Modèles prédictifs de la résistance en traction des sols

Divers auteurs, dont Rumpf (1961) et Schubert (1984), ont développé des modèles pour prédire la résistance en traction des sols non saturés. Le modèle de Rumpf (1961) n’est applicable que dans le régime pendulaire tandis que le modèle de Schubert (1984) peut servir pour le régime capillaire et pour le régime funiculaire. Ces modèles se basent sur un système de deux particules sphériques de diamètre d, séparées d’une distance a, liées par un film d’eau capillaire, tel que représenté à la figure 2–32.

Figure 2–32 : a) Ménisque d’eau entre deux particules sphériques; b) Diagramme des forces agissant sur une particule du sol (modifié de Kim et Sture, 2008).

 Régime pendulaire

À de faibles teneurs en eau, les forces capillaires développées dans les sols granulaires non saturés seraient le résultat de l’action de deux composants (voir figure 2–32) : la force Fs* due à la tension de surface, agissant sur la ligne de contact eau-particule, et la force Fc due à la

différence des pressions extérieures et intérieures du ménisque agissant sur la section transversale (Kim et Hwang, 2003). La force due à la tension de surface peut être exprimée à l’aide de l’équation suivante (Schubert, 1984) :

θ θ

(2–47)

où θ* est l’angle du ménisque exprimé en radians; α est la tension de surface d’eau en N.m-1_{; δ est} l’angle de contact en radians; d est exprimé en mètres et Fs*en N (voir figure 2–32).

La deuxième force Fc (Newtons) peut être évaluée comme suit (Schubert, 1984) :

θ Avec θ θ et θ θ (2–48) (2–49) (2–50)

Dans ces équations, h* et r* sont adimensionnels; h et r (exprimés en mètres) sont les rayons de courbure interne et externe du ménisque, tel que montré à la figure 2–32; θ* est l’angle du ménisque (exprimé en radians) qui dépend de la quantité d’eau présente dans le sol; α est la tension de surface d’eau (≈ 0,072 N/m); d et a sont donnés en mètres; l’angle de contact δ (en radians) est une caractéristique qui dépend notamment des propriétés de l’eau et de la surface du sol. L’angle de contact δ peut varier entre 0 rad et 1,3 rad ou 0º et 80º (Kumar et Malik, 1990; Laroussi et DeBacker, 1979)

La force totale (capillaire) Ft résulte donc de la sommation de deux forces décrites ci-dessus :

θ θ θ

L’angle du ménisque θ* peut être relié à la teneur en eau w et à la densité relative des grains Dr par l’expression suivant (Lu et al., 2007)

_{θ δ} θ δ

_{θ δ θ δ} π _{θ δ}

θ θ

(2–52)

Le paramètre k est égal au nombre de points de contact entre les particules. Par exemple pour un arrangement cubique simple de particules de même taille, k = 6.

Les équations développées précédemment, basées sur la théorie capillaire, ne sont valables que pour les sols à de faibles teneurs en eau et avec un diamètre de particule d uniforme, représentés dans la CRE comme le régime pendulaire. La résistance en traction correspondante, à l’état pendulaire, est exprimée en fonction de la force capillaire totale Ft (Rumpf, 1961):

(2–53)

où Ft est donné par l’équation 2–51 et elle est exprimée en Newtons.

Des valeurs typiques de la résistance en traction (à l’état pendulaire) pour un sable non saturé calculées à partir de l’équation 2–53 sont montrées à la figure 2–33. Théoriquement, le modèle de Rumpf (1961) est applicable jusqu'à certaine teneur en eau w (ou Sr). Cette valeur limite dépend de l’arrangement des particules (i.e. k ) et de l’angle du ménisque θ*. Lu et Likos (2004) ont démontré que pour un arrangement simple cubique (SC) avec k = 6, n = 47,6% (e = 0,91) et la teneur en eau supérieure limite est égale à 6,3 % si δ = 0 tandis que pour un arrangement tétraédrique (TH) avec k = 12, n = 26% (e = 0,34), la teneur en eau supérieure limite est égale à 3,2 % si δ = 0.

Rappelons que la teneur en eau gravimétrique w peut être liée au degré de saturation Sr et à la teneur en eau volumique à partir de l’équation suivant :



(2–54)

Si l’on considère une densité relative typique pour les sables Dr = 2,65, les teneurs en eau limites pour un arrangement SC et pour un arrangement TH correspondent à Sr = 18,2% (w = 0,09) et Sr = 25,5% (w = 0,06) respectivement. On peut tracer un graphique de la résistance en traction en fonction du degré de saturation pour un sable non saturé au régime pendulaire (voir figure 2–33) en utilisant les équations 2–47 à 2–54.

Selon l’expression de l’équation 2–53 (Rumpf, 1961), la résistance à la traction au régime pendulaire σtp est inversement proportionnelle au diamètre de particules d. Les corrélations entre la résistance en traction σtp, le diamètre de particules d et le degré de saturation pour un arrangement SC ainsi que pour un arrangement TH (avec δ = 0) sont montrés à la figure 2–33. On remarque que la résistance à la traction en régime pendulaire (0 ≤ Sr ≤ 18% pour un arrangement SC et 0 ≤ Sr ≤ 28% pour un arrangement TH), pour différentes tailles de particules, peut varier de 0 (à Sr = 0) jusqu’à une centaine de pascals pour un sable grossier (avec un diamètre de particule moyen d = 1 mm) et jusqu’à plusieurs kilopascals pour un sable fin (d = 0,01 mm). Pour les silts, les valeurs typiques de la résistance en traction varient autour de plusieurs dizaines de kilopascals (Goulding, 2006).

Figure 2–33 : Valeurs calculées de la résistance en traction d’un sable en fonction de la taille de particules et du degré de saturation selon le modèle de Rumpf (1961) (équation 2–53).

 Régimes capillaire et funiculaire

À l’état capillaire, proche de la saturation, il existe peu de théories pour déterminer la résistance en traction. Parmi les plus répandues, on retrouve celle de Schubert (1975) et celle de Kim (2001), citées par Lu et al. (2007). Schubert (1975) considère que les forces capillaires ne se développent qu’à la surface des agglomérats et qu’elles ne contribuent plus à la résistance en traction des sols non saturés. Ici, la résistance à la traction est due à la pression d’eau capillaire négative Pc produite à l’intérieur des agglomérats. Le modèle de Schubert (1975, 1984) conduit à la relation suivante :

(2–55)

où Pc est la pression capillaire (ou la succion matricielle) [M.L-1_.T-2_{] qui peut être déterminée} pour un degré de saturation Sr directement de la CRE du matériau ou à partir de l’équation proposée par Schubert (1975,1984) :

α

(2–56)

où a’ est une constante adimensionnelle liée à la granulométrie du matériau, n est la porosité du sol, d est le diamètre des particules en mètres et α la tension de surface exprimée en N.m-1_{. Le} paramètre a’ varierait entre 6 et 8 pour des sols avec une granulométrie uniforme et entre 1,9 et 14,5 pour des sols avec une granulométrie étalée.

Une autre équation proposée par Kim (2001) tient compte de la variation de la pression capillaire tant à l’état capillaire qu’à l’état funiculaire.

σ (2–57)

Selon les équations 2–55 et 2–57, la valeur maximale de la résistance en traction σt est égale à la succion matricielle (≈AEV) pour un degré de saturation proche de 100 % (Sr  Sca) . Pour Sr = 100%, la résistance en traction σt devient nulle puisque la succion est égal à zéro (la pertinence de cette dernière expression reste toujours en discussion).

D’après Schubert (1984) les contraintes de traction, à l’état funiculaire, sont transmises par les ménisques d’eau entre les particules et aussi par les pores qui sont remplis d’eau. La résistance en traction en régime funiculaire σtf peut être calculée à partir de l’expression suivante (Schubert, 1984) : (2–58)

Cette expression combine la résistance en traction à l’état pendulaire σtp calculée à partir de l’équation 2–53 et la résistance en traction à l’état capillaire σtc déterminée selon l’équation 2–55, Sr est le degré de saturation sans unités et Sca et Sf correspondent aux degrés de saturation aux limites supérieures du régime funiculaire et du régime pendulaire respectivement. Les valeurs de Sca et de Sf peuvent être reliées respectivement à la valeur d’entrée d’air AEV et à la succion résiduelle ψr de la CRE du matériau.

Les figures 2–34 et 2–35 illustrent l’allure de la courbe de la résistance à la traction typique pour les sols granulaires (à faible plasticité), soit un sable (sol grossier) et un silt (sol fin) en fonction de la succion. La courbe de rétention d’eau CRE des deux matériaux a été déterminée selon la méthode de Kovacs modifié MK proposé par Aubertin et al. (2003). Les équations 2–53, 2–55 et 2–58, avec les paramètres affichés aux figures 2–34 et 2–35, ont été utilisées pour calculer les valeurs de la résistance en traction du sable et du silt. On peut remarquer qu’au fur et à mesure que la teneur en eau du sol augmente (à partir de l’état sec), la résistance en traction du sol augmente, de façon très abrupte, pour atteindre une valeur qui ne varie presque pas le long du régime funiculaire. Ensuite, lorsque le sol approche de la saturation, on constate une chute de la résistance à la traction jusqu’à zéro.

Figure 2–34 : Utilisation de la CRE prédite pour tracer la courbe de résistance en traction théorique σt pour un sol granulaire grossier selon les équations 2–53, 2–55 et 2–58 (les paramètres utilisés sont présentés dans la figure).

Figure 2–35 : Utilisation de la CRE prédite pour tracer la courbe de résistance en traction théorique σt pour un sol granulaire fin selon les équations 2–53, 2–55 et 2–58 (les paramètres utilisés sont présentés dans la figure).

0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R ési st an ce à la tr ac tio n ou S uc ci on (k Pa ) Degré de saturation Sr(-) CRE-Modèle MK

Composant du régime pendulaire Composant du régime capillaire Courbe de la résistance en traction

0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 R ési st an ce à la tr ac tio n ou S uc ci on (k Pa ) Degré de saturation Sr (-) CRE-Modèle MK

Composant du régime pendulaire Composant du régime capillaire Courbe de la résistance en traction

En théorie, la courbe de la résistance à la traction des sols non saturés présenterait deux pics. Ceux-ci sont attribuables aux termes de résistance en traction dans le régime pendulaire et dans le régime capillaire respectivement (voir équation 2–58). Au régime pendulaire, la valeur maximale de la résistance est obtenue approximativement à la teneur en eau résiduelle (θr ou Sf) du matériau. La valeur maximum de la résistance en traction au régime capillaire, qui est d’ailleurs la valeur maximale atteinte selon la théorie de Schubert (1975, 1984), équivaut à la succion d’entrée d’air AEV. Les sols granulaires développeraient théoriquement des résistances plus importantes à l’état proche de la saturation.

Ces équations seront utilisées à la section 5.4.2 pour prédire la résistance en traction des résidus miniers étudiés ici.