CHAPITRE 1 REVUE DE LITTÉRATURE
1.2 Mécanismes et modèles théoriques d’enlèvement de colloïdes en milieu poreux
1.2.3 Modèles théoriques microscopiques
Il est possible de modéliser la performance de la filtration à l’aide de modèles théoriques mécanistiques à l’échelle microscopique. Ainsi, la variation spatio-temporelle de la concentration de particules ou de microorganismes en milieu poreux homogène et complètement saturé en eau peut être décrite par l’équation de dispersion-advection (équation 1.1). Tandis que le transport unidimensionnel de particules ou de microorganismes en milieu poreux homogène, saturé en eau est décrit par l’équation 1.2 (Tufenkji 2007).
(Équation 1.1) (Équation 1.2)
Où C est la concentration de microorganismes (cellules mL-1), t le temps (sec), D le coefficient de dispersion hydrodynamique (cm2 s-1), x la distance parcourue dans le lit filtrant (cm), v est la vitesse interstitielle7 (cm s-1), ρb la densité du grain sec (g mL-1), θ la porosité (aucune unité) et S la concentration de microorganismes retenue par le lit filtrant (nombre g-1 de matériau).
D’ordre général, ces modèles conceptuels sont utilisés afin de décrire la rétention de particules ou de microorganismes au sein d’un système à l’équilibre à l’étape initiale de filtration. La théorie classique de filtration des colloïdes décrit la filtration physico-chimique si l'on considère que l’attachement des colloïdes est irréversible et que l’influence du détachement, de la mortalité ou de la prédation de microorganismes est négligeable. Plus précisément, elle décrit l’attachement à la suite d’une injection continue d’une concentration donnée de particules ou de microorganismes en milieu poreux homogène, complètement saturé en eau et sous des conditions où l’influence de
la dispersion hydrodynamique est négligeable (Tufenkji 2007). La variation spatio-temporelle de la concentration de microorganismes en suspension en fonction de la profondeur du lit filtrant selon la théorie classique de filtration des colloïdes est décrite par l’équation 1.3. Pour sa part, l’attachement physico-chimique en fonction de la profondeur est décrit par l’équation 1.4 (Yao et al. 1971):
( ) ( ) (Équation 1.3)
( ) ( ) (Équation 1.4)
où C0 est la concentration de microorganismes initialement injectée (cellules mL-1), t0 le temps d’injection (sec) et kd le taux de rétention des particules8 (sec-1) qui est défini par l’équation 1.5.
( )
(Équation 1.5)
Où dc est le diamètre du grain (mm) et η, l’efficacité d’enlèvement d’un seul grain (aucune unité)9. Par ailleurs, ces modèles microscopiques prédisent la performance du filtre selon
η qui reflète à la fois le transport de particules et l’attachement de celles-ci à un seul grain (équation 1.6).
(Équation 1.6)
Où α est l’efficacité d’attachement (aucune unité)10
et η0 l’efficacité de collision d’un seul grain11
(aucune unité). D’une part, l’efficacité d’attachement (α) est définie par le ratio entre le nombre de collisions qui provoque un attachement et le nombre total de collisions. Il est à noter que α intègre les propriétés chimiques des grains, des particules et de la solution. De plus, la valeur de α varie entre 0 et 1. Dans les circonstances où aucune collision mène à un attachement, α est de zéro et, lorsque toutes les collisions provoquent un attachement, α est de 1 (Amirtharajah 1988). D’autre part, l’efficacité de collision d’un seul collecteur (η0) décrit les paramètres physiques qui
8
Traduction personnelle de «deposition rate coefficient».
9 Traduction personnelle de «single collector removal efficiency». 10 Traduction personnelle de «attachment efficiency».
régissent le transport de particules en milieu poreux. Plus précisément, η0 est défini par le ratio
entre le taux de collision de particules avec le grain et le taux auquel les particules s’approchent du grain. Dans un contexte où ces modèles théoriques sont utilisés afin de modéliser des données expérimentales, l’efficacité d’attachement (α) à une surface d’un grain est déterminée selon l’équation 1.7.
( ) ( ) (Équation 1.7)
Où L est la profondeur du filtre (mm). Afin de permettre la détermination de α, l’efficacité de collision d’un seul grain (η0) est quantifiée par la somme des collisions associées au transport par
diffusion (ηD), interception (ηI) et décantation (ηG) (équation 1.8)(Yao et al. 1971).
(Équation 1.8)
Des modifications à l’équation initialement présentée par Yao ont été proposées par Rajagopalan & Tien (1976) afin d’intégrer l’influence des forces de London-van der Waals ainsi que les forces hydrodynamiques au terme qui décrit le transport par interception (ηI). D’autres
améliorations ont par la suite été proposées par Tufenkji & Elimelech 2004a. D’une part, des modifications au terme de diffusion (ηD) ont permis d’intégrer les interactions de London-van der
Waals de même que les interactions hydrodynamiques associées à la viscosité sur le transport par diffusion brownienne. D’autre part, les auteurs ont démontré que l’intégration des forces de London van der Waals au terme de décantation (ηG) est de mise tandis qu’un ajustement de celui-
ci en fonction de la porosité (comme initialement proposé) ne s’avère pas nécessaire. Ainsi, une
prédiction plus précise du transport de particules est offerte par l’équation de Tufenkji & Elimelech 2004a (équation 1.9). Chacun des termes adimensionnels utilisés est décrit
dans le tableau 1.1.
⁄
(Équation 1.9) L’application de la théorie classique de filtration des colloïdes se limite à des conditions idéales comme énumérées préalablement. Ainsi, ces modèles conceptuels ne permettent pas de prédire l’enlèvement physico-chimique de particules sous des conditions jugées non favorables. En effet, ils ne considèrent pas l’attachement au 2e
minima d’énergie répertorié en laboratoire (Tufenkji & Elimelech 2004b, 2005a, b). De plus, l’utilisation de ces modèles se limite à un
moment précis du cycle de filtration, c’est-à-dire au moment où un filtre propre atteint l’équilibre. Alors, ces modèles ne peuvent décrire l’enlèvement de particules attribué aux mécanismes d’enlèvement dynamiques comme la maturation et le blocage des sites d’attachement. Pourtant, ces interactions entre particules sont prédominantes lors de la période stable d’opération d’un filtre granulaire. Qui plus est, puisque l’impact du détachement est jugé négligeable, ces modèles conceptuels ne peuvent prédire le relargage de microorganismes du lit filtrant ni la percée d’un filtre (Tufenkji 2007). Nonobstant les limites d’utilisation de la théorie classique de filtration des colloïdes, celle-ci permet manifestement une meilleure compréhension des mécanismes qui gouvernent l’enlèvement de microorganismes par filtration granulaire.
Tableau 1.1. Sommaire des paramètres adimensionnels nécessaires pour l’évaluation de l’efficacité de collision d’un seul grain (η0).
Paramètre Définition Formule Interprétation
As Paramètre dépendant de la porosité selon le modèle de Happel
( )
Ou ( ) ⁄
NPe Nombre de Peclet Ratio entre le transport par convection et par diffusion.
Ou NvdW Nombre de van der Waals
Ratio entre l’énergie des interactions de van der Waals et l’énergie thermique de la particule.
NR Facteur de forme12 Ratio entre le diamètre de la particule et le diamètre du
grain.
NA Nombre d’attraction
Influence à la fois des forces de van der Waals et de la vitesse d’écoulement sur le taux de rétention associé à l’interception.
NG Nombre de gravité ( )
Ratio de la vitesse de décantation selon la loi de Stockes et la charge superficielle.
Tableau traduit et adapté de Tufenkji & Elimelech 2004a
Où θ est la porosité, U la charge superficielle, dc le diamètre du grain, D∞ le coefficient hydrodynamique, K la constante de Bolzmann, T la température absolue, ap lerayon de la particule, μ le viscosité de l’eau, A la constante de Hamaker, dp lediamètre de la particule, ρp ladensité de la particule, ρf ladensité de l’eau, g la force gravitationnelle.