Modèles permettant la mesure du coecient de diusion

La mesure du coecient de diusion se donc fait en mesurant l'élargissement du prol de concentration perpendiculairement à l'écoulement. Cette mesure nécessite donc l'utilisation de modèle de diusion. Dans les puces que nous allons utiliser par la suite nous pouvons distinguer deux congurations. La première est le cas de diusion simple dans des microcanaux : deux solutions coulent côte à côte, l'une contient l'espèce dont nous devons mesurer le coecient de diusion (D), l'autre est une solution tampon (gure 5.2 ; puce en Y). La seconde est plus complexe, la solution d'espèce dont on cherche D se trouve entre deux ux de solutions tampons (gure 5.4 ; puce en Ψ). Par la suite, nous allons présenter les modèles que nous allons utiliser pour extraire les largeurs de diusion. Ces derniers correspondent aux solutions analytiques présentées dans le chapitre 2 dans la partie traitant de la diusion. Nous verrons par la suite comment nous les avons adaptés au cas où nous sommes en présence d'un écoulement.

5.1.2.1 Modèle pour les puces en Y

Ce cas correspond à celui développé dans la partie 2.2.2, deux solutions coulent côte à côte dans une canalisation microuidique, l'une d'elle contient une espèce qui va diuser dans la direction transverse à l'écoulement. Nous pouvons rapprocher cette conguration du cas sans écoulement d'une espèce contenue dans un demi-espace et se diusant selon une direction (gure 5.2). Cette analogie est d'autant plus valable si nous nous plaçons à une distance susante pour que les eets 3D soient négligeables. L'évolution du prol au cours du temps s'écrit :

C(y, t) = C0 2 erf c(

y

2√Dt) (5.1)

Cette solution de l'équation de diusion dans le cas statique peut être adaptée à notre congura- tion : le temps t est remplacé par l'expression t = x/vmoy où x est la distance entre le début de la

canalisation et le lieu de mesure du prol et vmoy est la vitesse moyenne de l'écoulement. Le prol

C(x, y) = C0 2 erf c( y 2q xD vmoy ) (5.2)

Lors de l'utilisation de ce modèle lors des expériences, nous mesurons la largeur du prol w qui est égale à q xD

vmoy. An de mesurer le coecient de diusion à partir des données expérimentales,

nous traçons w2 _{en fonction de x/v}

moy (ie de t), nous devons obtenir une droite dont la pente est

la valeur de D. Son domaine de validité est limité par deux aspects : les eets 3D dû à la forme de l'écoulement, et la présence des murs (cf. partie 2.2.2). Les eets 3D peuvent être négligés dès que l'espèce a diusé dans la profondeur de la canalisation. Pour les murs, le modèle est valable tant que les murs latéraux n'apparaissent pas sur le prol de diusion mesuré. Dès leurs apparitions, nous pouvons considérer que les conditions aux limites ne correspondent plus au cas de diusion simple car ils rajoutent des conditions de réectivité.

Figure 5.2  Schémas présentant le modèle simple. L'image du haut présente la diusion le long de la canalisation tandis que le graphique du bas montre l'évolution du prol avec la distance.

5.1.2.2 Mesures préliminaires

Nous avions réalisé des puces en T en verre-silicium (gure 5.3) permettant le mélange de deux solutions dans des canalisation de section 50 × 50µm2. An de valider notre modèle, nous avons

fait des mesures du coecient de diusion à l'aide de ces système. Pour cela, nous injectons par l'une des entrées de la uorescéine (1mM) et par l'autre de l'eau déionisée. Puis nous relevons les prols en diérents points de la canalisation. L'injection se fait par contrôle de pression à l'intérieur d'un réservoir intégré sur un support adapté. Pour remonter au débit et à la vitesse

moyenne de l'écoulement, nous utilisons la relation liant le débit, la pression et la résistance hydrodynamique : ∆P = RhQ. En traçant l'évolution de w2 en fonction du temps nous observons

que nous obtenons une droite de coecient directeur 5 × 10−10_m2_{/s, cette valeur est proche du}

coecient de diusion de la uorescéine trouvé dans la littérature. En revanche, lors de nos mesures nous voyons apparaître rapidement les bord des canalisations sur les prols d'intensité (w = 50µm pour t = 5s). Cela rend dicile la corrélation du prol avec le modèle. De plus, l'injection en pression ne permet pas de connaître précisément la vitesse moyenne à l'intérieur des canalisations. Pour toutes ces raisons, nous décidons donc de concevoir de nouvelles puces ayant des canalisations du mélangeur plus larges et moins épaisses et d'utiliser un support permettant l'utilisation d'un pousse-seringue c'est à dire permettant un contrôle en débit.

Figure 5.3  a) Schéma du système ayant servi à faire les mesures préliminaires. b) Graphique montrant l'évolution du prol selon la distance. c) Graphique représentant w en fonction du temps, l'équation de la courbe en pointillés est de la forme A√t + y0. d) Graphique présentant w2 en

fonction du temps.

5.1.2.3 Modèle pour les puces Ψ

De la même manière que pour le modèle simple, nous utiliserons pour modéliser notre problème le cas de la diusion dans un espace 1D (gure 5.4). Pour cela, nous utiliserons la diusion d'un plug centré en 0 et de largeur 2a dans un espace inni, le prol de concentration en fonction de (y,t) s'écrit : C(y, t) = C0 2 {erf c( a − y 2√Dt) + erf c( a + y 2√Dt) (5.3)

De la même manière que précédemment nous remplaçons le temps par l'espace en utilisant la relation t = x/vmoy. Lors des expériences, nous mesurons w la largeur de diusion du plug que

nous pouvons relier aux grandeurs physiques du système par la relation w =q

xD

vmoy. Le domaine

de validité du modèle est limité par deux aspects : les eets 3D et la présence des murs. Ces aspects ont été décrits pour le modèle en Y.

Ce modèle peut être encore simplié si nous nous plaçons dans le cas d'un plug très n, nous pouvons faire l'approximation qu'il s'agit d'un "Dirac", le prol de concentration le long de la canalisation suivra alors une gaussienne dont l'équation est :

C(x, y) = M

2√πDtexp −x2

4Dx vmoy

o`u M est la quantit´e de mati`ere (5.4)

Nous utiliserons cette géométrie en plaçant la solution d'amyloïde-β au centre de la canalisation et le déclencheur sur les côtés. Dans le cas de plug n, l'agrégation de l'amyloïde-β sera soumis à un gradient de concentration de déclencheur sur une courte distance devant les longueurs de mesure, il sera donc plus facile de comprendre la cinétique d'agrégation car nous serons à une concentration constante en déclencheur sur la majeure partie de la plage d'observation contrairement aux puces en Y où l'agrégation se produit dans une zone d'interdiusion entre le peptide et le déclencheur.

Figure 5.4  Schémas présentant le modèle pour les puces en Ψ . L'image du haut présente la diusion le long de la canalisation tandis que le graphique du bas montre l'évolution du prol avec la distance.