Chapitre 3 - Modélisation hydrologique et mécaniste des flux générés par des rejets
3.4. Modélisation des écoulements dans un filtre planté de roseaux à écoulement
3.4.1. Description du milieu poreux non saturé
La modélisation des écoulements en milieu poreux consiste en la détermination des fonctions hydrodynamiques du milieu en fonction de l’espace et du temps : la teneur volumique en eau, la conductivité hydraulique et la pression en eau. Ces fonctions du milieu poreux apparaissent dans les équations d’écoulement en milieu continu et leurs formulations empiriques diverses sont données dans la littérature scientifique.
3.4.1.1. Définition du milieu poreux
Le milieu poreux non saturé est un système constitué de trois phases :
La matrice solide composée de grains et de vides (pores) entre les grains;
La phase gazeuse (air) occupant partiellement les pores ;
L’eau occupant la fraction restante des vides.
Afin de considérer un milieu continu, le Volume Elémentaire Représentatif (VER) est défini comme la plus petite unité de volume de sol pour laquelle les variables d’état sont stationnaires. Le VER doit être suffisamment grand par rapport à l’échelle particulaire afin de pouvoir considérer le milieu comme continu, suffisamment représentatif de toutes les phases, et suffisamment petit afin que les moyennes statistiques définies sur le VER aient un sens par rapport à l’échelle d’application (Danquigny, 2003; SOW, 2005).
3.4.1.2. Fonctions hydrodynamiques du milieu poreux non saturé 3.4.1.2.1. La teneur volumique en eau et la pression en eau
La phase liquide d’un milieu non saturé peut être caractérisée par sa teneur volumique en eau (Ɵ) qui représente le rapport du volume d’eau compris dans le VER sur le volume totale du VER ainsi que par la pression interstitielle de l’eau dans les pores ou pression en eau (h).
La relation entre ces deux fonctions est donnée par la courbe de rétention hydrique h(Ɵ) qui exprime les variations d’intensité des forces capillaires et d’adsorption en fonction de la teneur en eau. Cette relation est spécifique à un sol donné car elle dépend de sa structure.
Dans un sol à texture sableuse (comme souvent dans les ouvrages d’infiltration des eaux pluviales), la rétention en eau est relativement faible (Coulon, 2012). La pression en eau n’est élevée en valeur absolue que pour des faibles teneurs en eau, et varie peu lorsque cette dernière augmente et chute près de la saturation. Pour la couche de sédiments en surface de l’ouvrage, la pression en eau varie fortement en fonction de la teneur en eau et est très élevée pour les faibles teneurs en eau (Figure 23).
FIGURE 23: COURBES DE RETENTION HYDRIQUE (PRESSION EN EAU H EN FONCTION DE LA SATURATION EFFECTIVE SE) D’UN BASSIN D’INFILTRATION DES EAUX PLUVIALES (LASSABATERE ET AL., 2010)
La courbe de rétention d’un sol peut être déterminée expérimentalement par des expériences de drainage à pas de pressions multiples via des cellules de pressions ou alors par des formulations semi-empiriques issues de la littérature. Van Genuchten (1980) décrit la relation entre la teneur en eau et la pression en eau d’un sol à l’aide d’une équation continue dans un espace poral homogène :
𝜃𝑒 = 𝜃 − 𝜃𝑟
𝜃𝑠− 𝜃𝑟 = [ 1 1 + (𝛼ℎ)𝑛]
𝑚
ÉQUATION 3.4-1
𝜃e Teneur en eau effective (-)
Ɵ Teneur en eau volumique du sol (-)
Les deux paramètres n et m sont reliés par la relation de (Mualem, 1976) : 𝑚 = 1 −1
𝑛
ÉQUATION 3.4-2
3.4.1.2.2. Conductivité hydraulique
La conductivité hydraulique K du sol résulte de l’effet de résistance à l’écoulement dû aux forces de frottement. Elle dépend donc de la texture et de la structure du sol : la conductivité hydraulique d’un sol très poreux, fracturé ou agrégé sera plus élevée que dans un sol compact (Coulon, 2012). La conductivité hydraulique d’un sol sableux est comprise entre 10- 5 et 10-3 m/s et entre 10-9 et 10-6 m/s pour un sol argileux (Hillel and De Backer, 1988).
La conductivité hydraulique est définie en fonction de la teneur en eau Ɵ par l’équation de Van Genuchten (1980) associée au modèle de capillarité de Mualem (1976) :
𝐾(𝜃) = 𝐾𝑠𝜃𝑒1/2[1 − (1 − 𝜃𝑒𝑚1)𝑚]
2 ÉQUATION 3.4-3
Elle peut aussi s’exprimer en fonction de la pression en eau h : 𝐾(ℎ) = 𝐾𝑠[( 1
3.4.1.2.3. Phénomènes d’hystérésis de la courbe de rétention en eau La courbe de rétention en eau dans le sol n’est pas unique : le comportement de la teneur en eau en fonction de la pression en eau est différent au cours de la dessiccation et au cours de la réhumectation du sol. Les écarts mesurés permettent de mettre en évidence le phénomène d’hystérésis (Coulon, 2012) : pour l’application de la même charge hydraulique, deux courbes de rétention sont obtenues (Figure 24). La teneur en eau est plus importante au cours de la dessiccation qu’en période d’humectation.
FIGURE 24 : PHENOMENE D’HYSTERESIS DANS UN SOL
Les causes du phénomène d’hystérésis sont nombreuses : la non uniformité des pores du sol, la présence d’air, le vieillissement du sol, etc. Le phénomène d’hystérésis est amplifié dans un sol qui subit l’alternance répétées de dessiccation et de réhumectation au cours du temps, comme c’est le cas pour les ouvrages d’infiltration.
Ce phénomène est décrit efficacement avec le modèle des domaines indépendants de Mualem (1976) :
𝑆𝑒𝑑(ℎ, ℎ𝑖) = 𝑆𝑒𝑤(ℎ𝑖) + [1 − 𝑆𝑒𝑤(ℎ)]. 𝑆𝑒𝑤(ℎ)
ÉQUATION 3.4-5
hi Charge en eau au point de départ de la dessiccation (m) Se Saturation effective du milieu (-)
d Indice de la dessiccation w Indice de la réhumectation
3.4.1.2.4. Rôles des végétaux sur les écoulements
Les écoulements au sein des filtres plantés de roseaux sont impactés par la présence des végétaux qui ont un pouvoir évapotranspirant. En effet, la végétation va par le biais des racines, capter l’eau libre et/ou l’eau liée présente dans la matrice poreuse. Suivent les processus de transpiration puis d’évaporation par lesquels la végétation va perdre une partie de l’eau consommée. En fonction du type de plante, et donc de son système racinaire, de la
zone humide artificielle et des conditions climatiques extrêmes, ce pouvoir évapotranspirant pourrait être significatif et conduire à un stress hydrique des végétaux. Cette problématique se pose avec plus d’acuité au sein des filtres plantés de roseaux dédiés au traitement des eaux pluviales strictes. La simulation de l’influence des végétaux sur les écoulements pourrait donc se faire via l’estimation ou la mesure soit du volume d’eau consommée soit du volume d’eau évapotranspiré. (Feddes et al., 1978) cité par (Phogat et al., 2013) propose un modèle où la consommation d’eau par les plantes est nulle lorsque la teneur en eau est proche de la saturation ou lorsque la pression est inférieure à la pression du point de flétrissement des plantes. Entre ces deux seuils, le stress hydrique dû à la consommation d’eau par les racines est soit une fonction linéaire, soit une fonction constante de la pression en eau du sol. Van Genuchten (1987) suggère que la consommation d’eau par les plantes dépend de la concentration de tous les solutés présents dans la phase liquide et introduit ainsi la notion de charge osmotique. A contrario, de nombreux auteurs (Belarbi and Saïghi, 2007; Bois et al., 2015a) dans la littérature scientifique accèdent à la mesure ou l’estimation de la consommation d’eau par les racines grâce :
aux formulations semi-empiriques telles que la loi de Penman (Penman, 1948),
aux mesures expérimentales du pouvoir évapotranspirant via les mesures de l’activité photosynthétique des feuilles et des conditions climatiques ;
aux mesures des pertes hydriques liées à la transpiration des plantes par simple suivi du niveau d’eau.
Dans le cadre de ce travail, la prise en compte des pertes d’eau par évapotranspiration lors de la modélisation des écoulements à travers un filtre planté de roseau se fera par un terme puits constant et égal au taux de baisse du niveau d’eau mesuré en temps sec dans le filtre.
3.4.2. Modèle hydrodynamique dans un milieu poreux variablement saturé Il existe de nombreux modèles permettant de décrire les écoulements de l’eau dans un milieu poreux non saturé. Les modèles seront présentés en une seule dimension.
3.4.2.1. Loi de Darcy et loi de continuité
L’écoulement de l’eau en zone non saturée est régi par deux lois fondamentales : la loi de comportement dynamique de Darcy-Buckingham et la loi de continuité.
La loi de comportement des écoulements en milieu poreux à l’échelle macroscopique est la loi de Darcy (Darcy et al., 1856), généralisée aux milieux non saturés par Buckingham. Elle donne la relation entre la vitesse d’écoulement q d’un fluide dans un milieu poreux non saturé et le gradient de charge hydraulique (Équation 3.4-6). Le coefficient de proportionnalité est la conductivité hydraulique K(h) (Dechesne, 2002).
𝑞⃗ = −𝐾(ℎ)∇⃗⃗⃗(ℎ + 𝑧) ÉQUATION 3.4-6
Ɵ Teneur en eau (-)
K(h) Conductivité hydraulique (m.s-1)
h Pression interstitielle du sol (m) ; ℎ =𝜌𝑔𝑝
z Côte par rapport à un axe de référence orienté positivement vers le haut
La loi de Darcy s’applique à un milieu poreux homogène, isotrope et stable ; un fluide homogène, isotherme et incompressible ; avec une énergie cinétique négligeable et un régime d’écoulement permanent et laminaire.
L’équation de continuité (Kutílek et al., 1994) exprime la conservation de la masse d’eau dans le milieu : toute augmentation ou diminution de la teneur en un point ne peut se produire que par un échange d’une quantité d’eau égale avec les points voisins (Coulon, 2012). Elle décrit la variation du taux de remplissage des pores ou encore la relation entre la variation spatiale et la variation temporelle de la teneur en eau :
𝑑𝑖𝑣 𝑞⃗ +𝜕𝜃
𝜕𝑡 = 0 ÉQUATION 3.4-7
3.4.2.2. Modèle de Richards
L’équation générale des écoulements non saturés ou équation de Richards (Richards, 1931) est obtenue en introduisant l’équation de Darcy dans l’équation de continuité :
𝑑𝑖𝑣 (−𝐾(ℎ). ∇⃗⃗⃗(𝐻)) +𝜕𝜃
𝜕𝑡 = 𝑆 ÉQUATION 3.4-8
Où S représente un terme source (exemple : les précipitations) ou puits (exemple:
l’évaporation ou la consommation d’eau par les plantes) et H la charge hydraulique : H = h+z.
En une dimension (selon l’axe z vertical ascendant), l’équation de Richards s’écrit sous sa forme mixte (fonction de h et Ɵ) :
𝜕𝜃
𝜕𝑡 −𝜕𝐾(𝜃)
𝜕𝑧 − 𝜕
𝜕𝑧(𝐾(𝜃)𝜕ℎ
𝜕𝑧) = 𝑆 ÉQUATION 3.4-9
Les hypothèses d’application de l’équation de Richards sont les mêmes que celles de la loi de Darcy. Le modèle de Richards a été largement étudié et il existe de nombreuses solutions numériques pour des ouvrages en une dimension (Dechesne, 2002). L’avantage de ce modèle est qu’il permet de travailler avec un sol homogène ou un sol multicouche.
Cependant, une très bonne connaissance des caractéristiques du sol (conductivité hydraulique, pression interstitielle, teneur en eau) est nécessaire, ce qui est peu souvent le cas lors d’études in situ.
3.4.2.3. Modèle de Fokker-Planck
L’équation de Fokker-Planck est issue directement de l’équation de Richards, les hypothèses d’application sont donc identiques. Dans la loi de Darcy, le gradient de potentiel est remplacé par le gradient de teneur en eau. L’équation de Fokker-Planck s’écrit :
𝜕𝜃
𝜕𝑡 −𝜕𝐾(𝜃)
𝜕𝑧 − 𝜕
𝜕𝑧(𝐷(Ɵ)𝜕𝜃
𝜕𝑧) = 𝑆 ÉQUATION 3.4-10
D(Ɵ) est la diffusivité hydraulique apparente du sol (m².s-1) ou la fonction de diffusion : 𝐷(Ɵ) = 𝐾(𝜃)𝜕ℎ𝜕𝜃
Le modèle de Fokker-Planck correspond à l’équation de Richards sous sa forme en Ɵ. Il présente deux avantages (Dechesne, 2002) : le domaine de variation de la diffusivité hydraulique est plus réduit que celui de la conductivité hydraulique et le gradient de teneur en eau est plus facile à mesurer que le gradient de potentiel. Néanmoins, ce modèle n’est pas utilisable pour un sol multicouche car la teneur en eau est discontinue aux interfaces.
3.4.2.4. Modèle de Green-Ampt
Le modèle de (Green and Ampt, 1911) utilise la notion de front d’humidification. Ce front représente la frontière entre une zone humide à conductivité hydraulique et teneur en eau constantes et une zone sèche (Dechesne, 2002).
Soit i(t) le flux d’eau traversant la surface du sol. La lame d’eau infiltrée I(t) en m s’écrit : 𝐼(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
En appliquant la loi de Darcy à la zone humide on obtient : 𝐼(𝑡) = 𝐾1. 𝑡 + (𝜃𝑖 − 𝜃0)(ℎ0− ℎ𝑓). ln (1 + 𝐼(𝑡)
(𝜃𝑖 − 𝜃0)(ℎ0 − ℎ𝑓)) ÉQUATION 3.4-11
K1 Conductivité hydraulique de la zone humide (souvent égale à ks) Ɵi Teneur en eau initiale de la zone humide
Ɵ0 Teneur en eau imposée à la surface du sol h0 Charge de pression en surface
hf Charge de pression du front d’humidification
Ce modèle nécessite la détermination des paramètres K1,hf,Ɵi etƟ0. Il faut aussi ajuster les valeurs de paramètres pour chaque valeur de charge à la surface du sol.
3.4.2.5. Applications des modèles
La modélisation des écoulements verticaux en milieux poreux variablement saturés appliquée aux filtres plantés de roseaux est un challenge scientifique toujours d’actualité.
Deux applications se distinguent : la modélisation des écoulements dans les filtres plantés de roseaux (FPR) pour le traitement des eaux usées et celle appliquée aux FPR pour le traitement des eaux pluviales ou déversoirs d’orage. Dans le premier, il est question de flux volumiques continus relativement constants ou de flux discontinus par bâchées avec une périodicité connue. Dans le second, la complexité est issue des flux volumiques discontinus et extrêmement variables du fait de la forte variabilité des évènements pluvieux. Cette forte variabilité a pour conséquence des conditions initiales très variables des milieux poreux, allant d’un milieu très sec en période de temps sec élevée à un milieu quasiment saturé.
Nous nous intéressons dans la suite ici aux modèles d’écoulement 1D appliqués aux eaux pluviales.
Dans le contexte des eaux pluviales et déversoirs d’orage, le modèle le plus communément utilisé est HYDRUS-1D (Simunek et al., 2005). Il permet de modéliser les écoulements variablement saturés, dans des filtres multicouches, et son efficacité (temps de calcul/précision du résultats) a été démontrée dans de nombreuses études (Dittmer et al., 2005; Fournel et al., 2013; Molle et al., 2010). HYDRUS-1D est un logiciel gratuit et disponible en opensource. La limite d’utilisation de ce logiciel en contexte pluvial est dans un premier temps la prise en compte d’une réserve d’eau dans le filtre. En effet, la pression en sortie du filtre est fixée à 0 en cas de saturation et ne peut pas être ajustée. Ce problème a été contourné soit en introduisant une couche fictive en sortie avec une conductivité hydraulique faible (Fournel et al., 2013) ou en modifiant directement le code source (Meyer et al., 2012). Dans un second temps, HYDRUS-1D n’obtient pas de bon résultat de calcul en cas de sol très sec à cause de la forte non-linéarité de la fonction de pression capillaire (Grifoll and Cohen, 1999; Wu, 2010).
D’autres modèles ont été développés avec pour objectif la simplification du modèle et l’amélioration des calculs en conditions « extrêmes ». L’approche standard pour modéliser les écoulements variablement saturés est la résolution numérique de l’équation de Richards, en utilisant la méthode des différences finies (Zarba et al., 1990) ou des éléments finis (Forsyth et al., 1995; Wu, 2010). Ces deux méthodes sont les plus utilisées de par la nature diffusive/convective de l’équation de Richards. Mais récemment, l’utilisation de la méthode des volumes finis s’est développée. Différentes études ont montré que l’utilisation de cette méthode permettait de résoudre des problèmes fréquemment rencontrés lors de la résolution de l’équation de Richards : la continuité lors du passage du régime insaturé à saturé et l’efficacité de calcul de la non-linéarité de la conductivité hydraulique (Browne et al., 2008; Caviedes-Voullième et al., 2013; Grifoll and Cohen, 1999; Lai and Ogden, 2015). Ces modèles présentent de très bon résultats, en terme d’efficacité de calcul et de précision des résultats, mais un seul intègre la présence de plusieurs couches de sol (Browne et al., 2008), indispensable en FPR. Des méthodes numériques encore plus robustes et précises telles que
les éléments finis mixtes hybrides (Belfort et al., 2009; Tapia, 2010) ont permis d’importantes avancées dans la résolution numériques des équations de Richards. Mais leur mise en œuvre complexe nécessitant des formulations mathématiques théoriques avancées ne facilite pas leur développement.
Le besoin du développement d’un modèle simplifié, robuste et adapté au contexte des eaux pluviales est donc d’actualité. Les modalités d’un tel modèle sont les suivantes :
Implémentation de chroniques pluie/débit en conditions aux limites ;
Possibilité de flacage en surface de filtre ;
Filtre multicouche ;
Continuité lors du passage de conditions insaturées à saturées ;
Réserve d’eau en sortie de filtre ;
Succession d’évenements pluvieux.
3.5. Que retenir sur la modélisation des écoulements dans un filtre