Diusion dans les microcanaux

En microuidique, la nature de l'écoulement est laminaire, ce qui signie qu'il n'y a pas de phénomène turbulent. Le mélange se fait uniquement par diusion ce qui implique qu'elle joue une place importante dans le domaine. De nombreux systèmes microuidiques sont basés sur ce principe physique tels que les ltres en H qui permettent la séparation de particules de diérentes tailles, les mélangeurs et les puces générant les gradients de concentration. Il paraît alors important de décrire les diérents phénomènes qui apparaissent lors de la diusion d'une espèce soumise à un écoulement laminaire. Tout d'abord, nous présenterons le problème classique de diusion dans des microcanaux, puis nous introduirons le nombre de Peclet, ensuite les phénomènes dus à la combinaison des écoulements et de la diusion, enn nous montrerons dans quelles mesures ils peuvent être négligés rendant possible l'utilisation des solutions analytiques présentées dans la partie précédente.

2.2.2.1 Présentation du problème

Le problème classique de diusion en microuidique est présenté sur la gure 2.7. Par l'entrée B, nous injectons une solution contenant l'espèce C qui doit diuser, et par l'entrée A une solution de solvant seul. Nous faisons l'hypothèse que les écoulements sont laminaires et dans un régime stationnaire. Nous nous placerons dans le cas de canaux rectangulaires, le prol des vitesse dans la section dépendra du rapport d'aspect (gure 2.2). L'étude de la diusion dans les microcanaux consiste à étudier les prols de concentration le long de la canalisation et à en comprendre l'origine. Les équations de diusion sont modiées par rapport au problème de diusion simple, en eet

Figure 2.7  Problème classique de diusion dans les microcanaux

un terme convectif est ajouté au ux particulaire (équations 2.16 et 2.17). Il y a donc une compétition entre le terme convectif et diusif pour réaliser le mélange. An de les comparer, nous utilisons un nombre sans dimension, le nombre de Peclet, il s'écrit :

P e = Lcv

où Lc représente une longueur caractéristique de l'écoulement, v la vitesse de l'écoulement et D

le coecient de diusion. Plus Pe sera grand plus les eets convectifs prédomineront sur les eets diusifs.

La résolution de ce problème ne peut pas se faire analytiquement, mais uniquement à l'aide de simulations numériques basées sur des calculs d'éléments nis.

2.2.2.2 La longueur de mélange

Elle correspond à la longueur nécessaire pour obtenir une solution homogène dans le cas du problème classique présenté précédemment. Elle dépend de plusieurs paramètres : le débit à l'in- térieur de la canalisation qui xe la vitesse moyenne de l'écoulement, le coecient de diusion de la molécule d'intérêt et la largeur de la canalisation w. Une première approximation consiste à dire que la vitesse à l'intérieur de la canalisation est homogène et égale à la vitesse moyenne vmoy, cette composante est uniquement selon l'axe x. Donc seule la diusion assure le transport

de l'espèce selon la direction transverse de la canalisation. Donc le modéle 1D de diusion d'un demi-espace constitue une bonne approximation, le temps ayant pour valeur x/vmoy. Le prol de

concentration obéit donc à la loi suivante : C(x, y) = C0 2 erf c y 2pDx/v ! (2.27) Dans cette formule, nous posons A(x) la longueur de diusion transverse tel que A(x) = pDx/vmoy.

Le mélange sera eectué pour une longueur Lm tel que A(Lm) = w, nous pouvons donc en déduire

que la longueur de mélange s'écrit :

Lm =

w2_v

D (2.28)

La connaissance de cette longueur est utile pour le dimensionnement des systèmes de gradient, elle permet de connaître son ordre de grandeur et ainsi d'optimiser les longueurs des canalisations (partie 2.3.2). Le mélange par diusion est relativement lent et nécessite des longueurs importantes (Lm = 20 cm pour w=100µm, coecient de diusion de la uorescéine : D = 5 × 10−10m2/s et

v=1mm/s), ce constat a conduit au développement de techniques visant à améliorer la vitesse de mélange (partie 2.3.1).

2.2.2.3 Les dispersions dues aux écoulements laminaire

Dans la partie 2.1.1, nous avons vu que le prol des vitesses dans les canaux n'est pas ho- mogène. Cette inhomogénéité est à l'origine de dispersions modiant le prol de diusion. Pour étudier ces phénomènes, nous nous placerons dans le cas d'un canal ayant un fort rapport d'aspect (w  h), le prol des vitesses s'écrit :

v(z) = vmax  1 −4 z 2 h2  avec vmax= h2 8 µ ∆P L (2.29)

La dispersion de Taylor-Aris : Ce phénomène a été mis en avant lors de la dispersion d'un plug (dans le plan zx, gure 2.8) soumis à un écoulement laminaire et stationnaire. Sous l'action de l'écoulement parabolique, le plug va s'étirer et prendre la forme du prol des vitesses, cette forme est observable pour des temps petits devant le temps nécessaire à homogénéiser la concen- tration dans l'épaisseur (t  h2_/D). Sous l'action de la diusion, ce prol de concentration va

en plug et en lui appliquant le même raisonnement nous obtiendrons alors une bande de concen- tration inhomogène à laquelle nous pouvons appliquer le même raisonnement. Si nous le répétons N fois , nous pouvons montrer que le plug initial s'est élargi de façon inhomogène et que le prol ainsi formé suit une gaussienne de largeur Lg = N1/2l =



v2 maxh2

D t

1/2

. Nous pouvons alors dénir un coecient de diusion apparent selon x (Dx) qui va s'ajouter au coecient de diusion et qui

n'inuencera la diusion que selon l'axe x. La valeur de Dx dépend de la géométrie, dans notre cas

Dx = v2

moyh2

210D [5]. Le coecient réel selon x sera alors Dr = D + Dx, ce phénomène a donc tendance

à améliorer le processus de mélange selon x. En revanche pour les systèmes microuidiques de type puce de réaction diusion (partie 2.3.3), la diusion est transverse et ne se fait pas selon la direction x (ux stationnaire et peut être considéré comme uniforme selon la direction y), la dis- persion de Taylor-Aris n'inuence pas leurs comportements [5]. Une des principales applications de ce phénomène est le mélangeur rotatif, dans un canal en forme d'anneau des plugs de réactifs sont injectés puis mis en rotation à l'aide d'une pompe péristaltique [6] ce qui permet d'obtenir des solutions homogènes en des temps très court. En revanche, ce phénomène ne permet pas de transporter un plug sans qu'il ne se déforme ce qui peut être limitant pour certaines applications et rend obligatoire l'utilisation de champs électriques pour mettre en mouvement les uides.

Figure 2.8  Mécanisme de dispersion de Taylor-Aris [5]

Phénomène de diusion au voisinage des murs : Il est particulièrement important pour les puces de réaction-diusion (puce en T). Son origine vient de l'inhomogénéité des vitesses dans une canalisation de section rectangulaire. En eet, si nous regardons la section de la canalisation perpendiculairement à l'axe x, dans les premiers instants du processus de diusion, nous observons que près des murs supérieurs et inférieurs le front de diusion est plus avancé (gure 2.9). L'étude de ce phénomène a permis de montrer que, dans les premiers instants, la loi de diusion n'est pas la même en fonction de la position dans le canal. En eet proche des murs inférieurs et supérieurs, la diusion suit une loi en puissance 1/3 (w ∼ x1/3_{) tandis que dans le centre de la canalisation,}

la loi est en puissance 1/2 (w ∼ x1/2_{). Cette diérence est due à l'eet couplé de la diusion}

transverse et du gradient de vitesse dans la canalisation [7] [8]. En eet, la vitesse près des murs est plus lente à cause des conditions aux limites de non glissement, cela implique que la diusion proche des murs est accélérée. Salmon et al. ont montré que la portée de cet eet est limitée selon la direction x. Pour x > 0.1P e avec P e = h2_v

moy

D , la diusion selon l'épaisseur a permis

l'homogénéisation du prol et cet eet devient négligeable. Pour simplier l'analyse, il convient donc pour la détermination des coecients de diusion et des constantes de réaction de se placer dans le cas où cet eet est négligeable. Nous reviendrons sur la détermination de ces constantes dans la partie 2.3.3.

Figure 2.9  Images montrant l'évolution de la diusion dans la section de la canalisation pour diérentes longueurs. Sur les deux premières, nous pouvons observer les eets dus à l'inhomogénéité du prol de diusion. Sur la troisième, l'interface est homogène [7].