Modèles à effets mixtes

Sous l’hypothèse nulleH0⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet de l’interaction entre les facteurs A et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réali-sation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I −1)(J −1) et IJ(K −1) degrés de liberté.

Les estimateurs µ,b σ^c_A², σ^c_B², σ^d_AB² , σ^c2 des paramètres µ, σ_A², σ_B², σ_AB² , σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y•,•,• =Y , Ce sont des estimateurs sans biais⁴.

Les estimations, obtenues pour la liste de donnéesyet notéesµ(y),_b σ^c_A²(y),σ^c2_B(y),σ^d2_AB(y),

3.3. Modèles à effets mixtes

3.3.1. Sans répétition

Un facteur contrôléA se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Les β_j représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante.

Nous admettrons que les effets desBj, lesβj, sont distribués suivant une loi normale cen-trée de variance σ_B². Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j) nous effectuons une mesure d’une réponse Y qui est une variable continue. Nous notonsn =I×J le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Yi,j =µ+αi+βj +i,j, i= 1. . . I, j= 1. . . J,

4. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 33

où Y_i,j est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j). Nous supposons que :

L(β_j) =N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

Cov(β_i, β_j) = 0 si i6=j et 16i, j 6J.

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L(_i,j) =N(0, σ²),

Cov(_i,j, _k,l) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k 6I et 16j, l 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

Cov(βi, j,k) = 0 si 16j 6I et 16i, k 6J.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous utilisons les quantités SCA, SCB, SCR, SCT OT, scA, scB, scR etscT OT introduites à la section 3.1.1.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté Facteur A n_A=I−1 Facteur B n_B =J−1 Résiduelle n_R= (I−1)(J −1) Totale n_{T OT} =IJ −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

3.3 Modèles à effets mixtes

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

Facteur A sc_A n_A s²_A = sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R = sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants :

H0⁰ : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H1⁰ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àI−1 et (I−1)(J−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH⁰0est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰₀ :σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 : σ_B² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et (I−1)(J −1) degrés de liberté.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 35

Les estimateurs µ,_b α_c1, . . . , α_cI, σ^c_B², σ^c2 des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, σ²_B, σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y•,•,• =Y , αc_i =Yi,•,•−µ,b 16i6I, σc_B² = 1

I

S_B² −S_R², σc² = SC_R

(I −1)(J−1) =S_R², oùS_B² = SC_B

n_B etS_R² = SC_R n_R .

Ce sont des estimateurs sans biais⁵.

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),_b α_c1(y), . . . , α_cI(y), σc_B²(y), σ^c2(y), des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, σ_B², σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µb =y•,•,• =y, cα_i =yi,•,•−µ,b 16i6I, σc²_B= 1

I

s²_B−s²_R, σc² = sc_R

(I −1)(J−1) =s²_R.

3.3.2. Avec répétitions

Un facteur contrôlé A se présente sousI modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Les βj représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ²_B. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j) nous effectuons K >2 mesures d’une réponseY qui est une variable continue. Nous notonsn=I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j+ (αβ)_i,j+_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k= 1. . . K, avec les contraintes supplémentaires

I

X

i=1

α_i = 0,

I

X

i=1

(αβ)i,j = 0, ∀j ∈ {1, . . . , J},

où Y_i,j,k est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j) lors du k−ème essai. Nous supposons que

L(β_j) = N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J,

L((αβ)_i,j) = N(0, σ_AB² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J,

5. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

3.3 Modèles à effets mixtes

ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

Cov(β_i, β_j) = 0 sii6=j et 16i, j 6J,

Cov((αβ)_i,j,(αβ)_k,l) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k 6I et 16j, l 6J, Cov(β_i,(αβ)_j,k) = 0 si 16j 6I et 16i, k6J.

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀(i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

Cov(β_i, _j,k,l) = 0 si 16j 6I,16i, k6J, et 1 6l 6K, Cov((αβ)_i,j, k,l,m) = 0 si 16i, k6I,16j, l 6J, et 16m6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous utilisons les quantitésSC_A,SC_B,SC_AB,SC_R,SC_{T OT},sc_A,sc_B,sc_AB,sc_Retsc_{T OT} introduites à la section 3.1.2.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_AB +SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté

Facteur A n_A=I−1

Facteur B n_B=J−1

Interaction AB n_AB = (I−1)(J−1) Résiduelle nR =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 37

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_AB H⁰0 ouH⁰1

FacteurB sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Interaction sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H0⁰⁰⁰ ouH⁰⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H⁰0 :α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0

contre

H⁰1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àI−1 et (I−1)(J−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH0⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰₀ : σ_B² = 0 contre H⁰⁰₁ :σ_B² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et IJ(K−1) degrés de liberté.

3.3 Modèles à effets mixtes

H⁰⁰⁰0 :σ_AB² = 0 contre H⁰⁰⁰1 : σ_AB² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet de l’interaction entre les facteurs A et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réali-sation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I −1)(J −1) et IJ(K −1) degrés de liberté.

Les estimateursµ,_b α_c1, . . . ,α_cI, σ^c2_B,σ^d_AB² , σ^c2 des paramètres µ, α₁, . . . ,α_I,σ_B²,σ_AB² ,σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y•,• =Y , _cα_i =Yi,•−µ,_b 16i6I, σc²_B = 1

IK

S_B² −S_R² σd²_AB = 1

K

S_AB² −S_R² σc² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², oùS_B² = SCB

n_B , S_AB² = SCAB

n_AB et S_R² = SCR

n_R . Ce sont des estimateurs sans biais⁶.

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),b αc₁(y), . . . , αc_I(y), σc²_B(y),σ^d2_AB(y),σ^c2(y), des paramètres µ, α₁, . . . ,α_I,σ_B²,σ_AB² ,σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,• =y, cαi(y) = yi,•−µ(y),b 16i6I, σc²_B(y) = 1

IK

s²_B−s²_R σd²_AB(y) = 1

K

s²_AB−s²_R σc²(y) = sc_R

(I −1)(J−1) =s²_R.

6. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 39

Chapitre 4

Analyse de la variance à deux facteurs emboîtés

Dans tout ce chapitre, nous utilisons les notations définies à la section .

Nous sommes dans la situation particulière où les effets des niveaux du facteur B n’ont pas de signification concrète, par exemple ces niveaux dépendent du niveau du facteur A considéré et une étude des effets principaux du facteur B n’a pas de pertinence.

Nous ne pouvons nous servir d’un modèle où les facteurs sont emboîtés¹, que si nous disposons de répétitions. Dans le cas contraire où les essais ne seraient pas répétés, l’effet dû au facteurB ne pourra être étudié et le modèle que nous devrons utiliser pour analyser les données sera l’un de ceux exposés au chapitre 2.

Ainsi par exemple un fabriquant de détergents alimente plusieurs chaînes de distribu-tion : A₁, A₂, . . . , A_I. Nous pensons que les boîtes de produit livrées à certaines chaînes de distribution contiennent une masse de détergent inférieure à celle des autres chaînes de distribution. Pour étudier cette situation, nous décidons de prélever K boîtes dans J magasins de chaque chaîne. Ainsi le second facteur B_j, associé au j−ème magasin dans la chaîne, est un repère qui n’a aucune signification réelle : il n’y a, par exemple aucune relation entre le magasin n^o3 de la chaîne 1 et le magasin n^o3 de la chaîne 4. Il n’y a donc aucun intérêt à introduire un terme dans le modèle caractérisant l’effet principal du facteurB. Pour indiquer la dépendance des niveaux du second facteurB aux niveaux du premier facteur A nous notons les niveaux du second facteur B : B_j(i), 1 6 i 6 I et 16j 6J.

1. Ces types de modèles sont également appelés des modèles hiérarchiques ou en anglaishierarchical ounested models.

4.1. Modèles à effets fixes

4.1.1. Avec répétitions

Un facteur contrôlé A se présente sousI modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Un facteur contrôlé B se présente sous J modalités, chacune d’entre elles dépendant du niveau A_i du facteur A et étant alors notée B_j(i). Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j(i)) nous effectuons K >2 mesures d’une réponse Y qui est une variable continue.

Nous notons n =I×J ×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j(i)+_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k = 1. . . K, avec les contraintes supplémentaires

I

X

i=1

αi = 0,

J

X

j=1

β_j(i) = 0, ∀i∈ {1, . . . , I} oùY_i,j,k est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j(i)) lors duk−ème essai. Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous regroupons les valeurs que peut prendre la réponseY dans les conditions (A_i, B_j(i)) lors des K essais dans le tableau suivant :

A₁ . . . A_I

B₁₍₁₎ . . . B_J(1) . . . . . . . . . B_1(I) . . . B_J(I) Y1,1,1 . . . Y1,J,1 . . . . . . . . . YI,1,1 . . . YI,J,1

... ... ... . . . . . . . . . ... ... ... Y1,1,K . . . Y1,J,K . . . . . . . . . YI,1,K . . . YI,J,K

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur A est définie par : SC_A=J K

I

X

i=1

(Yi,•,• −Y•,•,•)².

La variation théorique du facteur B dans le facteur A est définie par : SCB|A =K

I

X

i=1 J

X

j=1

(Yi,j,•−Yi,•,•)².

4.1 Modèles à effets fixes

La variation résiduelle théorique est quant à elle définie par : SC_R= Enfin la variation totale théorique est égale à :

SC_{T OT} = Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SCB|A+SC_R.

La listey des données expérimentalesy_1,1,1, . . . , y_1,1,K, . . . , y_1,2,1, . . . , y_1,2,K, . . . , y_I,J,K per-met de construire une réalisation du tableau précédent :

A₁ . . . A_I

B₁₍₁₎ . . . B_J(1) . . . . . . . . . B_1(I) . . . B_J(I) y_1,1,1 . . . y_1,J,1 . . . . . . . . . y_I,1,1 . . . y_I,J,1

... ... ... . . . . . . . . . ... ... ... y_1,1,K . . . y_1,J,K . . . . . . . . . y_I,1,K . . . y_I,J,K

La variation due au facteurA observée sur la liste de données y est définie par : sc_A =J K

I

X

i=1

(yi,•,•−y•,•,•)².

La variation du facteurB dans le facteurA observée sur la liste de données y est définie par :

La variation résiduelle observée sur la liste de donnéesy est quant à elle définie par : sc_R=

Enfin la variation totale observée sur la liste de données y est égale à : sc_{T OT} =

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est évaluée sur la liste de donnéesy :

sc_{T OT} =sc_A+scB|A+sc_R.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 43

Nous reconnaissons parmi les quantités définies ci-dessus, des quantités similaires à celles, SC_A,SC_B,SC_AB,SC_R,SC_{T OT},sc_A,sc_B,sc_AB,sc_Retsc_{T OT} introduites à la section 3.1.2.

Nous remarquons également que les nouvelles quantités, SCB|A et scB|A, sont liées aux précédentes par les relations :

SCB|A=SC_B+SC_AB, sc_B|A=sc_B+sc_AB.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté

FacteurA n_A=I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) Résiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_R H⁰₀ ou H⁰₁

FacteurB dans A sc_B|A n_B|A s²_B|A= scB|A

nB|A

f_B|A= s²_B|A

s²_R H0⁰⁰ ou H⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H⁰0 :α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0

contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

4.2 Modèles à effets aléatoires

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I −1 et IJ(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH⁰0est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H0⁰⁰ :β₁₍₁₎=β₂₍₁₎=· · ·=β_J(1) =β₁₍₂₎=· · ·=β_J(I) = 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que β_j0(i0)6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH₀⁰⁰précédente d’absence d’effet des facteursB dans le facteurAet lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, fB|A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I(J −1) et IJ(K −1) degrés de liberté.

Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuilα du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Les estimateurs µ,_b α_c1, . . . , α_cI, β^d₁₍₁₎, β^d₂₍₁₎, . . ., β^d_J(1), β^d₁₍₂₎, . . ., β^d_J(I), σ^c2 des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, β₁₍₁₎, β₂₍₁₎, . . ., β_J(1), β₁₍₂₎, . . ., β_J(I), σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y•,•,• =Y , αci =Yi,•,•−µ,b 16i6I, βd_j(i) =Yi,j,• −Yi,•,•, 16i6I, 16j 6J, σc² = SC_R

IJ(K−1) =S_R². Ce sont des estimateurs sans biais².

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),b αc₁(y), . . . , αcI(y), βd₁₍₁₎(y),β^d₂₍₁₎(y),. . .,β^d_J(1)(y),β^d₁₍₂₎(y),. . .,β^d_J(I)(y),σ^c2(y), des paramètresµ,α₁, . . . ,α_I, β₁₍₁₎, β₂₍₁₎, . . ., β_J(1), β₁₍₂₎, . . ., β_J(I), σ² du modèle se déduisent des formules suivantes :

µ(y) =b y•,•,• =y, cαi(y) = yi,•,•−µ(y),b 16i6I, βd_j(i)(y) = yi,j,•−yi,•,•, 16i6I, 16j 6J, σc²(y) = sc_R

IJ(K−1) =s²_R.

4.2. Modèles à effets aléatoires

4.2.1. Avec répétitions

Un facteur contrôléA se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Les β_j(i) représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante

2. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 45

dépendant du niveau A_i du facteur A. Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribués suivant une loi normale centrée de varianceσ_B|A² . Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j(i)) nous effectuons K > 2 mesures d’une réponse Y qui est une va-riable continue. Nous notonsn=I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j(i)+_i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K

oùY_i,j,k est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j(i)) lors duk−ème essai. Nous supposons que

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀ i,16i6I,

Lβ_j(i)=N(0, σ²_B|A), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

Cov(α_i, α_j) = 0 si i6=j et 16i, j 6I,

Cov(β_j(i), β_l(k)) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k 6I et 16j, l6J, Cov(α_i, β_k(j)) = 0 si 16i, j 6I et 16k 6J.

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

Cov(α_i, _j,k,l) = 0 si 16i, j 6I,16k6J, et 1 6l6K, Cov(β_j(i), k,l,m) = 0 si 16i, k 6I,16j, l6J, et 16m6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous utilisons les quantités SC_A, SCB|A, SC_R, SC_{T OT}, sc_A, scB|A, sc_R et sc_{T OT} intro-duites à la section 4.1.1.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SCB|A+SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté

FacteurA n_A=I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) Résiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

4.2 Modèles à effets aléatoires

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

Facteur A sc_A n_A s²_A = sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_B|A H⁰0 ouH⁰1

Facteur B dans A scB|A nB|A s²_B|A = scB|A

n_B|A fB|A= s²_B|A

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R = sc_R

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H0⁰ : σ_A² = 0

contre H⁰1 : σ²_A6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I−1 et I(J−1) degrés de liberté.

H⁰⁰0 : σ_B|A² = 0 contre H⁰⁰1 :σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteurB dans le facteurA et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, fB|A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I(J−1) et IJ(K−1) degrés de liberté.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 47

Les estimateurs µ,_b σ^c2_A, σ^d_B|A² , σ^c2 des paramètres µ, σ²_A, σ²_B|A, σ² du modèle se déduisent des formules suivantes :

µb =Y•,•,• =Y , σ^c_A² = 1 J K

S_A² −S_B|A² , σd²_B|A= 1

K

S_B|A² −S_R², σc² = SC_R

(I−1)(J−1) =S_R², oùS_A² = SC_A

n_A , S_B|A² = SC_B|A nB|A

et S_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais³.

Les estimations, obtenues pour la liste de donnéesyet notéesµ(y),b σ^c_A²(y),σ^d2_B|A(y),σ^c2(y), des paramètres µ,σ_A²,σ_B|A² , σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,• =y, σ^c_A²(y) = 1 J K

s²_A−s²_B|A, σd_B|A² (y) = 1

K

s²_B|A−s²_R, σc²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

4.3. Modèles à effets mixtes

Pour le plupart des auteurs d’ouvrages sur l’analyse de la variance, voir [Dag98b] à ce sujet par exemple, un facteur emboîté dans un facteur aléatoire doit être considéré comme aléatoire⁴. Ainsi le seul modèle mixte possible est le cas où le facteurAest fixe et le facteur que nous emboîtons dans A, le facteur B, est aléatoire.

4.3.1. Avec répétitions

Un facteur contrôlé A se présente sousI modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Les β_j représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribués suivant une loi normale centrée de varianceσ²_B|A. Pour chacun des couples de modalités (A_i, Bj(i)) nous effectuons K >2 mesures d’une réponseY qui est une variable continue. Nous notonsn=I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j(i)+_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k = 1. . . K, avec les contraintes supplémentaires

I

X

i=1

α_i = 0,

3. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

4. Il existe néanmoins certains cas où nous pouvons utiliser un modèle mixte où le facteur emboîté est à effets fixes tandis que le facteur dans lequel il est emboîté est à effets aléatoires.

4.3 Modèles à effets mixtes

oùY_i,j,k est la valeur prise par la réponseY dans les conditions (A_i, B_j(i)) lors du k−ème essai. Nous supposons que

Lβj(i)

=N(0, σ_B|A² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

Cov(β_j(i), β_l(k)) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k 6I et 16j, l6J.

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀(i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

Cov(β_j(i), k,l,m) = 0 si 16i, k 6I,16j, l 6J, et 16m 6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous utilisons les quantités SC_A, SCB|A, SC_R, SC_{T OT}, sc_A, scB|A, sc_R et sc_{T OT} intro-duites à la section 4.1.1.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B|A+SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté

Facteur A n_A =I−1

Facteur B dans A nB|A=I(J−1) Résiduelle n_R=IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 49

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A = s²_A

s²_B|A H⁰0 ou H⁰1

FacteurB dans A scB|A nB|A s²_B|A= scB|A

nB|A

fB|A= s²_B|A

s²_R H0⁰⁰ ou H⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants :

H⁰0 :α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰₁ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I −1 et I(J −1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH₀⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰0 :σ_B|A² = 0 contre H⁰⁰1 : σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H₀⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées,fB|A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I(J −1) et IJ(K−1) degrés de liberté.

4.3 Modèles à effets mixtes

Les estimateursµ,_b α_c1, . . . , α_cI,σ^d_B|A² ,σ^c2 des paramètresµ,α₁, . . . , α_I,σ²_B|A,σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y_•,•,• =Y , _cα_i =Y_i,•,• −µ,_b 16i6I, σd_B|A² = 1

K

S_B|A² −S_R², σc² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², oùS_B|A² = SCB|A

nB|A

et S_R² = SC_R nR

. Ce sont des estimateurs sans biais⁵.

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),_b α_c1(y), . . . , α_cI(y), σd²_B|A(y),σ^c2(y), des paramètresµ,α₁, . . . ,α_I,σ_B|A² ,σ²du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,• =y, _cα_i(y) = yi,•,•−µ(y),_b 16i6I, σd²_B|A(y) = 1

K

s²_B|A−s²_R, σc²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

5. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 51

Chapitre 5

Analyse de la variance à trois facteurs

Dans tout ce chapitre, nous utilisons les notations définies à la section .

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