Application de la modélisation de la PDF au régime très fortement non

(NLSE)

La fibre optique photonique en régime très fortement non linéaire a été étudiée ces dernières années en optique. En effet, au-delà de ses potentialités aussi bien fondamentales que dans les applications technologiques, la démonstration par Solli et al. [108] de la possibilité d’ob- server des ondes scélérates dans un tel système en a fait un des systèmes le plus étudié en

régime très fortement non linéaire. Il est donc judicieux d’appliquer l’approche adoptée ici en testant la modélisation de la PDF en régime très fortement non linéaire par la GGD dans la propagation d’une onde lumineuse dans une fibre optique. La fibre optique présente, à forte

Figure 4.13: Représentation de la GGD(x, a, 1, 1) pour trois valeurs de a différentes. (a) a= 0.5, (b) a = 1, (c) a = 1.5.

puissance, un régime d’émission d’ondes scélérates [200,108,201,203,204]. Pour reproduire numériquement la propagation d’une onde lumineuse dans une fibre optique monomode, nous utilisons l’équation de Schrödinger non linéaire généralisée prenant en compte la dispersion

jusqu’à l’ordre 3 et l’effet Raman [206] : ∂E(z, τf) ∂z =   − αf 2 − i β2 2 ∂2 ∂τ_f2 + β3 6 ∂3 ∂τ_f3 + iγf +∞ ˆ −∞ Rf(τf0)   E  z, τf − τf0    2 dτ_f0)   E(z, τf) (4.6) où E(z, τf) est l’enveloppe du champ électrique se propageant à la vitesse de groupe 1/β1, γf est le coefficient non linéaire à la longueur d’onde de la pompe, β2 et β3 sont les termes de dispersion d’ordre deux et trois et αf est l’atténuation linéaire de la fibre à la longueur d’onde de la pompe. Rf



τ_f0est la réponse non linéaire incluant l’effet Kerr et l’effet Raman (ERA). z est la position de l’onde lumineuse dans la fibre et τf est le temps retardé dans le repère de l’impulsion lumineuse.

Nous nous intéressons dans notre étude à trois cas différents : le cas de NLSE standard (β3 = ERA = 0), NLSE + β3 (β3 6= 0 et ERA = 0) et enfin NLSE + β3 + Raman (β3 6= 0 et ERA 6= 0). Nous nous plaçons dans les mêmes conditions que l’article de Mussot et al. [204]. Nous effectuons, pour chaque cas, 100 simulations numériques avec des conditions initiales différentes. Pour cela, nous travaillons avec un faisceau de pompe plan de puissance |E(z = 0, τ_f = 0)|2=10 Watts, sur lequel nous ajoutons un bruit gaussien correspondant à un demi photon par mode. Au bout d’une distance de propagation L = 400 mètres, nous enregistrons le signal temporel et nous détectons les maxima suivant la même méthode utilisée pour la boucle de rétro-action précédemment. Nous traçons les représentations linéaires et semi-logarithmiques des PDFs des trois séries de simulations en points bleus sur la figure 4.14(a-c), avec les profils d’intensité de la simulation correspondante où figure le pic le plus intense pour chaque série (d-f). En utilisant la méthode des moments, nous déterminons les paramètres (a, β et p) de la Distribution Gamma Généralisée, que nous représentons en trait rouge sur les figures4.14(a-b). Les GGD reproduisent très fidèlement les PDF associées lorsque l’on tient compte de β2 seul et de β2+ β3. Pour le dernier cas avec l’effet Raman, la GGD ne suffit plus pour reproduire complètement la PDF. Il faudrait corriger l’expression de la PDF en ajoutant un terme permettant de reproduire la PDF pour les très fortes intensités et ainsi rendre compte entièrement de ce régime d’émission d’ondes très intenses.

A travers cet exemple, nous montrons la possibilité d’utiliser la représentation de la Fonction de Densité de Probabilité, par la Distribution Gamma Généralisé, à un autre système pré- sentant statistiquement des évènements rares et intenses. Cet exemple montre ainsi, que le régime très fortement non linéaire de l’équation de NLSE (β3 = ERA = 0) est caractérisé par des ondes intenses qui apparaissent moins souvent ou au mieux aussi souvent qu’elles ne le feraient suivant une statistique gaussienne (la concavité de l’aile est tournée vers le bas). Or, il a été montré que des structures localisées (AB, Perigrine soliton) pouvaient être assimilées à des structures de type ondes scélérates dans ce régime. Ceci montre deux choses : la première étant, que le régime très fortement non linéaire de l’équation NLSE est caractérisé par une PDF qui tend vers une distribution Gamma. La seconde est que des ondes scélérates optiques

Figure 4.14: Colonnes de gauche :  Fonctions de Densité de Probabilité numériques et

-

f = 3×10−15s−1. |E (z = 0, τf = 0)|2 = 10 W , β2= −1.4×10−27s2.m−1, γf = 10 W−1m−1αf = 10 dB.km−1, L = 400 m.

(OSO) peuvent être obtenues avec une distribution dont la concavité n’est pas tournée vers le haut. Ce qui est notre cas dans le dispositif spatial de rétro-action optique, ainsi des OSO sont peut être présentes dans notre système spatial. Cette étude montre qu’il y a un lien étroit entre l’émission des ondes scélérates et leur signature en terme de PDF. Cependant, une analyse en termes statistiques reproduisant fidèlement les observations expérimentales est encore un problème ouvert qui nécessite des études plus approfondies que celles abordées dans cette thèse.

malgré ces limites, peut s’appliquer à d’autres systèmes dynamiques, présentant notamment l’émission d’ondes scélérates optique. Elle a au moins l’avantage de permettre l’accès à des indicateurs (les paramètres de la GGD), qui pourraient permettre de classifier les OSO, mais aussi d’étudier la transition entre le régime faiblement non linéaire et le régime très fortement non linéaire. C’est ce dernier cas que nous présentons maintenant.

4.4.4 Étude de la transition : régime faiblement non linéaire - régime très fortement non linéaire

Nous avons noté (Sec. 4.4.2), que le régime très fortement non linéaire est caractérisé par une PDF qui tend vers une distribution Gamma (le paramètre a tend vers 1). En effet, pour les grandes valeurs de F0, la courbe représentant a tend vers une asymptote horizontale [Fig. 4.15(a)], d’équation a = 1. Il est intéressant ici d’étudier le comportement de p et β comme

Figure 4.15: Évolution des paramètres : (a) a, (b) β et (c) p en fonction du champ de pompe F0. points issus des simulations numériques,

-

fonctions de F0. β traduit l’étirement de la PDF, i.e. la largeur de la cloche [Fig. 4.16(a- c)]. La variation de p quant à elle, influe sur la forme de la PDF pour les évènements de faibles intensités comme on peut le constater sur la figure4.16(d-f). Il apparaît deux régimes, aussi bien pour a que pour les deux autres paramètres β et p. On observe un changement dans l’évolution de a, β et p aux alentours de F0 '2 [cercles verts Fig. 4.15(a,b,c)]. β et p représentent des fonctions de F0 qui tendent aussi vers des asymptotes : oblique d’équation y= ax+b pour β [Fig.4.15(b)] et horizontale, d’équation y = 1.5 pour p [Fig.4.15(c)]. a(F0), β(F0) et p(F0) convergent vers leurs asymptotes à partir de F0≈4. Or, nous avons vu dans la section4.4.1précédente, qu’à partir de F0 = 4, le critèreHmax_/Hs>2 était vérifié. On peut donc penser que la convergence des paramètres a, β et p vers leurs valeurs asymptotiques respectives coïncide avec l’apparition de pics intenses et rares.

Figure 4.16: Colonne de gauche : représentation de la GGD(x, 1, β, 2) pour trois valeurs de β différentes. (a) β = 1, (b) β = 5, (c) β=10. Colonne de droite : représentation de la GGD(x, 1, 1, p) pour trois valeurs de p différentes. (d) p = 1, (e) p = 2.5, (f) p = 5.

En conclusion, l’analyse des indicateurs quantitatifs issus de la GGD des PDFs permet d’étu- dier la transition entre le régime faiblement non linéaire et le régime très fortement non

linéaire. On remarque sur la figure 4.15que (i) l’évolution des paramètres a, β et p, en fonc- tion du champ de pompe F0, présente pour chacune d’elle une inflexion au voisinage de F0 ≈2 (I/Iseuil ≈5.4, entourés en vert), ce qui indique un changement d’état dans le système. On peut alors considérer un régime très fortement non linéaire au delà de F0 ≈ 2, où le spectre présente une partie continue (continuum) et un autre régime non linéaire en deçà de F0≈2 (où le spectre est dominé par une paire symétrique de nombres d’onde et leurs harmo- niques). (ii) pour F0 supérieur typiquement à 4, certains des pics les plus intenses vérifient le critère pour la caractérisation des ondes scélérates, ce qui correspond pour les courbes de a, β et p en fonction de F0 à une convergence vers leurs asymptotes. On peut alors supposer qu’au-delà de F0 ≈ 4, les pics les plus intenses, qui disparaissent aussi rapidement qu’ils sont apparus, peuvent être assimilés à des ondes scélérates dans notre système. Une étude complémentaire en terme d’indicateurs, tels que les exposants de Lyapunov, la dimension des attracteurs étranges, les corrélations spatiales, etc, est nécessaire ici pour caractériser de fa- çon plus détaillée ces deux régimes (notamment celui du chaos spatio-temporel pour F0 >2). Cette étude n’est pas réalisée ici, mais est une perspective pour le futur.

Enfin, la mesure du paramètre a pourrait permettre de classifier les OSO suivant la nature concave ou convexe de l’aile de leur PDF (Fig.4.13).