Autres effets de la quantification

Nous avons jusqu’à présent concentré notre analyse sur l’erreur de quantification engendrée par la représentation en arithmétique virgule fixe des données présentes en entrée d’un opérateur. Cependant, l’opération de quantification en arithmétique virgule fixe peut également modifier le comportement global d’un système notamment lorsque l’opération de quantification porte sur les paramètres décrivant ce système. Certains changements peuvent ainsi être particulièrement importants puisqu’ils peuvent affecter la stabilité du système dans certains cas. Ces effets sont étudiés essentiellement selon deux catégories.

La première catégorie est l’impact de la quantification des paramètres du système. Dans [55], l’effet de la quantification des coefficients sur les bornes de l’intervalle du signal en sortie est déterminé.

A partir des outils d’analyse de l’arithmétique d’intervalles et de l’arithmétique affine, il est ainsi démontré que, dans certains cas, la quantification des coefficients d’un système peut engendrer, en sortie du système, un bruit dont la puissance est plus importante que celle obtenue lors de la quantification des données présentes à l’entrée du système. L’effet de la quantification d’un coefficient sur la sensibilité d’un système global est également étudié dans le domaine de la transformée en z et celui de la transformée de Fourier par les auteurs de [45] et [88]. Enfin, signalons également l’approche proposée dans [51] permettant d’évaluer cette sensibilité à partir d’une technique relativement simple basée sur la simulation.

L’effet non linéaire engendré par le processus de quantification peut également jouer un rôle fondamental dans le cas où le système comporte des boucles récursives. Cette situation consti-tue le cadre principal de ce travail de thèse, et plus particulièrement celui obtenu lorsque ces boucles sont constituées d’opérateurs non lisses tels que les opérateurs de décision. Ainsi, sous certaines conditions, des oscillations peuvent apparaître en sortie du système [72], [87]. Il est alors important de pouvoir détecter l’apparition de cycles limites engendrés par l’opération de quantification. D’autres travaux , e.g. [20], [21], et [91], précisent les conditions garantissant la stabilité asymptotique d’un système. Ces études sont essentiellement basées sur des approches par simulations en raison de la difficulté mathématique rencontrée pour obtenir des expressions analytiques. Aussi, afin de limiter le temps requis pour réaliser ces simulations de façon exhaustive [56], d’autres travaux [53] ont permis d’accélérer l’étape de simulation en utilisant conjointement des techniques d’analyse basées sur l’arithmétique affine.

1.3.5 Bilan des deux approches

En premier lieu, les techniques statistiques par simulations en virgule fixe sont particulière-ment intéressantes en raison de leur simplicité de réalisation mais égaleparticulière-ment puisqu’elles s’ap-pliquent directement à n’importe quel type de système (linéaire, non linéaire, bouclé, ...). Mal-heureusement, afin d’obtenir des résultats statistiquement significatifs, il est nécessaire de réaliser ces simulations sur un nombre important de données en entrée (Monte Carlo) ce qui conduit

rapi-dement à des temps de simulation prohibitifs, et plus particulièrement lorsqu’il est nécessaire de balayer l’espace complet des formats en virgule fixe. L’autre approche est l’approche d’évaluation basée sur les modèles analytiques pour évaluer mathématiquement une métrique de précision. Cette approche est basée sur l’évaluation du comportement de bruit par le biais d’une expression mathématique dont le calcul n’est effectué qu’une seule fois. Une fois cette expression analy-tique disponible, les paramètres statisanaly-tiques décrivant le bruit s’obtiennent directement et en une seule fois. Par conséquent le temps nécessaire pour l’évaluation de la précision est relativement limité puisqu’il correspond au coût de l’évaluation de cette expression analytique. Ce temps est donc nettement plus faible que celui requis par les approches basées sur la simulation en virgule fixe (cf. figure 1.18). Cependant, l’obtention d’une expression analytique décrivant les propriétés statistiques du bruit de quantification peut se révéler difficile pour certains types de systèmes notamment ceux possédant des opérateurs non lisses.

Figure 1.18 – Les temps d’optimisation des deux approches en fonction de nombre d’évaluation

1.3.6 Les approches hybrides

Afin d’accélérer les temps d’optimisation, des approches hybrides basées conjointement sur des modèles analytiques et sur des simulations ont été proposées [76]. Ces approches consistent à utiliser des modèles analytiques afin de décrire les éléments du système comportant des opérateurs élémentaires tels que additions, multiplications,..., mais également à utiliser la simulation pour évaluer le comportement d’opérateurs complexes tels que les opérateurs non lisses (un-smooth). Une étape d’évaluation sélective partitionne tout d’abord l’ensemble du système en plusieurs grappes d’opérateurs lisses séparées par des opérateurs non lisses. Pour chaque grappe d’opéra-teurs lisses, un modèle de sources de bruits est dérivé afin d’analyser l’effet des opérations de quantification, puis ces valeurs sont propagées à travers le système jusqu’à ce qu’un opérateur non lisse soit rencontré. Dans cette approche hybride, les grappes d’opérateurs lisses sont évaluées par le biais d’une approche analytique et les opérateurs non lisses sont évalués par le biais de simulations. Une telle approche permet d’utiliser pleinement les modèles analytiques pour estimer le comportement des blocs lisses, soit donc de bénéficier au maximum de leurs avantages.

1.4 Conclusion

Nous avons vu dans ce chapitre les différentes types de codage de données et en particulier celui relatif à l’arithmétique en virgule fixe. Cette arithmétique possède d’immenses avantages pratiques essentiellement pour les applications de traitement numérique de signal. Cependant, elle conduit à la génération de bruit de quantification qui se propage au sein de l’application et modifient la précision des calculs. Ainsi, l’évaluation de la précision en virgule fixe est une étape primordiale dans la conception des systèmes en virgule fixe. Afin d’évaluer cette précision, deux approches fondamentales ont été présentées : l’approche par simulation et l’approche analytique. Cette dernière est basée sur l’évaluation d’une métrique de précision par le biais d’une expression mathématique ce qui permet de réduire le temps d’optimisation par rapport à celui requis par l’approche par simulation qui devient prohibitif lorsqu’il s’agit de balayer l’espace des formats en virgule fixe. Les techniques d’évaluation de la précision par les modèles analytiques restent cependant limitées à des systèmes comportant des opérateurs lisses. Par conséquent, il est in-évitable d’utiliser les techniques basées sur la simulation pour certaines applications (ou parties d’application) comportant des opérateurs non lisses (un-smooth operators). Une approche hybride basée sur la combinaison des deux approches pour les applications comportant des opérateurs non lisses a été proposée dans [76]. Toujours dans l’optique de l’amélioration des temps d’optimi-sation, nous proposons dans le prochain chapitre, une approche purement analytique d’évaluation de la précision pour les opérateurs non lisses qui sera appliquée à l’évaluation de la précision en virgule fixe des algorithmes de décodage sphérique tel que le SSFE (Selective Spanning with Fast Enumeration) composé d’opérateurs lisses et d’opérateurs non lisses (opérateurs de décision).

Évaluation analytique de la précision