C. Comportement Dynamique
III. Modélisation des Conditions de Culture
1. Modélisation de la composition
Réduction du Système des Espèces Chimiques
Comme on a pu le voir au chapitre précédent (II.3), la croissance de la biomasse est en partie déterminée par la composition de son environnement et la température. On ignore l'effet de la pression car toute l'étude se déroule à pression ambiante/atmosphérique). Ont été établis des liens entre ces paramètres et la croissance (cf. modèles (14), (17) et (18)), et ce dans des conditions spécifiques et contrôlées. On s'intéresse maintenant à l'évaluation de la composition du milieu dans le cas général d'une culture de spiruline (restreint, bien sûr, au cadre technique de l'étude), afin d'alimenter ces modèles et d'être capable de simuler numériquement la croissance de la microalgue dans des conditions données (i.e. photobioréacteur et protocole). Tout d'abord, étant donné que le procédé de culture que l'on cherche à représenter est thermostaté, il n'est pas besoin d'évaluer ce paramètre puisqu'il s'agit d'une valeur de consigne (connue et constante). Il n'est donc plus discuté de ce facteur par la suite. En revanche, ce n'aurait pas été le cas s'il l'on eût voulu simuler le fonctionnement d'un photobioréacteur lagunaire (en extérieur) soumis à des variations périodiques (quotidiennes et saisonnières) de température et où les calculs de transfert de chaleur (et changement de phase) aurait certainement été un passage obligé pour caractériser correctement les conditions opératoires. Concernant la composition du milieu, on maitrise dans la pratique les quantités de matières introduites dans le milieu de culture, initialement ou bien même ultérieurement pendant la culture. Au-delà de ces apports, on sait observer en cours de culture des grandeurs macroscopiques mesurables facilement comme le potentiel en hydrogène ou le potentiel d’oxydo-réduction (resp. pH et pE). Mais ces mesures ne sont qu’une conséquence globale des différentes concentrations après que les interactions chimiques aient eu lieu et non leur représentation. On peut citer l'exemple le fait qu’une infinité de couples de concentrations initiales en bicarbonate et soude peuvent donner un pH identique, du moment que la proportion entre leurs deux concentrations demeure constante [98]. Ainsi, une description correcte du milieu ne peut se faire au simple regard de ces grandeurs mais bien par la prise en compte des réactions chimiques et des bilans de quantités de matières correspondantes (cf. en II.3.C, la volonté de décrire la cinétique en fonction des concentrations des espèces en solution et non des grandeurs telles quantités introduites et pH).
Cependant, un grand nombre d’espèces en solution implique aussi un certain nombre d’interactions entre elles : précipitations, coordinations, réactions totales ou d'équilibres. Toutefois, ces interactions peuvent être non-linéaires (dans leur d'équation), comme les complexations ou les précipitations, et surtout elles ne sont pas toutes établies, notamment pour les oligoéléments. Par conséquent, considérer l’intégralité des espèces composant le milieu viendrait non seulement complexifier le modèle dans sa résolution, mais augmente aussi la quantité de connaissances nécessaires à son écriture (i.e. toutes les interactions). Cela conforte la décision, prise en partie II.2, de restreindre la chimie du système à ses deux composés prépondérants pour la modélisation de la cinétique : nitrate et bicarbonate (ainsi que ses différentes formes en solution aqueuse). Pour rappel : on suppose que l'effet des autres espèces est constant dans le temps, soit parce que leur concentration et constante ou parce que leur variation est négligeable à l'échelle de l'étude (et peuvent alors être intégrée dans le modèle biologique à travers une constante
𝜇
𝑚𝑎𝑥 dans l'expression du taux de croissance (équation(4)). Mais à travers cette simplification drastique du modèle, un certain nombre d’hypothèses ont été implicitement émises :• on ignore toutes réactions chimiques (et leurs effets) qui peuvent survenir entre et avec toutes les espèces qui ne sont pas considérées ici
• l'ensemble des espèces sont et restent entièrement en solutions, et remplissent donc leurs rôles car biodisponibles (les concentrations calculées sont celle nécessaires à l'utilisation des modèles cinétiques)
• pour rappel : on émet aussi l'hypothèse dans l'évaluation des concentrations que le mélange est parfait sur l'ensemble du volume réactionnel (validé par la comparaison des temps caractéristiques de mélange, <1 min, et de croissance biologique, >1 j)
Mise en Équations de la Chimie du Système
On s'intéresse maintenant plus spécifiquement à la chimie des espèces restantes. Pour commencer le nitrate et les différentes formes du carbone sont toutes des espèces oxydantes (i.e. acceptrices d'électrons) et ne peuvent interagir entre elles dans une réaction d'oxydoréduction (cf. leur potentiel standard, [113]). Par ailleurs, le nitrate ne peut intervenir dans une réaction acidobasique dans nos conditions (cf. pKaN négatif, visible au Tableau 5 en fin de partie). La nitration en milieu aqueux ne peut se faire qu'en présence d'un acide fort ou
en condition de très fortes pressions et température (mécanisme radicalaire). De plus le nitrate est suffisamment soluble dans l'eau (cf. Tableau 5) et non-volatil (dégradation avant ébullition), par conséquent le bilan matière seul suffit à l'estimation de sa concentration (via la loi (18)). On suppose que les solubilités changent suffisamment peu avec la température et l'activité ionique pour ne pas poser problème dans nos conditions.
{
𝑯
𝟐𝑪𝑶
𝟑 (𝒂𝒒)+ 𝑯
𝟐𝑶 ↔ 𝑯𝑪𝑶
𝟑 𝒂𝒒−+ 𝑯
𝟑𝑶
+𝑲
𝒂𝟏= [𝑯𝑪𝑶
𝟑−] ∙ [𝑯
𝟑𝑶
+]
[𝑯
𝟐𝑪𝑶
𝟑]
{
𝑯𝑪𝑶
𝟑 𝒂𝒒−+ 𝑯
𝟐𝑶 ↔ 𝑪𝑶
𝟑 𝒂𝒒𝟐−+ 𝑯
𝟑𝑶
+𝑲
𝒂𝟐= [𝑪𝑶
𝟑 𝟐−] ∙ [𝑯
𝟑𝑶
+]
[𝑯𝑪𝑶
𝟑−]
{𝟐 ∙ 𝑯
𝟐𝑶 ↔ 𝑯
𝟑𝑶
++ 𝑯𝑶
−𝑲
𝒂𝒆= [𝑯
𝟑𝑶
+] ∙ [𝑯𝑶
−]
[𝑯𝑪𝑶
𝟑−] + 𝟐 ∙ [𝑪𝑶
𝟑𝟐−] + [𝑯𝑶
−] = [𝑯
𝟑𝑶
+]
[𝑪𝑶
𝟐] + [𝑯𝑪𝑶
𝟑−] + [𝑪𝑶
𝟑𝟐−] = [𝑪𝑶
𝟐]
𝒊+ [𝑯𝑪𝑶
𝟑−]
𝒊+ [𝑪𝑶
𝟑𝟐−]
𝒊 (26)Avec : 𝑪𝟎𝟐𝒂𝒒l’acide carbonique, 𝑯𝑪𝑶𝟑− l’hydrogénocarbonate ou bicarbonate, 𝑪𝑶𝟑𝟐− le carbonate, 𝑯𝟑𝑶+l'hydroxyde, 𝑯𝑶− l'oxonium, [𝒙] la concentration en l'espèce x, 𝑲𝒆la constante de réaction d'autoprotolyse de l'eau, 𝑲𝒂𝟏𝑒𝑡 𝑲𝒂𝟐 resp. les constantes de première et
seconde acidité de du bicarbonate. Et dans l'ordre : la première acidité du bicarbonate, la seconde acidité de bicarbonate, l'autoprotolyse de l'eau, l'électroneutralité du milieu, et la conservation de l'atome de carbone. Remarque : Les différents contre-ions sont des espèces
spectatrices
{
𝑪𝑶
𝟐 (𝒂𝒒)+ 𝑯
𝟐𝑶 ↔ 𝑯
𝟐𝑪𝑶
𝟑 (𝒂𝒒)𝑲
𝒉= [𝑯
𝟐𝑪𝑶
𝟑]
[𝑪𝑶
𝟐]
(27){
∆[𝑪𝑶
𝟐 𝒂𝒒] = 𝑲
𝒈𝑪𝑶𝟐∙ (𝑪
∗− [𝑪𝑶
𝟐 𝒂𝒒])
𝑪
∗= 𝑯
𝑪𝑶𝟐∙ 𝑷
𝑪𝑶𝟐𝑲
𝒈𝑪𝑶𝟐= 𝑲
𝒈𝑶𝟐∙ √𝑫𝒊𝒇𝒇
𝑪𝑶𝟐𝑫𝒊𝒇𝒇
𝑶𝟐Avec : [𝑪𝟎𝟐(𝒂𝒒)] la concentration de dioxyde de carbone hydraté, [𝑯𝟐𝑪𝟎𝟑(𝒂𝒒)] la concentration d'acide carbonique, 𝑲𝒉le coefficient d'hydratation de dioxyde de carbone en solution, 𝑲𝒈𝑪𝑶𝟐 le
coefficient de transfert interfacial du dioxyde de carbone, 𝑲𝒈𝑶𝟐 le coefficient de transfert interfacial du dioxygène, 𝑪∗ la solubilité de l'acide carbonique en solution aqueuse, 𝑯𝑪𝑶𝟐 la
constante de Henry pour le dioxyde de carbone, 𝑷𝑪𝑶𝟐la pression partielle en dioxyde de carbone du gaz (air atmosphérique), 𝑫𝒊𝒇𝒇𝑪𝑶𝟐coeficient de diffusion du dioxyde de carbone,
𝑫𝒊𝒇𝒇𝑪𝑶𝟐coefficient de diffusion du dioxygène
Par contre, le bicarbonate n'est quant à lui pas inerte, comme on l'a introduit en partie II.3.C. C'est un amphotère, il qui intervient dans deux réactions d'équilibres acidobasiques (cf. pKa au Tableau 5 et digramme de prédominance en Figure 38) et il peut donc se trouver simultanément sous trois formes en solution : acide carbonique, bicarbonate (ou hydrogénocarbonate) et carbonate. Ces équilibres acidobasiques font, eux-mêmes, intervenir les formes de l'eau : ions hydroxyde et oxonium. Le système des espèces en solution nécessite donc cinq équations algébriques pour être entièrement déterminé, explicité en (26), respectivement : la première et la seconde acidité du carbone inorganique en milieu aqueux, l’autoprotolyse de l’eau, l’électroneutralité du milieu et enfin la conservation de la masse de carbone. Parmi ces espèces : le bicarbonate et le carbonate sont suffisamment solubles relativement à la formulation du milieu de culture (cf. Tableau 5) et ne sont par ailleurs pas volatils (température d'ébullition non-définie, [113]), seules les lois (18) et (26) sont donc à considérer. De même l'eau est volatile (cf. pression de vapeur saturante, Tableau 5), cependant sa quantité dans le réacteur est une consigne de régulation du procédé (connue et constante, comme pour la température). Ainsi les espèces de l'eau interviennent exclusivement dans les équations (26). Par contre, l'acide carbonique est en équilibre avec le dioxyde de carbone hydraté (en faveur de ce dernier, cf. Kh en Tableau 5), qui lui-même est un gaz volatile et peut donc être transféré entre le milieu et le bullage. Dès lors, il faut prendre en compte de transfert de matière à l'interface entre le liquide et le gaz, ce qu'on fait grâce à l'écriture de l'équation (27). Toutes les grandeurs physico-chimiques relatives aux équations (26),(27) sont énumérées en Tableau 5 ci-après.
Figure 53 : Évolution du pH dans le pilote en présence du milieu de culture seul avec un bullage de 20L∙min-1 et régulé à 35°C
En revanche, on constate expérimentalement Figure 53 que contrairement à ce que le pH basique de la solution pourrais laisser croire, celui-ci agit comme une émetteur et non comme un puit de dioxyde de carbone (que l'on déduit de l'augmentation du pH Figure 53 et du diagramme de prédominances Figure 38). Cela s'explique par la faible solubilité du dioxyde de carbone en solution aqueuse, car bien que cette espèce soit largement minoritaire à nos pH, la quantité totale de carbone inorganique en solution impose le sens du transfert (équation (27) : [CO2(aq)]>C*). Un tel résultat n'est pas souhaitable car il signifie qu'une fraction de notre principal intrant chimique est perdue et donc ne participe pas à la croissance biologique, sans compter l'aspect contradictoire d'émettre du dioxyde de carbone alors que le procédé vise une production plus écologique de protéines alimentaires. Heureusement, dans le cas du pilote ce phénomène est assez peu marqué. Ainsi, sur trois semaines et avec le débit de bullage maximum (i.e. 20 L∙min-1), seul 0,02 mol de dioxyde de carbone ont été transférés vers le gaz de bullage, soit moins de 10% de la quantité de carbone initialement introduite. Ainsi néglige-t-on par la suite le transfert interfacial (i.e.
𝐾
𝑔= 0 𝑠
−1, lors des résolutions numériques). Autre remarque concernant la question du transfert de matière : le choix technique d'une agitation des cultures par bullage fait que l'on n'a jamais observé de limitation due une concentration excessive en dioxygène dissout. Mais, si le phénomène venait à devoir être pris en compte (ex. choix agitation mécanique en environnement clos), l'équation à ajouter dans le modèle serait alors similaire à celle sur le transfert du dioxyde de carbone (le coefficient étant d'ailleursdéjà connu, cf. Tableau 5 et Figure 81) [38], [81]. Il resterait alors déterminer (ou extraire de la littérature) la loi
𝜇
𝑂2 décrivant l'influence de la concentration en dioxygène dissout sur la croissance.Tableau 5 : Liste des grandeurs physiques utilisées pour représenter la physico chimie du milieu.
Grandeurs Valeurs (unité) Sources
Solubilité nitrate de
potassium (eau, 20°C) 357 g∙L-1 Littérature : [114]
Potentiel de dissociation (pKaN) de l'acide nitrique (HNO3) -1,37 (-) Littérature : [113] Solubilité du bicarbonate de sodium (eau, 20°C) 96 g∙L-1 Littérature : [115] Solubilité de carbonate
de sodium (eau, 20°C) 213 g∙L-1 Littérature : [116]
Pression de vapeur saturante de l'eau à 35°C
5,6 kPa Application numérique
Ka1(T (K)) 𝑒𝑥𝑝 (−12092,1 𝑇 − 36,7816 ∙ ln(𝑇) + 235,482) Littérature : [37] Ka2(T (K)) 𝑒𝑥𝑝 (−12431,7 𝑇 − 35,4819 ∙ ln(𝑇) + 220,067) Littérature :[37] Ke(T (K)) 𝑒𝑥𝑝 (−13445,9 𝑇 − 22,4773 ∙ ln(𝑇) + 140,932) Littérature :[37] Ka1 (35°C) 4,8501∙10-7 (-) Application numérique Ka2 (35°C) 5,5863∙10-11 (-) Application numérique Ke (35°C) 2,0664∙10-14 (-) Application numérique Kh (25°C) 1,70∙10-3 (-) Littérature : [117]
KgCO2 (35°C, 10 L∙min-1) 1,61∙10-3 s-1 Formule : (27)
KgO2 (35°C, 10 L∙min-1) 1,69∙10-3 s-1
Mesure expérimentale : Figure 81 (HAMILTON, visiferm do arc 120) HCO2 (35°C) 3,4∙10-2 mol∙L-1∙atm-1 Littérature : [118]
yCO2air 408 ppm Littérature : [119]
PCO2 4,08∙10-4 atm Loi de Raoult (hypothèse
de gaz parfait) DiffCO2 (25°C) 1,92∙10-9 m2∙s-1 Littérature : [120] DiffO2 (25°C) 2,10∙10-9 m2∙s-1 Littérature : [120]
Validation
Par ailleurs, ou vérifie l'aptitude du modèle à décrire la composition du milieu de culture. Ainsi, la résolution des équations (26) appliquées aux quantités de matières initiales introduites dans le milieu P3 permet bien de retrouver le pH initial de 9,6 (après solubilisation de toutes les espèces). Par la même, on obtient les concentrations des différentes formes du carbone inorganique en solution nécessaires à l'évaluation de la cinétique
𝜇
𝐶 (loi (17)), dans le respect du diagramme de prédominance (en Figure 38). La résolution se fait par une méthode de Newton-Raphson décrite en partie Modélisation des Conditions de Culture III.4. On peut aussi simuler la courbe de dosage du milieu de culture P3 par un acide fort (cf. Figure 54), ce qui prouve sa capacité à résoudre les équilibres et leur évolution face à une sollicitation externe (titrage ou croissance biologique). L'écart croissant entre les données et le modèle s'explique par le fait qu'expérimentalement l'acidification du milieu va de pair avec un dégazage important du dioxyde de carbone (peu soluble, cf. Tableau 5) qui n'est pas comptabilisé dans la simulation (cf. paragraphe précédent et Figure 53) puisque qu'un titrage n'est censé être le reflet que des seuls équilibres.Figure 54 : Comparaison de l'évolution du pH lors du titrage du milieu P3 à 20°C par de l'acide chloridrique (HCl) à 2 mol∙L-1 obtenu expérimentalement et selon le modèle (formule (26))
De plus, au-delà des simplifications déjà énoncées, on a fait aussi l'hypothèse d'une solution idéale dans le calcul des équilibres. Or, notre milieu est un électrolyte relativement concentré (i.e. >1 mol∙L-1), les activités chimiques ne devraient pas, en toute rigueur, être réduites aux simples concentrations molaires. La Figure 55 est un exemple de la limitation d'une telle simplification : lorsque l'on cherche tout de même à simuler le transfert interfacial du dioxyde de carbone, la simulation s'inscrit en faux en décrivant une absorption et non une désorption. Le calcul du transfert est sensible à la valeur de
𝐶
∗ qui certainement est mal évaluée pour nos conditions de concentration et température, notamment car la loi de Henry utilisée en (27) n'est pas adaptée aux cas des solutions concentrées et réactives. Pour y remédier et obtenir des descriptions plus proches de la réalité, des modèles existent et pourraient être implémentés , celui de Pitzer notamment [42].Figure 55 : Comparaison entre l'expérience et le modèle (formule (26)) de l'évolution du pH lors d'un bullage prolongé du milieu de culture P3 seul à 35°C à 20 L∙min-1 d'injection de gaz. Remarque : Bien que le sens du transfert ne soit pas respecté (cf. paragraphe précédent), la
vitesse de celui-ci semble par contre cohérente.
En guise de conclusion, comme croissance biologique et concentrations sont étroitement couplées, via les cinétiques et les consommations, le calcul des concentrations des espèces nutritives doit se faire en parallèle de celui de l'évolution de la concentration en biomasse. Les termes de croissance, consommations (et éventuellement le transfert) constituent un système d'équations différentielles, et celui des équilibres chimiques un système d'équation algébrique. Ce qui implique que pour procéder à la simulation d'une culture de microalgue, il faut résoudre un système algèbro-différentiel, ce qui est détaillé partie III.4. On fait ici l'hypothèse implicite que les équilibres acido-basiques sont instantanés (rapide devant toutes autres variations de concentration de notre système).