Modèles de turbulence

Pour le traitement général de la turbulence dans le cadre de simulations, il existe trois techniques différentes. Néanmoins, le choix s’impose vite dans le cadre de si-mulations dans les bâtiments [22] :

– la simulation numérique directe (DNS pour Direct Numerical Simulation) ré-sout directement les équations de Navier Stokes. Elle n’est pas utilisée car elle nécessite un maillage très fin et un pas de temps très faible afin de résoudre les plus petites échelles de la turbulence,

– la simulation des grandes structures tourbillonnaires (LES pour Large Eddy Simulation) ne résout que les grandes structures. L’effet des petites structures sur l’écoulement est modélisé en introduisant des termes supplémentaires dans les équations. Mais là encore, les temps de calcul deviennent vite prohibitifs surtout pour un calcul en trois dimensions,

– la simulation par des modèles de transport des quantités moyennées dans le temps (modèles RANS pour Reynolds Averaged Navier Stokes) ne calcule que les grandeurs moyennes de l’écoulement. Aussi, chaque quantité est décompo-sée en un terme moyen qui est résolu et un terme fluctuant qui est modélisé en ajoutant de nouveaux termes dans les équations du problème. Ces termes sont généralement exprimés à partir du concept de viscosité turbulente µt proposé par Boussinesq. En calculant la distribution de cette grandeur, les modèles de turbulence établissent implicitement le rapport de force entre les diffusions turbulente et moléculaire [18]. Murakami et Kato confirment que pour une uti-lisation de type ingénieur, une simulation basée sur les équations moyennées de Reynolds est la plus efficace et la plus utilisée [31]. Les modèles de

turbu-lence les plus courants calculent la distribution de la viscosité tourbillonnaire en rajoutant des équations au problème. Le lecteur voudra bien se référer à l’ouvrage de Chassaing [32], en particulier pour la formulation mathématique des modèles qui n’est pas ici notre objet.

2.1.4.1 Modèle k − ǫ standard

L’étude bibliographique, réalisée dans [18], montre que le modèle k−ǫ standard a majoritairement été utilisé. Comme exemple d’utilisation dans le bâtiment, on peut se référer à [33] et [31]. C’est un modèle à deux équations mis au point par Launder et Spalding [34]. La viscosité turbulente µt y est exprimée en fonction de l’énergie cinétique turbulente k et de son taux de dissipation ǫ qui vérifient des équations de transport. Cette approche a été développée dans le cadre des écoulements plei-nement turbulents. Ainsi l’utilisation du modèle standard impose l’hypothèse d’un écoulement pleinement turbulent ou du moins qui réagit comme tel. Un traitement différent doit être appliqué à proximité des parois, où la diffusion visqueuse domine la diffusion turbulente. Le plus souvent, la méthode des lois de paroi est utilisée. Le premier point de discrétisation est supposé placé dans la zone à turbulence déve-loppée. Les profils de température et de vitesse entre la paroi et ce point sont alors donnés par des lois logarithmiques. La sous-couche visqueuse n’a donc pas à être discrétisée ce qui évite l’emploi d’un maillage raffiné proche des parois.

Bien qu’elle ait eu beaucoup de succès pour prédire les écoulements, son utilisa-tion a été moins efficace pour prédire les transferts thermiques convectifs à la sur-face des parois. Pour Beausoleil-Morrison [16], les mauvaises prévisions des échanges convectifs superficiels sont le résultat de l’inadéquation des lois de paroi logarith-miques pour résoudre les écoulements près des parois. Ceci est assez logique étant donné que dans le bâtiment, la condition d’écoulements pleinement turbulents n’est pas remplie puisque tous les types d’écoulement sont présents (laminaire, transitoire et turbulent). La viscosité turbulente est ainsi surestimée par le modèle près des parois. De nombreux auteurs ont montré que la loi logarithmique des fonctions de paroi ne pouvait pas conduire à des résultats réalistes dans la plupart des cas [18]. De plus, les résultats sont très sensibles à l’emplacement de la première maille par rapport à la paroi. Si elle est placée trop près, les échanges convectifs superficiels sont surestimés, et inversement si elle est trop éloignée.

Néanmoins, il conduit en général à des résultats qui, sans être toujours d’une précision suffisante, permettent à l’ingénieur de disposer d’une première approche des caractéristiques locales d’un écoulement turbulent pour une très large gamme de configurations. Dans le cas des écoulements à proximité des bouches de soufflage

[24], Einberg et al. précisent qu’il représente le modèle le mieux connu. Comparant les résultats obtenus en utilisant ce modèle avec des mesures expérimentales. Ces auteurs obtiennent une précision de ±0,02 m/s pour des vitesses comprises entre 0 et 1 m/s et de ±0,1 K pour la température.

Chassaing [32] en liste les avantages : – modèle largement répandu,

– prise en compte de la variabilité spatiale de l’agitation turbulente, – relative simplicité de mise en oeuvre,

– bonne prédiction des écoulements cisaillés simples, et les défauts :

– dépendance locale et linéaire des tensions turbulentes et du champ moyen, – schématisation de l’équation pour ǫ,

– peu adapté aux écoulements complexes (recirculations, anisotropie forte, pro-duction négative,...)

En dépit des efforts de certains auteurs [35] pour développer de nouvelles lois de paroi, celles-ci restent spécifiques à des régimes d’écoulement particuliers.

2.1.4.2 Modèle à 0 équation

Dans le cadre de simulations du bâtiment, Chen et Xu [17] ont proposé un modèle de turbulence à 0 équation dans lequel la viscosité turbulente est définie par :

µt= 0.03874ρVcl (2.5)

où :

– Vc : vitesse moyenne locale, – l : échelle de longueur.

Les auteurs ont comparé ce modèle au modèle k − ǫ standard dans deux cas ca-ractéristiques des écoulements dans les locaux. Dans le cas d’une ventilation forcée en deux dimensions, le modèle k − ǫ se révèle plus performant que le modèle à 0 équation pour prédire la portée du jet et le retour de l’écoulement vers le plancher. Néanmoins, il ne permet pas, contrairement au modèle à 0 équation, de prévoir la seconde recirculation. Dans le cas d’une convection mixte en trois dimensions, la comparaison des deux modèles est très sensible au nombre d’Archimède. Ainsi, le modèle à 0 équation est meilleur pour les hauts nombres d’Archimède, mais moins bon pour les faibles nombres d’Archimède. Par contre, un nombre moins important de mailles est nécessaire pour le modèle à 0 équation.

Le principal avantage du modèle à 0 équation réside donc non pas dans sa préci-sion, mais dans sa simplicité et son besoin plus faible en temps de calcul. Beausoleil

Morrison et al. l’utilisent ainsi pour initialiser les coefficients d’échange par convec-tion aux parois [25].

2.1.4.3 Modèle à bas nombre de Reynolds

Le modèle k − ǫ standard contenant des constantes empiriques, il n’est donc va-lable que pour des couches de cisaillement totalement turbulentes et des jets libres. L’amélioration de cet aspect des CFD est le but du modèle à bas nombre de Reynolds qui améliore le traitement des effets de la poussée d’Archimède. C’est en fait une va-riante du modèle standard qu’il complète par une meilleure prise en compte des effets de paroi. Comme nous le verrons dans la section (2.1.5), son inconvénient majeur réside dans la nécessité d’utiliser un maillage très fin qui augmente considérablement les temps de calcul par rapport au modèle standard.

Il a par exemple été utilisé pour simuler les écoulements de convection mixte dans une cavité carrée [36], pour des vitesses de soufflage de 0,3 à 0,6 m/s.

2.1.4.4 Modèle RNG k − ǫ

Le modèle de turbulence k − ǫ RNG, initié par Yakhot et Smith [37] est obtenu à partir de l’application aux équations de Navier Stokes de la méthode mathématique appelée «renormalisation group». Il diffère du modèle standard par la valeur des constantes obtenues théoriquement, mais aussi par l’ajout de termes aux équations vérifiées par k et ǫ. Ceux-ci tiennent compte des effets des bas nombres de Reynolds pour calculer la viscosité turbulente. Contrairement au modèle standard, le modèle RNG est donc compatible à la fois avec les écoulements à hauts nombres de Reynolds et à bas nombres de Reynolds. C’est une capacité particulièrement importante dans le cas des écoulements intérieurs qui sont souvent limités par des parois, et ont par conséquent des zones à bas nombre de Reynolds. De plus, les équations gouvernant l’écoulement peuvent être intégrées aussi bien dans la couche turbulente que dans la sous-couche visqueuse adjacente aux parois. Aussi les modèles de paroi utilisés avec le modèle standard ne sont plus nécessaires. Ceci constitue un avantage puisque ces fonctions sont souvent issues d’écoulements particuliers.

Ce modèle a déjà montré son potentiel dans plusieurs utilisations : [38], [39] ou encore [22]. Contrairement au modèle standard, il ne surestime pas la viscosité tur-bulente. Son principal inconvénient réside dans sa complexité qui engendre l’emploi de maillages plus fins et de pas de temps plus faibles que le modèle standard. Lors de l’étude de l’écoulement d’air dans une salle blanche [40], la convergence du modèle

RNG fut par exemple plus difficile à obtenir.