5.2 Réduction de la complexité de la méthode spectrale
5.2.1 Modélisation de la courbe des non-linéarités pour une architecture à repliement
L’architecture à repliement et interpolation a été décrite en détail au chapitre 1. La nature des diverses erreurs des composants de cette architecture a également été décrite de manière ponctuelle, c’est à dire que les dérives du composant ont été expliquées, mais que l’impact global sur la forme de la courbe des non-linéarités n’a pas été exposé. Nous ne tenterons pas ici de relier cet impact directement aux diffé-rentes sources d’erreurs exposées au chapitre 1 : cette étude réclamerait de suivre avec rigueur la concep-tion physique de chaque bloc de l’architecture, multipliant alors le nombre de paramètres à prendre en considération. Dans cette section, nous nous contenterons d’observer la signature de l’architecture sur la courbe de non-linéarités. Le lecteur désireux de modéliser plus en détails les erreurs de l’architecture est convié à se référer aux travaux menés par [LSMW+04]. De nombreuses pistes sont fournies au regard du produit développé par l’auteur.
La figure 5.3 illustre le principe de la décomposition de la fonction de transfert énoncée au chapitre 1. Cette décomposition se traduit par une première conversion grossière à partir d’un convertisseur de résolution Q. A partir de cette première conversion, un signal résidu est obtenu et est dirigé vers un convertisseur de résolution q.
Si l’on considère que le premier convertisseur est idéal, alors sa courbe de non-linéarités vaut 0 quelque soit le code excité (figure 5.4(a)). Si l’on considère que le second convertisseur n’est pas idéal, alors il possède une courbe de non-linéarités non nulle dépendante du code excité (figure 5.4(b)). La composi-tion de ces deux fonccomposi-tions de transfert fournit le code de sortie du convertisseur. Le fait qu’uniquement le second convertisseur possède des non-linéarités se traduit par la courbe de non linéarités globales illus-trée sur la figure 5.5. La récurrence d’apparition des non-linéarités du convertisseur de résolution q est évidente.
En observant une courbe de non linéarités issue d’un convertisseur réel (figure 5.6), l’apparition de ces récurrences est également évidente. Sur la figure, une sinusoïde de période 128 codes a été tracée afin de mettre en évidence ce phénomène cyclique. Le nombre 128 provient du fait que l’architecture utilise 64 signaux de référence dans le premier étage de repliement. Comme la résolution du convertisseur est de 12bits, le convertisseur de résolution q convertit 212/64 = 64 niveaux différents entre chaque tension de référence.
FIG. 5.3 – Fonctions de transfert
(a) NLI du convertisseur de résolution Q (b) NLI du conver-tisseur de résolution q
FIG. 5.4 – Courbes de NLI des deux convertisseurs de l’architecture
FIG. 5.5 – NLI résultante
Pour faire apparaître la présence d’autres cycles au sein de cette courbe de non linéarités, l’utilisation d’une transformée de Fourier est toute indiquée. Afin de ne pas confondre l’utilisation de la transformée de Fourier pour le signal converti et pour la courbe des non-linéarités, nous utiliserons un nouveau for-malisme. Ce formalisme décrit dans la table 5.2.1 transpose les notions bien établies de temps, période, fréquence et spectre en un nouveau champ lexical.
Lorsqu’une transformée de Fourier est appliquée sur une courbe de non-linéarités (figure 5.7(a)), les récurrences apparaissent clairement (figure 5.7(b)), et les cycles peuvent alors être déterminés. Par exemple, la récurrence R = 32 est prédominante dans le spectr_inl de la figure 5.7(b), elle correspond à un cycle de C = 212/32 = 128. Il s’agit bien du cycle observé sur la figure 5.6.
5.2. RÉDUCTION DE LA COMPLEXITÉ DE LA MÉTHODE SPECTRALE
FIG. 5.6 – Cyclicité de la NLI
Signaux usuels Courbe de non linéarités
Temps (t) Code (c)
Période (T) Cycle (C)
Fréquence ( f ) Récurrence (R)
Spectre Spectr_inl
TAB. 5.1 – Formalisme de l’analyse fréquentielle des NLI
(a) NLI (b) Récurrences de le NLI
FIG. 5.7 – Récurrences au sein de la courbe de non-linéarités
De la même façon que pour un spectre classique, le spectr_inl traduit la puissance et donc la présence de certaines récurrences au sein de la courbe transformée. Plus la puissance de la récurrence est élevée, plus le cycle sera visible au sein de la forme de la courbe. En utilisant uniquement les récurrences de puissances fortes, on peut ainsi obtenir une description optimisée de la courbe de non-linéarités. La figure 5.7(b) met en évidence la prépondérance de la récurrence R = 32 et des ses harmoniques impaires R= (2×k + 1)×32. Les premières récurrences (< 32) possèdent également une énergie importante, elles sont donc à considérer dans le modèle de description.
La figure 5.8 met en évidence la différence de reconstruction de la courbe de non-linéarités en fonction des récurrences choisies pour décrire la fonction. Ainsi la figure 5.8(a) représente la courbe des non-linéarités reconstruite à partir des seules 28 premières récurrences, tandis que la figure 5.8(b) représente
la courbe reconstruite lorsque les 28 récurrences les plus puissantes ont été sélectionnées.
(a) NLI reconstruite à partir des 28premieres récurrences (b) NLI reconstruite à partir de 28 récurrences choisies
FIG. 5.8 – Reconstruction en fonction du choix des récurrences
En appliquant ces nouvelles considérations à la formule décrivant la fonction périodique Φ(.) énoncée au chapitre 3, on obtient une description simplifiée de la fonction de non-linéarités en fonction du nombre Kpdes premières récurrences, et du nombre Khd’harmoniques considérées :
Φ(x) ≈ a20+ Kp ∑ k=1 (akcos(kωx) + bksin(kωx))+ Kh ∑ k=0 a(2×k+1)×32cos(((2×k + 1)×32)ωx) + b(2×k+1)×32sin(((2×k + 1)×32)ωx) (5.1)
Cette nouvelle modélisation optimisée de la fonction représentant les non-linéarités du convertisseur réduit le nombre de paramètres nécessaires à une description correcte de la fonction. L’impact de ce jeu de paramètres réduits sur le calcul de la matrice TKMAX est exprimé dans la section suivante.