Mise en place du modèle à résistances thermiques équivalentes pour une cellule

Les systèmes dont le fonctionnement repose sur les transferts thermiques peuvent être modélisés en utilisant des circuits thermiques équivalents. Dans le cas d’une étude stationnaire un schéma à résistances suffit pour approximer le fonctionnement. Pour rappel, cette méthode est analogue à celle utilisée pour la description des circuits électriques, le couple tension/intensité étant équivalent au couple différence de température/flux thermique (Figure 4.36). L’équation reliant ces deux derniers est :

Eq.( 4.7)

avec Φ – flux thermique et R – résistance correspondant au type de transfert thermique observé. Les transferts thermiques ont lieu selon 3 mécanismes: la conduction, la convection et la radiation. Pour chacun de ces mécanismes il est possible de calculer une résistance thermique équivalente. Les expressions correspondantes sont données dans le Tableau 4.3.

Figure 4.36: Circuit thermique simple.

Mécanisme de transfert Conduction Convection Radiation

Résistance associée Paramètres s – épaisseur A – surface k – conductivité du matériau hcv – coefficient de transfert convectif A – surface de transfert hrad – coefficient de transfert radiatif A – surface de transfert

Le transfert de chaleur par conduction est fait grâce à la diffusion et collision de particules ou quasi-particules au niveau microscopique. Pour calculer la résistance équivalente dans ce cas il est nécessaire de connaitre la conductivité thermique des matériaux. Le transfert convectif est fait par mouvement de fluides. C’est le mécanisme dominant dans les liquides et les gaz. Ce type de transfert se manifeste souvent aux interfaces entre solides et fluides. Pour calculer la résistance équivalente il est nécessaire de connaître le coefficient de transfert par convection hcv. Il dépend du type de fluide et de sa vitesse par rapport à la surface dans le cas d’un mouvement forcé. Le transfert radiatif est fait par l’intermédiaire des photons. Il se manifeste entre les surfaces à températures différentes qui sont en regard. Dans ce cas il est également possible d’exprimer une résistance thermique, qui est inversement proportionnelle au coefficient de transfert radiatif. Dans le cas de deux surfaces parallèles rapprochées ce dernier s’exprime comme :

^Eq.(4.8)

avec Tm – la moyenne des températures absolues des deux surfaces, ε1 et ε2 – émissivités des surfaces, σ - constante de Stephan-Boltzmann (5,67.10-8

W.m^-2.K^-4). A partir de cette expression il est facile de comprendre que plus les émissivités sont importantes, plus le coefficient de transfert est haut et plus le flux thermique associé est important.

Afin de comprendre le comportement d’un dispositif à base de bilame et piézoélectrique il a été décidé de faire une première modélisation du corps d’une cellule sans le bilame. Ceci est utile pour connaître la qualité de l’isolation thermique assurée entre la surface chaude et la surface froide avec lesquelles le bilame va entrer en contact.

Pour construire le modèle thermique pour une cellule il a été nécessaire de segmenter son corps en deux branches. On distingue une branche centrale qui regroupe la lame d’air à l’intérieur du prototype et les éléments solides en haut en en bas par rapport à elle (Figure 4.37 a). On distingue également une branche latérale qui regroupe les parties solides sur les côtés. Les résistances thermiques de ces deux branches peuvent être considérées comme connectées en parallèle.

La résistance thermique du segment central est déterminée par chacun des matériaux de l’empilement. Ainsi la résistance du Téflon (Rteflon 1) est en parallèle avec la résistance du plot en cuivre (Rcuivre). Les deux sont branchées à la résistance équivalente de la lame d’air de l’intérieur de la cellule (Rair1). Celle-ci est en contact avec le piézoélectrique qui peut être divisé en deux parties : le volume correspondant à l’empilement laiton-colle-céramique et le laiton hors de l’empilement (Figure 4.37).

La résistance thermique de la branche latérale est déterminée par la résistance du Téflon qui joue le rôle de support mécanique (Rtéflon2), la résistance des brides de serrage (Raluminium) et du laiton qui se trouve en dessous (Rlaiton2). La cellule étant exposée à l’air, les deux branches thermiques sont connectées à la résistance d’interface avec l’air (Rair2). L’ensemble est soumis à la différence de température externe Tchaud – Tambiant.

Les transferts thermiques au niveau de la lame d’air peuvent avoir lieu par l’intermédiaire de plusieurs mécanismes (Figure 4.38). Bien que faible (0.026 W∙m^-1∙K-1), la conductivité de l’air n’est pas négligeable. Une partie de la chaleur va être transmise au piézoélectrique par conduction. Une autre partie de la chaleur est transmise par radiation. Une résistance de transfert correspondant à ce mode est donc à calculer. La convection joue un rôle important pour des couches d’air épaisses. Elle est à limiter pour assurer une bonne isolation. Par contre, quand la couche est de quelques millimètres, ce qui est le cas dans notre dispositif, le transfert par convection est négligeable.

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Figure 4.37: a) Segmentation d’une cellule pour la construction du modèle thermique ; b) modèle thermique équivalent.

La résistance thermique de la lame d’air peut donc être calculée par la mise en parallèle de la résistance de conduction et la résistance de radiation.

Les transferts thermiques au niveau de l’interface du prototype avec l’air ont lieu par convection et radiation. Les résistances thermiques correspondant aux deux doivent être mises en parallèle après calcul tout comme dans le cas de la lame d’air.

Figure 4.38: Résistances thermiques équivalentes : a) cavité, cas général ; b) lame d’air fine ; c) interface prototype avec air.

b)

a)

a)