Ceci est la distribution de Maxwell-Boltzmann qui décrit l’équilibre d’un gaz parfait. La distri- bution de Maxwell est donc la solution d’équilibre de l’équation de Boltzmann. Il est normal de trouver cette solution d’équilibre car les hypothèses du gaz parfait sont compatibles avec les hypo- thèses que nous avons utilisées pour dériver l’équation de Boltzmann. Les particules sont considé- rées comme ponctuelles et il n’y a pas d’interactions à distance entre celles-ci. Dans le modèle de Boltzmann, les collisions ont pour effet de redistribuer les particules. Et en l’absence de contraintes extérieures, cette redistribution fait tendre la fonction de distribution vers la distribution d’équilibre de Maxwell-Boltzmann.
I.5
Modèles du terme collisionnel
L’équation de Boltzmann obtenue précédemment est une équation intégro-differentielle non linéaire qui permet de modéliser des situations de non-équilibre y compris lointain. En contrepar- tie les analyses et résolutions (numériques pour l’essentiel) de l’équation sont délicates à mener en
l’état. La principale difficulté provient du terme collisionnel qui, incluant l’interaction à deux corps avec une partie strictement collisionnelle, rend possibles des sauts discontinus dans le sous-espace des vitesses. Il est toujours possible, mais souvent très coûteux, d’utiliser des techniques du type DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) [9] pour approcher numériquement ses solutions. Dif- férentes propositions ont été proposées dans la littérature pour simplifier le terme collisionnel en accord avec les caractéristiques particulières du problème traité. Nous présentons dans ce qui suit le modèle du temps de relaxation (modèle BGK) et le modèle ES-BGK qui en est une extension possible.
I.5.1
Modèle BGK
L’approximation BGK a été introduite par Bhatnagar, Gross et Krook en1954 [10]. Le terme
collisionnel proposé n’a pas été originellement dérivé mathématiquement à partir du terme colli- sionnel de Boltzmann mais à partir d’arguments plus physiques. L’idée principale est que le terme collisionnel de Boltzmann est un rappel vers la distribution d’équilibre local de Maxwell. Si l’on est dans une situation de lointain non-équilibre alors le terme de rappel est très fort sur des temps caractéristiques de l’ordre du libre temps moyen de collision. Dès que la distribution s’est isotro- pisée et régularisée autour de la la distribution d’équilibre local le terme collisionnel devient beau- coup plus faible (on rappelle qu’il s’annule si on est strictement à l’équilibre) et on rentre dans le régime dit hydrodynamique pour lequel les temps caractéristiques d’évolution sont beaucoup plus longs.
Pour comprendre la forme proposée pour ce terme collisionnel, repartons de l’équation ci- nétique (I.23), pour laquelle le terme source S n’est pas explicité et la non-linéarité du terme
collisionnel n’est pas encore apparente :
∂f
∂t + v · ∇(f) = − v
λf + S (I.56)
La première approximation consiste à simplifier singulièrement le terme de disparition.
−λvf ≃ −fτ (I.57)
Cette approximation consiste à ne considérer qu’un seul et même temps moyen de collisionτ pour
toutes les particules quelles que soient leurs vitesses. La valeur la plus pertinente pour τ est en
général le temps moyen entre deux collisions successives, ce qui est une caractéristique du gaz dans les conditions d’étude. La difficulté est maintenant de proposer une approximation pour le terme source. Nous avons indiqué précédemment que l’effet des collisions est de redistribuer les
particules selon la distribution d’équilibre local de Maxwellfeq. Ainsi Bhatnagar, Gross et Krook, ont proposé d’approximer le terme source par un terme proportionnel à la distribution d’équilibre
feq:
S ≃ f
eq
τs
(I.58) Par homogénéité de l’équation, un temps caractéristique τs apparaît. Or le terme collisionnel a
certaines contraintes à respecter. En effet, lors des collisions la masse, la quantité de mouvement et l’énergie cinétique sont conservées. Ceci, ce traduit par :
Z CBGK dv = 0 (I.59) Z vCBGK dv = 0 (I.60) Z 1 2mv 2 CBGK dv = 0 (I.61) avec CBGK = −fτ + f eq
τs , le terme collisionnel BGK. Par définition de f et f
eq, nous avons les
relations suivantes : ρ = Z f dv = Z feqdv (I.62) ρu = Z vf dv = Z vfeqdv (I.63) 3 2ρrT = Z 1 2(v − u) 2f dv = Z 1 2(v − u) 2feqdv (I.64)
Nous en déduisons que le temps caractéristique du terme source est le même que celui du terme de disparitionτs = τ . Ainsi, nous obtenons le terme collisionnel de BGK et l’équation de Boltzmann
sous l’approximation BGK ou l’équation Boltzmann-BGK :
∂f
∂t + v · ∇(f) = −
f − feq
τ (I.65)
Contrairement aux apparences, l’équation de Boltzmann-BGK n’est pas linéarisée ; seul le terme de disparition est linéaire. En revanche, le terme source fait intervenir la distribution d’équilibre
feq qui dépend des champs macroscopiques ρ, u et T . Or ces champs macroscopiques sont des
intégrales def . Donc l’équation de Boltzmann-BGK est aussi une équation intégro-différentielle
dont une partie du terme collisionnel est non linéaire. Mais cette “quasi-linéarisation” autorise l’utilisation de techniques numériques plus classiques que la DSMC, et permet aussi de déduire quelques résultats analytiques dans certains cas. Il est à noter aussi, que sous l’approximation BGK, le gaz n’est caractérisé que par un seul paramètre, le temps de relaxation τ . Ceci est une
plus de données sur les particules du gaz, telles que la taille des particules et les caractéristi- ques du potentiel intermoléculaire à courte portée nécessaires à caractériser la section efficace des collisions.
I.5.2
Modèle ES-BGK
Parmi les inconvénients du modèle BGK, le fluide est caractérisé par un seul paramètre, le temps de relaxationτ . Il est important de noter que ceci n’est pas intrinsèquement lié au modèle
BGK, et apparaît de la même façon dans le terme collisionnel de Boltzmann si on considère par exemple une modélisation de type sphère dure pour l’interaction interparticulaire. Ceci a pour conséquence, qu’au niveau macroscopique, le nombre de Prandtl est toujours fixé quelle que soit la valeur deτ . En effet, nous allons démontrer dans la section suivante que la viscosité ν du fluide et
la diffusivité thermiqueα sont proportionnelles à τ . C’est pourquoi le nombre de Prandtl qui est le
rapport entre ces deux coefficients de transport (P r = ν
α) est indépendant deτ . Le calcul du nombre
de Prandtl à partir du terme collisionnel BGK donne une valeur de 1 alors qu’à partir du terme
collisionnel complet de l’équation de Boltzmann on obtient une valeurP r = 2/3. Ce qui est en très
bon accord avec les données expérimentales de la plupart des gaz. L’air par exemple a un nombre de Prandtl de0.7. De plus, comme nous l’avons dit précédemment, l’équation de Boltzmann est
pertinente pour la description des liquides à la limite macroscopique. Mais les valeurs du nombre de Prandtl pour les liquides sont bien différentes de 2/3. Par exemple, le nombre de Prandtl de
l’eau à pression atmosphérique à20◦C a pour valeur 7 . Afin d’obtenir des valeurs souhaitées du
nombre de Prandtl , nous allons utiliser une autre approximation pour le terme collisionnel, le modèle ES-BGK1 [11, 12, 13]. Cette approximation a été introduite spécifiquement pour pallier
les défauts de BGK par rapport au nombre de Prandtl. Sous l’approximation ES-BGK , le fluide sera décrit par deux paramètres, le temps de relaxation τ et un autre paramètre noté b. Le terme
collisionnel ES-BGK présente le même terme de disparition que BGK,−fτ. La différence se situe au niveau du terme source.
Le terme collisionnel ES-BGK apparaît comme une généralisation de BGK. En effet le terme source de ES-BGK est une gaussienne anisotrope alors qu’avec BGK le terme source est la fonc- tion d’équilibre de Maxwell-Boltzmann 2. De ce point de vue l’approximation BGK est un cas particulier de l’approximation ES-BGK. L’expression de la gaussienne anisotrope est :
fG= ρ (2πdet[Θ])3/2 exp −12Θ−1αβ(vα− uα)(vα− uα) (I.66)
1pour Ellipsoidal Statistical BGK 2qui est une gaussienne isotrope
avecΘ le tenseur de composante Θαβ = (1 − b)rT δαβ + bρPαβ.b est le deuxième paramètre qui
caractérise le fluide en plus du temps de relaxationτ . Contrairement au temps de relaxation, il est
difficile de donner une signification physique àb. On peut remarquer que lorsque b = 0 on retrouve
quefG = feq. Ainsi sous cette approximation, nous obtenons l’équation de Boltzmann-ES-BGK,
de forme similaire à l’équation de Boltzmann-BGK :
∂f
∂t + v · ∇(f) = −
f − fG
τ (I.67)
Nous montrerons quelques résultats de simulations incluant cette description dans le chapitre sui- vant.