Modèles d'optimisation

En tant que sientiques, ingénieurs et managers, nous avons toujours à prendre des

déi-sions. La prise de déision est partout. Comme le monde devient de plus en plus omplexe et

onurrentiel,laprise dedéision doitêtreabordéed'unefaçonrationnelleetoptimale.La prise

de déisionpeutsedéomposeren plusieurs étapessuessivesommeprésentésurlagure2.2

extraitede [100 ℄ :

Formulation du problème : Dans ette première étape, un problème de déision est

identié. Puis, une délaration initialedu problème est faite. Cetteformulationpeut être

impréise. Lesfateursinternes etexternes de l'objetif (

s

^{)du problème sontdérites. De}

nombreux déideurspeuvent êtreimpliqués danslaformulation duproblème.

Modélisation du problème : Dans ette étape importante, un modèle mathématique

abstrait est réé pour représenter le problème. Le modélisateur peut s'inspirer des

mo-dèlesqui existent danslalittérature. Celapermettrade réduireleproblème àdesmodèles

d'optimisationbienétudiés.Habituellement,lesmodèlesquenousrésoudronssontdes

sim-pliationsde laréalité.Ilsimpliquent desapproximations etparfoisévitent les proessus

quisontomplexesàreprésenterdansunmodèlemathématique.Unequestionintéressante

quipeutseposerestlasuivante:pourquoirésoudredemanièreexatelesproblèmes

d'op-timisation dela vieréelle quisont ouspar nature?

Optimisation du problème : Une fois que le problème est modélisé, la proédure de

résolution génère une bonne solution pour e dernier. La solution peut être optimale

ousuboptimale. Notonsquenousherhonsune solutionpour unmodèle abstraitdu

pro-blèmeetnonpaspour leproblèmeoriginalréaliste.Par onséquent,lesperformanes dela

solution obtenue,sont indiatives. Pour résoudreun problème, il est possible de réutiliser

desalgorithmes génériques déjàonnus danslittérature ou de développer desalgorithmes

ad-ho tenant ompte desspéiitésduproblème à résoudre.

Implémentation de la solution : La solution obtenue est testée en pratique par le

déideur etest miseen ÷uvre si elle est aeptable. Certaines onnaissanes pratiques

peuventêtreintroduitesdanslasolutionàmettreen÷uvre.Silasolutionestinaeptable,

le modèle et/ou l'algorithme d'optimisation doit être amélioré et le proessus déisionnel

estréitéré.

Figure 2.2 Proessuslassiquedansla prisede déision

2.2.1 Modèle d'optimisation lassique

Comme mentionné préédemment, lesproblèmes d'optimisation se retrouvent dansde

nom-breuxdomaines :sienes,ingénierie, gestionetaaires.

Un problèmed'optimisation peutêtre dénipar leouple

(S, f )

^,où

S

^{représentel'ensemble}

des solutions réalisables, et

f

^{la fontion objetif à optimiser. La fontion objetif assigne à}

haque solution

s ∈ S

^{de l'espae de reherhe unnombre réel indiquant savaleur.La fontion}

objetif

f

^{permetdedénirunerelationd'ordretotalentretoutepairedesolutionsdansl'espae}

dereherhe.

Dénition 2.2.1

Optimum Global :Une solution

s ^∗ ∈ S

^{est unoptimumglobal sielle admetune meilleure}

fontion objetifdans l'espaede reherhe

S

^,d'où

∀s ∈ S, f (s ^∗ ) ≤ f (s)

^3.

Ainsi, le but prinipal dans la résolution d'un problème d'optimisation est de trouver une

solutionglobale optimale

s ^∗

^{.Beauoup de solutions globales optimalespeuvent existerpour un}

problèmedonné.Ainsi, leproblèmepeutégalement êtredéniommelareherhe del'ensemble

dessolutions globalesoptimales.

Diérentesfamillesdemodèles d'optimisationsont utilisésdanslapratique pour formuleret

résoudreles problèmesdéisionnels (gure2.3 ).Lesmodèlesqui ont leplusdesuèssont basés

surlaprogrammation mathématique etlaprogrammation par ontraintes.

Figure 2.3 Les modèles d'optimisation lassiques.Les diérentes lasses sehevauhent

par-fois[100 ℄.

Un modèle ouramment utilisé dans la programmation mathématique est le problème de

programmationlinéaire LP (Linear Programming), formuléommesuit :

Min

c.x

sous ontraintes :

( A.x ≥ b

x ≥ 0

^où

x

^{estunveteur devariablesde déisionontinues, et}

c

et

b

^(resp.

A

^{) sont desveteursonstants(resp.matrie) deoeients.}

Dansunproblème d'optimisation deprogrammation linéaire, lafontion objetif

c.x

^à

opti-miseretlesontraintes

A.x ≤ b

^{sonttoutesdesfontionslinéaires.La}programmationlinéaireest l'un desmodèles lesplus satisfaisantspour larésolution desproblèmes d'optimisation. En eet,

pour es problèmes d'optimisation linéaire ontinue, il existe des algorithmes eaes exats,

pour ne iter que la méthode du simplex [29 ℄ ou les méthodes de points intérieurs [61℄.

L'e-aité de es algorithmes est due au fait que l'espae réalisable du problème est un ensemble

onvexeetlafontionobjetifestunefontiononvexe.Ensuite,lasolutionglobale optimaleest

néessairement unn÷uddupolytopereprésentant l'espae réalisable(voir gure2.4).En outre,

toutesolution optimale loale estun optimum global.

Figure 2.4 Illustration graphiquedu modèleLP etdesarésolution

Les modèles de programmation non linéaire (NLP) font fae à des problèmes de

program-mation mathématique où la fontion objetif et/ou les ontraintes sont non linéaires [15 ℄. Un

problèmed'optimisation nonlinéaire ontinuonsiste àminimiser une fontion

f : S ⊂ R ⁿ → R

dansundomaineontinu.Lesmodèlesnon-linéaires ontinussontependantbeauoupplus

di-ileàrésoudre,mêmes'ilyadenombreusespossibilitésdemodélisationquipeuvent êtreutilisés

pour linéariser un modèle [4,44 ℄. Les tehniques de linéarisation introduisent généralement des

variablesetdesontraintes supplémentairesdanslemodèleetdansertainsasunertaindegré

d'approximation [43 ℄.

La théorie de l'optimisation ontinue en termes d'algorithmes d'optimisation est plus

déve-loppée quel'optimisation disrète.Cependant, ilyabeauoupd'appliationsréelles quidoivent

être modélisées par des variables disrètes. Les modèles ontinus sont inappropriés pour es

problèmes. En eet, dans de nombreux problèmes d'optimisation pratiques, les ressoures sont

indivisibles (mahines, personnes, et.) Dans un modèle de programmation en nombres entiers,

les variables de déisionsont disrètes[77 ℄.

Lorsqueles variables dedéisionsont àlafoisdisrètesetontinues,nousavonsaaireàdes

problèmes de programmation en nombres entiers mixtes (MIP). Ainsi, les modèles MIP

géné-ralisent les modèles LP et les modèles IP. Résoudre des problèmes MIP s'est onsidérablement

amélioré es dernières années ave l'utilisation de tehniquesd'optimisation avanées telles que

larelaxation et les approhes de déomposition.Pour les modèles IP etle MIP,les algorithmes

énumératifs tels que elui basée sur la séparation peut être utilisé pour de petites instanes.

La taille n'est pasle seul indiateur de laomplexité du problème, maisaussisa struture.Les

algorithmesbaséssurdesmétaheuristiques,ontribuent defaçon ompétitive àlarésolution des

problèmesdeettelasse,etontpourbutd'obtenirdessolutionsauxproblèmesréputésêtretrop

omplexespour être résolus par des méthodes exates.Les métaheuristiques peuvent êtreaussi

êtreutiliséespourgénérer debonnesbornesinférieuresousupérieuresauxalgorithmesexatset

àaméliorer leur eaité. Notons qu'ily aquelques problèmes failes,ommeles problèmes de

Networkow,oùlaprogrammation linéairegénère automatiquement desvaleursentières. Les

deuxapprohes, programmationen nombresentiersetmétaheuristiques, nesont donpasutiles

pour résoudreeslasses de problèmes.

Unelasseplusgénéraledesproblèmes IPsontlesproblèmesd'optimisationombinatoire. Cette

lasse de problèmes est aratérisée par des variables de déision disrètes et un espae de

re-herhe ni. Cependant, lafontion objetif etlesontraintes peuvent prendre n'importe quelle

forme[86 ℄.

Lapopularitéde problèmesd'optimisation ombinatoire provientdu faitquedansdenombreux

problèmes du monde réel, la fontion objetif et les ontraintes sont de nature diérente (non

linéaire,non analytiques,laboîtenoire, et),alors quel'espae dereherhe estni.

Une autre approhe populaire pour modéliser les problèmes de déision est la programmation

par ontraintes (CP), un paradigme de programmation qui intègre des outils de modélisation

plusrihesquelesexpressionslinéairesdesmodèlesMIP.Unmodèleestomposéd'unensemble

devariables.Chaquevariablea undomaine nide valeurs. Danslemodèle, lesontraintes

sym-boliques etmathématiques liéesà desvariables peuvent être exprimées.Les modèles délaratifs

deCPsontexiblesetsont en général plusompats quedansles modèles MIP.

2.2.2 Autres modèles d'optimisation

On remarque une utilisation roissante des problèmes d'optimisation dans le monde réel

où les données sont bruitées et la fontion objetif hange de façon dynamiquement. Trouver

dessolutions robustes pour ertains problèmes de oneption est un autre dé important dans

l'optimisation. Une transformation vers des problèmes déterministes et statiques est souvent

proposée pour résoudre es problèmes. En outre, ertaines adaptations peuvent être proposées

pour les métaheuristiques en termes d'intensiation et de diversiation de la reherhe pour

s'attaquerà ettelasse de problèmes[58℄.

2.2.2.1 Optimisation sousinertitude

Dans de nombreux problèmes d'optimisation onrets, les donnéesd'entrée sont soumis aux

parasites.Ilexistediérentessouresdeparasites.Parexemple,l'utilisationd'unsimulateur

sto-hastiqueouundispositifdemesureintrinsèquementbruyantstelsquelesapteurs,introduitun

parasiteadditifdanslafontionobjetif.Pourunesolution

x

^{donnéedansl'espaedereherhe,}

unefontion objetif bruyante peutêtredénimathématiquement ommesuit :

f noisy (x) = ^R _−∞ ^+∞ [f (x) + z]p(z)dz

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