Nous disposons maintenant de quatre modèles d’ordre réduit applicables locale-ment. Nous avons déjà mis en évidence qu’il était difficile de fixer la frontière entre deux cas successifs. Par exemple, pour les cas a) et b), les données de référence nous ont conduit à la fixer à une valeur du nombre d’Archimède au soufflage de 0,194. Or, la valeur de 0,66 °C pour l’écart quadratique moyen de tout le local du cas b) (tableau 4.5) est révélateur d’une erreur importante. Par contre, les données de référence indiquent que le cas a) est correctement applicable pour un air soufflé à Ar = 0,215 et le cas b) pour un air soufflé à Ar = 0,183. Ainsi la validité locale des modèles nous conduit à utiliser une interpolation de type logique floue entre les températures obtenues avec les différents modèles. Commençons par étudier les cas a), b) et c) qui correspondent à un nombre de Reynolds au soufflage de 3846. Il peut être remarqué que les transitions entre les différents cas ne se font pas subitement, mais autour du point de transition. Par exemple, bien que la frontière entre les cas a) et b) ait été fixée à Ar = 0,215, la transition s’effectue progressivement autour de cette valeur.
Le tableau (4.11) permet de comparer, en régime permanent, les résultats des MOR pour ces trois cas. En gras sont repérées les valeurs du nombre d’Archimède marquant la frontière entre les cas. Autour de la transition, la température des données de référence est presque toujours comprise entre les températures des deux cas considérés, ou à défaut en est très proche. Physiquement, ces deux transitions ne se font pas de la même façon, la deuxième étant beaucoup plus rapide. Lors des simulations CFD, il a d’ailleurs été impossible de déterminer précisément la frontière
Archimède Températures [°C] Données au soufflage cas a) cas b) cas c) de référence
0,215 18,65 18,82 19,91 18,63 0,195 18,96 19,25 20,21 19,11 0,194 19,01 19,33 20,27 19,19 0,183 19,16 19,54 20,42 19,44 0,155 19,67 20,27 20,93 20,24 0,142 19,93 20,63 21,19 20,62 0,129 20,19 20,99 21,45 21,01 0,115 20,49 21,43 21,76 21,47 0,105 20,70 21,72 21,96 21,98 0,076 21,22 22,45 22,48 22,60
Tab. 4.11 – Températures à la reprise calculées par les MOR en régime permanent (Re = 3846)
Nombre d’Archimède au soufflage E ca rt d e te m p ér a tu re [° C ] MOR du cas c) transition entre les cas b) et c)
transition entre les cas a) et b) MOR du cas a) MOR du cas b) 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Fig. 4.20 – Valeur absolue de l’écart de température entre les MOR et les données de référence pour un nombre de Reynolds de 3846
entre les cas b) et c). Cette différence apparaît clairement sur la figure (4.20) qui représente la valeur absolue de l’écart de température entre chaque MOR et les données de référence en fonction du nombre d’Archimède au soufflage. En effet la pente des courbes est plus importante autour de la transition entre les cas b) et c) qu’entre les cas a) et b). L’intervalle d’interpolation sera donc plus large pour la deuxième citée. De plus, nous savons que pour un nombre d’Archimède au soufflage de 0,105, le cas b) n’est physiquement plus valable. Nous proposons ainsi d’effectuer l’interpolation entre les cas a) et b) pour des nombres d’Archimède au soufflage compris entre 0,215 et 0,183, et l’interpolation entre les cas b) et c) entre 0,115 et 0,105, comme indiquée sur la figure (4.20) par les pointillés. La température de l’air est alors donnée par :
θ1 m/s= paθcas a+ pbθcas b+ pcθcas c (4.26) où :
– θ1 m/s : température de l’air du local pour un air soufflé à 1 m/s,
– θcas a, θcas bet θcas c : températures calculées par les MOR des cas a), b) et c), – pa, pb et pc : coefficients d’interpolation des cas a), b) et c).
Nous avons choisi d’exprimer les coefficients d’interpolation p, non pas en fonction des nombres d’Archimède, mais en fonction de la température de soufflage. En effet, lors de l’intégration de ce modèle dans une boucle de contrôle, le calcul en temps réel du nombre d’Archimède (equation3.3) nécessiterait la donnée de la température et de la vitesse de soufflage qui peuvent être mesurées, mais aussi de la température de l’air ambiant qui doit être calculée par le modèle ce qui peut poser des problèmes de stabilité du système. Les valeurs des coefficients d’interpolation p, fonction de la température de soufflage, sont données dans le tableau (4.12). La figure (4.21)
Température de soufflage [°C]
[16,0 17,0] [17,0 19,5] [19,5 20,0] [20,0 21,0]
pa −θsouf + 17,0 0 0 0
pb θsouf − 16,0 1 −2θsouf+ 40,0 0
pc 0 0 2θsouf− 39,0 1
Tab. 4.12 – Valeurs des coefficients d’interpolation
Température de l’air soufflé [°C] pa pb pc 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0 20,5 21,0 0,0 0,5 1,0
Fig. 4.21 – Coefficients d’interpolation montre l’allure de ces coefficients.
Jusqu’à présent, seul le régime permanent a été abordé. Ces pondérations sont-elles également valables en régime transitoire ? L’évidence nous pousse à dire que non. Par exemple, dans le cas d’un échelon de température de soufflage de 16,0 à 17,0 °C, l’expression (4.26) conduit à un passage brutal du cas a) au cas b), ce qui revient à négliger le temps de transport au sein du local. Il est difficile d’évaluer avec précision la dynamique exacte de la transition entre les cas. Par exemple, pour les cas b) et c), il nous a été impossible d’effectuer la simulation de cette transition. Aussi, nous proposons une approximation d’ordre 1 pour cette dynamique, c’est-à-dire dans le cas de la pondération du cas a) :
τ ˙pa+ pa= −θsouf+ 17,0 (4.27) D’autre part, la somme des pondérations doit toujours être égale à 1, la constante de temps de la dynamique doit donc être la même pour les deux cas faisant l’objet de la transition. Le tableau (4.13) donne les expressions dynamiques des coefficients d’interpolation.
tran-Température de soufflage [°C] [16,0 − 17,0] τabp˙a+ pa = −θsouf + 17 pb = 1 − pa pc = 0 [17,0 − 19,5] pa= 0 pb = 1 pc = 0 [19,5 − 20,0] pa= 0 pb = 1 − pc τbcp˙c+ pc = 2θsouf − 39 [20,0 − 21,0] pa= 0 pb = 0 pc = 1
Tab. 4.13 – Equations dynamiques des coefficients d’interpolation
sitoire. Tous les points du local n’ayant pas la même dynamique, il est nécessaire de choisir un point de référence. Lors des simulations du contrôle de la température du local que nous effectuerons dans le chapitre suivant, les MOR nous donneront la température à la reprise du ventilo-convecteur, c’est-à-dire la température mesurée. Il est donc naturel de choisir un point à la reprise comme référence. Pour un mo-dèle du premier ordre, la constante de temps d’un système est le tiers du temps de réponse. Le tableau (4.14) donne les constantes de temps de chaque cas.
cas a) cas b) cas c) Constante de temps [s] 162 210 137
Tab. 4.14 – Valeurs des constantes de temps
Par compromis entre deux cas successifs, la constante de temps d’interpolation est prise égale à la moyenne entre les constantes de temps des différents cas, d’où :
(
τab = 162+210
2 = 186 s
τbc = 210+1372 = 174 s (4.28)
La transition entre les deux vitesses de soufflage peut se faire exactement de la même façon, c’est-à-dire en réalisant une interpolation entre la température dans la zone d’occupation calculée pour une vitesse d’air soufflé de 1 m/s, donnée par l’équation (4.26), et la température donnée par le MOR du cas d). Il vient :
θ = p1 m/sθ1 m/s+ pdθcas d (4.29) avec : ( τvitesse˙p1 m/s+ p1 m/s = −2(vsouf− 1) + 1 pd= 1 − p1 m/s (4.30) D’après les données de référence, la transition entre les deux vitesses se fait avec une constante de temps de 260 s pour la température à la reprise.
Temps [s] T em p ér a tu re [° C ] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 (a) Temps [s] T em p ér a tu re [° C ] MOR du cas b) Données de référence Interpolation MOR du cas a) 0 500 1000 1500 2000 2500 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 (b)
Fig. 4.22 – Interpolation des MOR à Re = 3846 pour un échelon du nombre d’Ar-chimède au soufflage de : (a) Ar = 0,215 à Ar = 0,183, (b) Ar = 0,183 à Ar = 0,215 Pour valider cette approche, nous nous proposons de tester deux transitions, et tout d’abord le passage du cas a) au cas b) en testant la réponse du modèle à l’échelon de soufflage de Ar = 0,215 à Ar = 0,183 (figure 4.22(a)) et à l’échelon opposé de Ar = 0,183 à Ar = 0,215 (figure4.22(b)). Les écarts quadratiques moyens instationnaires sont respectivement de 0,09 °C et 0,10 °C pour les deux échelons, ce qui correspond à de bons résultats par rapport aux résultats instationnaires des cas a) et b) (tableaux4.4et4.6). Dans le cas de l’échelon de Ar = 0,215 à Ar = 0,183, le modèle interpolé améliore nettement la précision par rapport aux modèles respectifs des cas a) et b).
Le manque de données de référence pour le cas c) ne nous a pas permis de tester l’interpolation pour la transition entre les cas a) et b).
Examinons maintenant la transition entre le cas d) et le cas (a) correspondant à une variation du nombre de Reynolds au soufflage de 5769 à 3846 (soit une variation de la vitesse de soufflage de 1,5 m/s à 1 m/s), en conservant lã même température de soufflage de 16 °C (cf. figure 4.23). Il est difficile de tirer des conclusions pour cette transition tant la validité des données de référence peut être mise en doute en raison d’une mauvaise convergence.
Temps [s] T em p ér a tu re [° C ] MOR du cas d) Données de référence Interpolation MOR du cas a) 0 1000 2000 3000 4000 5000 18,0 18,2 18,4 18,6 18,8 19,0 19,2 19,4 19,6 19,8
Fig. 4.23 – Interpolation des MOR pour un échelon du nombre de Reynolds au soufflage de 5769 à 3846
4.4 Conclusion
Un modèle d’ordre réduit est disponible pour chaque cas. Mis sous forme d’un système d’état d’ordre faible, ils sont résolvables en temps réel. L’interpolation des températures calculées par ces quatre modèles permet d’obtenir la température dans le local en fonction de la température et de la vitesse de l’air soufflé (figure 4.24).
Modèle cas a) Interpolation cas a) et b) Qparois 30 Qmur Ouest 25 25 Qplafond 25 Qrep cas a) pa pb Modèle cas b) Interpolation cas b) et c) Qrep cas b) pb pc Modèle cas c) Interpolation cas 1 m/s et d) Qrep cas c) p1 m/s pd + + + + Qrep 1 m/s
Modèle cas d) Qrep cas d) Qsouf Vsouf Qmur Est Qsol + + Qrep Modèle du local
Fig. 4.24 – Schéma de principe du modèle du local
Bien que sa précision soit encore perfectible, nous pourrions maintenant intégrer ce modèle dans une boucle de contrôle afin de simuler la régulation de la tempé-rature dans le local. Conformément à la description de la figure (4.25), ce modèle permettrait d’une part de simuler la mesure de la température à la reprise du
ventilo-convecteur et de la comparer à la température de consigne pour définir la commande du ventilo-convecteur (contrôle classique), et d’autre part de calculer la température dans la zone d’occupation. Dans le chapitre suivant, les modèles d’ordre réduit se-ront utilisés afin de simuler le comportement du local contrôlé. Dans le cas d’un local réel, ces modèles ne seraient pas nécessaires puisque la température de reprise serait directement mesurée dans le local.
Local Ventilo-convecteur Contrôleur + -Qconsigne Qrep mesurée
Commande Qsoufflage Qzocc
Chapitre 5
Estimation et contrôle
Dans le chapitre précédent, un modèle d’ordre réduit a été construit pour chaque configuration thermo-aéraulique identifiée. Ces modèles mis sous la forme de système d’état sont résolvables en temps réel, et donne la distribution de température dans tout le local.
En utilisant les propriétés des systèmes d’état et la théorie du contrôle, l’objectif de ce chapitre consiste à estimer la température dans la zone d’occupation en com-parant les résultats des modèles d’ordre réduit à la température mesurée à la reprise du ventilo-convecteur, puis à créer un contrôleur. La figure (5.1) présente le schéma de commande qui sera utilisé pour tester le contrôle.
Le rôle de l’estimateur consiste à utiliser la température mesurée afin de corriger l’erreur des modèles d’ordre réduit du local pour calculer la température dans la zone d’occupation avec une meilleure précision. La température dans cette zone pourra
Estimateur Local Ventilo-convecteur Contrôleur + -Qconsigne
Qzone d'occupation estimée
Qreprise mesurée
Commande Qsoufflage
alors être directement contrôlée.
Plaçant la modélisation du ventilo-convecteur hors de notre étude, celui-ci est simplement représenté par une loi linéaire liant l’ouverture de la vanne de la batterie froide à la température de l’air soufflé (figure5.2). Le gain du ventilo-convecteur est donc de − 5
100. De plus, pour tenir compte de l’inertie du ventilo-convecteur, un filtre du premier ordre est rajouté pour la température et la vitesse de soufflage. Sa constante de temps est fixée à 20 s.
Ouverture vanne [%] Qsouf [°C]
16 21
0 100
Fig. 5.2 – Caractéristique du ventilo-convecteur
5.1 Propriétés des systèmes d’état
Avant toute chose, il est nécessaire de vérifier certaines propriétés du système d’état : sa contrôlabilité et son observabilité. Nous renvoyons le lecteur à l’ouvrage de Bergounioux pour plus de détails et notamment les démonstrations des propriétés mathématiques [90].
5.1.1 Contrôlabilité
L’état a(t) du système, à valeurs dans RM sur [0, +∞[, est donné par l’équation différentielle ordinaire (EDO) à coefficients constants :
(
˙a(t) = Ara(t) + Bru(t) sur ]0, +∞[
a(t = 0) = a0 , (5.1)
Un problème de contrôle consiste en :
– une classe de contrôles u admissibles, qui correspond à l’intervalle de tempé-rature de l’air soufflé [16 21],
– une EDO de la forme (5.1) décrivant l’état du système,
– une famille d’ensembles cibles, également appelés les consignes.
Soit a0 dans RM. S’il existe un contrôle u admissible et un instant t1 tels que a(t1) appartient à l’ensemble cible, u envoie a0 à la cible, alors a0 est dit contrôlable. Cette définition conduit alors à plusieurs questions :
1. trouver l’ensemble des états initiaux a0 ∈ RM qui peuvent être envoyés à la cible, c’est-à-dire l’ensemble des états initiaux contrôlables. C’est alors un problème de contrôlabilité. Si cet ensemble est RM alors le système est dit complètement contrôlable,
2. si un état initial a0 est connu, alors un deuxième problème consiste à trouver et décrire au moins un contrôle qui réalise la jonction de a0 à la cible. C’est un problème de synthèse,
3. Quand il n’y a pas unicité du contrôle, il est possible de chercher le «meilleur» relativement à un critère (ou coût) donné. C’est alors un problème de contrôle optimal.
Pour déterminer la contrôlabilité d’un système, la matrice de contrôlabilité est définie :
C(Ar,Br) =Br,ArBr,Ar2Br, . . . ,AM −1r Br. (5.2) C’est une matrice M × M. Le système est alors complètement contrôlable si la matrice de contrôlabilité C est de rang maximal, égal à M. De façon équivalente, la contrôlabilité peut être calculée par le grammien de contrôlabilité défini par :
Wc = Z ∞
0
eAτB tBe tAτdτ (5.3) Le système est alors contrôlable si et seulement si le grammien est défini positif.
Après vérification, les modèles d’ordre réduit des quatre cas ont tous une matrice de contrôlabilité de rang sept, ils sont donc complètement contrôlables.
5.1.2 Observabilité
Dans notre cas, l’état du système n’est pas directement mesurable ou observable. Par contre, il est lié aux températures par l’équation de sortie :
Θobs(t) = Cra(t) + Dru(t) + Θmoyr (5.4) Le système dynamique, décrit par l’équation d’état et par l’équation de sortie, est alors dit observable si l’état a peut être déterminé de manière unique à partir des
mesures Θobs. L’observabilité se détermine à partir du calcul du rang de la matrice d’observabilité O définie par :
O(Cr,Ar) = Cr CrAr CrA2 r ... CrAM −1 r (5.5)
De façon équivalente, l’observabilité peut être calculée par le grammien d’observa-bilité défini par :
Wo= Z ∞
0
eAτC tCe tAτdτ (5.6) Le système est alors observable si et seulement si le grammien est défini positif.
Plaçons nous dans le cas réaliste où seule la température de l’air à la reprise du ventilo-convecteur est mesurée, alors pour les quatre cas, la matrice d’observabilité est de rang sept, c’est-à-dire de rang maximal. Les modèles d’ordre réduit sont donc observables