Modélisation analytique de l’effet bilame

Figure 2.1: Exemples de réalisations à base de bilames thermiques. L’usage des bilames en tant qu’interrupteurs est un des plus répandus.

Le présent chapitre résume les informations les plus importantes à propos des bilames, en passant par le procédé de fabrication, les équations du comportement et la modélisation numérique. Une étude du comportement en imagerie infrarouge est également proposée et des mesures de l’énergie mécanique sont présentées.

2.1.1 Modélisation analytique de l’effet bilame

Comme expliqué au chapitre 1, l’effet bilame consiste dans la courbure au chauffage d’un empilement composé d’un matériau à haut coefficient de dilatation thermique et d’un matériau à bas coefficient de dilatation thermique. L’étude de référence sur cet effet a été faite par S. Timoshenko [29], qui a analysé le comportement des bilames pour les thermostats.

Un bilame sous forme de poutre, encastré d’un côté et plat à l’état initial (Figure 2.2) prend une forme d’arc de cercle lorsque la température change. Le rayon de courbure est donné par l’expression suivante [29] :

( ₎

avec RT – rayon de courbure à la température cible T, R0- rayon de courbure à la température de référence T0, m= s1/s2 – rapport des épaisseurs des deux couches, n=Y1/Y2 – rapport des modules de Young des deux couches, α1, α2 – coefficients de dilatation thermique (CDT). L’index 2 correspond à la couche à haute dilatation thermique, située en haut sur la Figure 2.2.

Figure 2.2: Déformation d’un bilame sous forme de poutre soumis à une variation de température :a) bilame encastré d’un côté ; b) bilame libre [30].

Dans le cas où le bilame est plat à la température de référence T0, et que les épaisseurs des couches, aussi bien que le modules de Young sont égaux, Eq. 2.1 peut être simplifiée vers :

Eq.( 2.2)

Le rayon de courbure d’un bilame soumis à une variation de température est donc inversement proportionnel à la différence de CDT, et à la variation même. Ceci veut dire qu’une grande différence de CDT ou de température implique une forte déformation. Un bilame de faible épaisseur se déformera plus qu’un bilame épais. On définit la courbure spécifique du bilame :

Eq.( 2.3)

La flèche, ou déplacement maximal sur sa longueur se calcule selon :

Eq.( 2.4)

C’est une expression valable dans le cas où la flèche est inférieure à 10% de la longueur du bilame. Dans le cas où le déplacement du bilame est bloqué à son bout, il développe un force F calculée selon :

^{Eq.( 2.5)}

Avec F0 – force à la température de référence T0, égale le plus souvent à l’ambiante. La force est proportionnelle au rapport largeur sur longueur : et au carré de l’épaisseur du bilame. Un bilame épais développe plus de force du fait de la raideur supérieure.

Un autre cas souvent rencontré en pratique est celui d’un bilame libre, ou simplement supporté (Figure 2.2 b). Dans ce cas, la flèche se calcule selon :

^{Eq.( 2.6)}

La flèche résultante est inférieure à celle d’une poutre encastrée d’un côte de la même longueur. Ceci est dû au fait que le déplacement correspondant est pris au centre, plutôt qu’à une extrémité libre. Si une force est appliquée au centre du bilame de manière à limiter sa déformation, la flèche devient :

^{Eq.( 2.7)}

avec F0 – force à la température de référence T0.

Pour annuler la flèche, il faut appliquer une force égale à :

Eq.( 2.8)

C’est également la force maximale que le bilame peut développer lors du chauffage. Elle est quatre fois supérieure pour le bilame libre par rapport à un bilame encastré d’un côté. Ceci est dû à la raideur supérieure que la structure libre manifeste.

Un bilame sous forme de poutre qui est contraint au niveau de ses extrémités est capable de flamber lors du chauffage. L’étude du flambage d’un bilame serré entre deux blocs immobiles avec des liaisons pivot est faite dans [29]. Une forme initiale d’arc de sinus est considérée, avec la couche à haut coefficient de dilatation thermique en haut et une flèche f0 vers le bas (Figure 2.3). Lors du chauffage la couche à haute dilatation thermique tire le bilame vers le haut et le met en compression. Pour une certaine flèche f1 une position instable est atteinte. Si le bilame est chauffé plus, il flambe et change le sens de sa courbure. A ce stade il va avoir une flèche f2, orientée vers le haut. Si on continue à chauffer la structure, la flèche va continuer à augmenter dans le même sens.

La température de cloquage est donnée par :

( )

Eq.( 2.9)

La température de cloquage est d’autant plus grande que le rapport flèche initiale sur épaisseur (f0/s) est grand. En effet le bilame devra se déformer plus pour se retourner et donc il y aura besoin de chauffer plus. Une forte différence de CDT implique une faible température de cloquage. Ceci est dû au fait qu’il faut chauffer moins pour avoir la déformation nécessaire au basculement.

Le cloquage permet au bilame de gagner un état stable. Si à partir de cet état on impose une baisse de température, le bilame va se déplacer vers le bas (Figure 2.3) et un nouveau état instable va être crée. Le bilame va cloquer vers le bas pour regagner le sens de courbure initial.

Figure 2.3: Déformation lors du chauffage d’un bilame a extrémités immobiles.

La température au décloquage est donnée par :

( )

Eq.( 2.10)

La seule différence entre les deux dernières expressions est un signe moins au numérateur. La différence entre les deux températures de fonctionnement d’un bilame cloquant est appelée hystérésis. La condition mathématique pour que les deux températures soient définies est :

Eq.( 2.11)

En pratique, c’est la condition pour que le bilame puisse cloquer. Si elle n’est pas remplie, le comportement attendu est la déformation continue.

Un bilame sous forme de disque est capable de cloquer sans être retenu par les côtés. Les modèles analytiques développés dans la littérature [31], [32], permettent de déduire les températures caractéristiques. Ainsi, pour qu’un disque cloque, il faut lui imposer une température égale à :

( ) Eq.( 2.12)

avec D – diamètre du disque, fu – coefficient dépendant du rapport entre la flèche initiale du disque et son épaisseur (Figure 2.4 a).

( ) Eq.( 2.13)

avec fd – coefficient dépendant de la géométrie.

Tout comme pour un bilame sous forme de poutre, une grande courbure spécifique K et donc une grande différence des coefficients de dilatation thermique implique une température de cloquage basse. Un disque à forte épaisseur cloquera à haute température. Les coefficients fu et fd prennent en compte la profondeur du disque. Un disque de profondeur importante cloque à haute température, car le facteur fu augmente avec la profondeur. La température de décloquage, au contraire, diminue à partir d’une certaine profondeur. Ceci est dû au fait qu’il est nécessaire de refroidir le disque plus afin d’atteindre les contraintes nécessaire au décloquage.

Figure 2.4: a) évolution des paramètres fu et fd avec le rapport flèche initiale/épaisseur ; b) flèche d’un disque cloquant en fonction de la température [30].

La solution analytique pour la flèche d’un disque cloquant en fonction de la température suit la courbe de la Figure 2.4 b. C’est une courbe générique, valable pour d’autres types de bilames cloquants à hystérésis. Le bilame ayant au départ une flèche positive (point a) se déforme de manière continue jusqu’à ce que la température Tu soit atteinte. Il se retrouve au point c qui est instable. Toute élévation ultérieure de la température implique une inversion de flèche avec passage au point d. Si la température continue d’augmenter, la trajectoire d-e est suivie. Dans le cas où la température diminue, la trajectoire d-f est suivie. Le point f correspond à la température de décloquage Td. Après avoir atteint cet état le bilame bascule au point b et le cycle de déplacement ferme. Il s’agit donc d’un cycle à hystérésis. Le bilame manifeste deux positions stables mécaniquement pour toute température entre Tu et Td. La position dans laquelle il se trouve dépend de son histoire thermique.