1, N_λO = N_γ+ 2 = N_α+ 2 − h. Dans les deux cas, N_λO est une fonction connue de N_α et h.

5-Les récursions métriques d’état A cause de leur calcul itératif, l’amplitude des récursions forward/backward continue à augmenter tout au long du treillis si les récursions ne sont pas contrôlées par des moyens de saturations. Sous les mêmes hypothèses (N_α= N_γ+ h), l’augmen-tation des métriques d’état après une étape de mise à jour est majorée par :

2(A_α+ A_γ+ A_λI) = 2A_α(2 + 2^−h+ A_λI/A_α) (4.25) où l’information a priori λ^I est en effet la sortie a posteriori du bloc SISO précédent et donc

A_λI = A_λO. En remplaçant (4.22) dans (4.25), cette dernière devient :

2A_α(1 + 2^−h+ 2.h⁻¹.2^1−h) = 2(5 + 2^−h+ 2^1−h)A_α. (4.26) Nous pouvons donc conclure que la dynamique de α augmente d’un facteur de 2(5 + 3.2^−h) après chaque itération du turbo décodeur ce qui se traduit par l’ajout de 1 + dlog₂(5 + 3.2^−h)e bits. De même que précédemment, deux cas de figure peuvent se présenter :

– h ≥ 0 : le terme 2(5 + 3.2^−h) est borné par 5 et 8, ce qui engendre l’addition de 4 bits à chaque itération.

– h < 0 : le terme dlog₂(5 + 3.2^−h)e est évalué à 2 − h et, au total, 3 − h éléments binaires sont ajoutés à chaque étape.

Par conséquent, la saturation de 4 ou 3 − h bits respectivement, empêche l’augmentation incon-trôlée des métriques d’état représentées par (A_α, Nα). Dans [73] et [37], des bornes sont données pour la dynamique des récursions métriques d’état, et sont utilisées pour dimensionner la pré-cision interne du bloc SISO. Par contre, dans l’approche que nous proposons, la résolution des métriques d’état est une entrée libre du modèle et elle est contrôlée par des moyens de saturation.