Modélisation des PDFs Distribution Gamma Généralisée (GGD)

La Fonction de Densité de Probabilité a, comme on a pu le remarquer, une forme caractéris- tique pour les régimes fortement non linéaires [Fig.4.9(d)]. Elle traduit le caractère rare des évènements très intenses, apparaissant dans notre régime. La théorie des valeurs extrêmes est une branche de la statistique qui traite des évènements rares et/ou extrêmes. Les distributions rencontrées sont de type, Gumbel, Weibull, Fréchet, ... [228,229]. Suivant les valeurs de leurs paramètres, ces dernières sont plus ou moins asymétriques avec des ailes plus ou moins pro- noncées. D’autres distributions présentent aussi de longues ailes (long tail en anglais) telles que Pareto, Levy, Zipf, ... C’est à dire que les évènements rencontrés dans cette aile sont plus nombreux (ou plus probables) que ceux prévus par la loi normale. En d’autres termes, la distribution s’écarte d’une distribution gaussienne. Notre but ici est de déterminer à quel type de distribution nos PDFs se rattachent. Si intuitivement il semble logique de se diriger vers des distributions telles que Weibull, Fréchet ou Gumbel, nous allons voir qu’aucune de celles-ci ne rend complètement compte de notre distribution. Nous utilisons la Distribution Gamma Généralisée (GGD), introduite pas Stacy et Mihran [230]. Elle combine la puissance de deux distributions : la distribution Gamma et la distribution de Weibull. Elle est définie par trois paramètres (Eq.4.2) : a, β et p [231],

GGD(x, a, β, p) = a x ap−1 Γ(p)βape

−(x_/β)a _(4.2)

où x est la variable de la distribution et représente dans notre cas la valeur de l’intensité du champ optique |Bout|2 des pics détectés. Γ est la fonction mathématique Gamma [232]1.

1. La fonction Gamma est définie par Γ(p) =´+∞

−∞t

p−1_e−t

Cette distribution est très flexible, elle regroupe les distributions Gamma (a = 1), Weibull (p = 1, a > 0), Exponentielle (a = 1, p = 1), Log-normal (p → ∞, a → 0, β → ∞) [233]. Ces distributions présentent des formes différentes, comme on peut le voir sur la figure 4.11, suivant la valeur des paramètres choisis. La GGD permet donc de reproduire une grande variété de distributions. L’inconvénient de cette distribution réside dans la difficulté à estimer les paramètres a, β et p . En effet, l’estimation des paramètres de la GGD est encore un problème ouvert [234]. Nous avons choisi ici la méthode des moments pour déterminer les paramètres a, β et p [231].

Figure 4.11: Cas particuliers de la Distribution Gamma Généralisée :

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Les moments mathématiques d’ordre r s’écrivent [230] : EGGD(xr) = βrΓ p +

r a

Γ (p) . (4.3)

Ils sont calculés numériquement ou mesurés expérimentalement à partir de la relation :

Ecal(xr) = 1 n n X i=1 xr_i (4.4)

où n est le nombre total de maxima (pics) et xi est égal à l’intensité |Bout|2 du maximum détecté. La méthode des moments consiste à résoudre EGGD = Ecal pour trois valeurs de r différentes (étant donnée qu’il y a trois inconnus a, β et p). Cette résolution est menée sous le logiciel Maple.

Nous choisissons d’effectuer un rapport des moments, pour éliminer le terme Γ (p) et ainsi simplifier la résolution mathématique du système. Le système devient donc :

EGGD xi
EGGD(xj) = Ecal xi
Ecal(xj) (i 6= j) = 1..3 (4.5)

Figure 4.12: Représentation de la PDF : (a) en échelle linéaire, (b) en échelle logarithmique.  points numériques,

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La détermination des paramètres a, β et p par une méthode plus conventionnelle, telle qu’une régression linéaire est possible. Cependant nous obtenons des résultats moins performants sur le paramètre donnant la concavité de la PDF et surtout plusieurs couples de solutions sont possibles. Les résultats des déterminations de a, β et p par la méthode des moments sont présentés dans le tableau (4.2).

Le tracé de la Distribution Gamma Généralisée, pour F0 = 5.5 et avec les paramètres dé- terminés par la méthode des moments, est représenté sur la figure 4.12(a) conjointement avec la Fonction de Densité de Probabilité. Nous traçons aussi son expression en échelles

I/Ith 8.7 12.5 17.0 22.1 28.0 34.6 41.9 49.8 a 1.33 1.25 1.14 1.12 1.06 1.05 1.03 1.04 β 10.86 12.49 14.06 17.63 19.74 23.33 26.47 31.69 p 0.8 1.05 1.24 1.28 1.4 1.44 1.49 1.48

Table 4.2: Valeurs des coefficients (a, β, p) de la Distribution Gamma Généralisée en fonc- tion de F0. R = 0.9, d = 5 mm, χ = 1, wx = 1400 µm.

semi-logarithmique [Fig. 4.12(b)]. Les deux représentations, linéaire et semi-logarithmique, nous montrent une concordance optimale entre la PDF et la GGD pour les faibles et intenses valeurs de |Bout|2. La représentation linéaire nous renseigne essentiellement sur la première partie de la courbe, contenant les évènements les moins intenses (forte probabilité). Ce sont les plus nombreux. La représentation semi-logarithmique informe sur les évènements intenses et rares. La GGD obtenue par la méthode des moments donne une excellente correspondance avec la PDF. L’évolution des paramètres de la GGD avec F0 sera reprise dans la section4.4.4. Mais elle montre essentiellement que le régime très fortement non linéaire est caractérisé par le paramètre a qui tend vers 1. C’est à dire que la distribution tend vers une distribution Gamma. Dans ce cas, l’aile droite de la PDF suit une distribution gaussienne (loi normale) en amplitude [Fig.4.13(b)]. Les évènements intenses suivent alors une statistique gaussienne. Lorsque a > 1 [Fig. 4.13(c)] et pour les faibles valeurs de p (p < 2), les fortes intensités apparaissent moins souvent que si la distribution suivait une loi normale, la concavité en échelle semi-logarithmique est alors tournée vers le bas. Dans le cas contraire, a < 1 [Fig. 4.13(a)], la concavité est tournée vers le haut et les évènements rencontrés vérifient le critère statistique que doivent vérifier les ondes scélérates, à savoir des évènements rares et intenses, mais plus fréquents que pour une statistique gaussienne. Ici nous sommes à la limite entre les deux types de concavité.

Grâce à cette distribution, nous pouvons caractériser les états en régimes turbulents et même s’intéresser de manière quantitative à l’évolution de la PDF pour des taux de pompage crois- sants. Elle peut être aussi étendue à d’autres types de systèmes fortement non linéaires présentant des évènements intenses et rares.

4.4.3 Application de la modélisation de la PDF au régime très fortement