Modèles avec lois de contact

Le phénomène de clapping d’une interface est un comportement dynamique. L’ouverture et la

fermeture rapide de la fissure induit des changements brusques de la vitesse et des contraintes. Une

manière de gérer ce type de comportement consiste à utiliser des lois de contact. Par exemple, le

contact unilatéral autorise la séparation géométrique des faces. Des conditions de contrainte libre

sont alors imposées. Pendant les phases de contact la non-interpénétration des faces est assurée,

34 1 Etat de l’art - Acoustique non-linéaire et modélisation

tandis que seule une contrainte de compression peut être transmise. Cette loi est utilisée dans un

certain nombre de modèles et sera détaillée dans le chapitre suivant. Les lois de contact rendent

le problème difficile à résoudre analytiquement et requièrent l’utilisation de méthodes numériques.

L’interface peut être partiellement fermée et il est nécessaire d’appliquer les conditions aux limites

appropriées uniquement sur la partie en contact. La section de l’interface impliquée dans le contact

à un instant donné est donc une inconnue supplémentaire.

Mendelsohn et Doong ont mis en place un modèle numérique de type BEM pour traiter

l’in-teraction d’une onde SH avec une interface de contact [121]. Dans ce modèle 2D, seule l’interface

est discrétisée et une loi de contact unilatéral avec frottement de Coulomb est utilisée. La loi de

frottement permet de prendre en compte les efforts tangentiels. La résolution est effectuée dans le

domaine temporel et un algorithme itératif est utilisé pour déterminer quelles zones sont ouvertes,

en contact, ou glissantes. Enfin, une contrainte normale est appliquée sur l’interface. Les résultats

donnent l’évolution de la distance maximale de glissement et du facteur d’intensité des contraintes

(FIC) en pointe de fissure lors du passage de l’onde. Hirose et Achenbach reprennent le travail

de Mendelsohn et Doong sur le cas d’une fissure 2D soumise à une onde plane longitudinale [122].

Le frottement n’est pas pris en compte. La solution pour l’onde transmise est calculée à partir

des déplacements de l’interface en utilisant les fonctions de Green. L’analyse de l’onde transmise

montre l’existence d’un second harmonique qui décroit avec la contrainte normale, conformément

aux observations expérimentales. Le frottement est ajouté dans un second travail [123]. Trois cas

sont abordés en régime permanent : (i) la fissure est initialement ouverte et soumise à une onde

longitudinale sous incidence normale, (ii) la fissure est fermée et soumise à une onde longitudinale

ou transverse sous incidence normale, et enfin, (iii) la fissure est fermée et soumise à une onde

trans-verse sous incidence oblique. L’évolution des harmoniques est donnée en fonction de la compression

pour les cas sous incidence normale. Le troisième harmonique montre un maximum dans le cas de

l’onde transverse. Sous incidence oblique, seule la réponse temporelle de l’interface est proposée.

Le même type de modèle est aussi utilisé par Menshykov et al. dans une logique plus orientée vers

la mécanique de la rupture. Les FIC sont calculés pour plusieurs angles d’incidence [124].

Stavrou-lakis et al. ont utilisé cette résolution et ont comparé les déplacements de l’interface avec et sans

loi de contact. La prise en compte du contact se traduit par une transmission partielle de l’onde à

travers l’interface [125]. Récemment, Tan et al. ont étendu le modèle BEM pour un matériau

ho-mogène anisotrope [126]. Une attention particulière est apportée au calcul des ondes diffusées dans

ce type de matériau. La méthode BEM est efficace pour résoudre le problème de contact puisque

seule l’interface est discrétisée. Cependant, le calcul des champs transmis et réfléchis nécessite la

connaissance des fonctions de Green dans le domaine temporel. Ces fonctions ne sont connues que

pour certaines géométries. D’autre part, la méthode conduit à l’évaluation d’intégrales singulières

qui nécessitent des méthodes d’intégration complexes.

Ces lois de contact sont aussi implémentées dans des modèles EF par l’intermédiaire de diverses

techniques qui seront détaillées dans le chapitre 3. L’utilisation des EF et des lois de contact est

maintenant très répandue dans les modélisations mécaniques car ils présentent l’avantage d’être

flexibles, notamment en terme de géométrie, et robustes. En acoustique, on recense peu de modèles

1.4 Modélisation des interfaces de contact en acoustique non-linéaire 35

EF intégrant des lois de contact unilatéral avec ou sans frottement. Kögl et al. ont mis en place

un modèle EF comportant une ou plusieurs fissures modélisées par une loi de contact unilatéral

sans frottement [127]. L’orientation des fissures peut être facilement modifiée. Pour tenir compte

des singularités de contrainte en pointe de fissure (σ ∝ 1/√

r), des éléments dégénérés

(quarter-point elements [128, 129]) sont placés autour de ces zones. Ces éléments initialement développés

dans le cadre de la mécanique de la rupture, ont la particularité d’avoir des fonctions de forme qui

évoluent en ^√r et permettent donc de gérer les singularités de contraintes. Le solide est excité de

manière continue à une fréquence de 20 kHz. Pour différentes orientations de fissure, l’amplitude des

harmoniques supérieurs est relevée aux noeuds du maillages, ce qui permet de réaliser des images de

champs et ainsi de visualiser les fissures. Cependant, pour certaines orientations de fissure, aucun

harmonique supérieur n’est détecté. Cela est dû au fait que le frottement n’est pas pris en compte

dans le modèle.

La méthode des domaines fictifs développée plus récemment, combine les avantages d’une

dis-crétisation régulière de type DF et la flexibilité géométrique des méthodes EF et BEM. Le calcul

est généralement réalisé sur un domaine rectangulaire maillé par une grille uniforme, sur lequel on

vient superposer un maillage linéique qui représente de manière précise les interfaces géométriques

du domaine (obstacle, fissure). Les sauts de la solution entre les deux maillages constituent une

inconnue supplémentaire qu’il faut relier au maillage principal, en utilisant des multiplicateurs de

Lagrange par exemple. Cette méthode a été utilisée en acoustique pour l’étude de la diffusion d’une

onde par un obstacle. Par exemple, Zhang a appliqué cette méthode pour la diffusion d’une onde

par un disque [130]. Bécache et al. ont travaillé sur la diffusion d’une onde par une fissure linéaire

représentée par des conditions limites de type contraintes libres [131]. Le modèle a été étendu par

la suite pour prendre en compte une loi de contact unilatéral [132, 133]. Cette méthode est

au-jourd’hui encore en cours de développement et les travaux apportent une étude de convergence et

d’estimation de l’erreur numérique. Haslinger et Renard ont récemment proposé une méthode avec

stabilisation afin d’améliorer la convergence de la méthode [134].

Le CAN, phénomène non-linéaire associé au comportement d’une fissure lors d’une excitation

acoustique, peut être modélisé par différentes approches. L’approche la plus simple consiste à

considérer la fissure comme une inclusion moins rigide en traction que le reste du matériau. Les

modèles bi-modulaires sont la traduction directe de cette approche et permettent de simuler des

sources d’harmoniques supérieurs, bien que la réponse ne soit pas en accord avec les résultats

expérimentaux. Pour reproduire avec le plus de réalité possible le comportement d’une interface,

des modèles ont été développés à partir des comportements micro-mécaniques. Une gamme de

modèles plus ou moins pointus utilisant des ressorts et des masses permet de modéliser la raideur

de l’interface. Bien que les différents comportements non-linéaires puissent être reproduits par les

modèles les plus complexes, cette approche nécessite la connaissance de la raideur de l’interface qui

doit être mesurée expérimentalement. La connaissance de la rugosité est aussi parfois nécessaire.

Au contraire, les modèles numériques utilisant des lois de contact ne nécessitent que la mesure

du coefficient de frottement. Les lois de contact peuvent être utilisées dans plusieurs types de

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résolution (BEM, EF, DF ou les domaines fictifs) et le frottement est pris en compte par des lois

de type Coulomb ou Tresca par exemple. La génération de nouvelles fréquences est obtenue par

ces modèles. Cependant, certains phénomènes non-linéaires comme les effets de dynamique lente

ne sont pas reproduit par ces modèles.