Modèles à effets fixes

5.1.1. Sans répétition

Un facteur contrôléA se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Un facteur contrôléB se présente sous J modalités, chacune d’entre elles étant notée B_j. Un facteur contrôlé C se présente sous K modalités, chacune d’entre elles étant notée C_k. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j, C_k) nous effectuons une mesure d’une réponse Y qui est une variable continue. Nous notons n =I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j +γ_k+ (αβ)_i,j+ (αγ)_i,k + (βγ)_j,k+_i,j,k, les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²),

Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec 16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous regroupons les valeurs que peut prendre la réponseY dans les conditions (A_i, B_j, C_k) dans le tableau suivant :

Facteur A FacteurB Facteur C Réponse Y

A₁ B₁ C₁ Y_1,1,1

... ... ... ...

A_I B₁ C₁ Y_I,1,1

A₁ B₂ C₁ Y_1,2,1

... ... ... ...

A_I B_J C₁ Y_I,J,1

... ... ... ...

A₁ B₁ C₂ Y_1,1,2

... ... ... ...

A_I B_J C_K Y_I,J,K

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur A est définie par : SC_A=J K

I

X

i=1

(Yi,•,• −Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur B est définie par : SC_B =IK

J

X

j=1

(Y•,j,•−Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur C est définie par : SC_C =IJ

K

X

k=1

(Y•,•,k−Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs A et B est définie par :

SCAB =K

I

X

i=1 J

X

j=1

(Y_i,j,•−Yi,•,• −Y•,j,•+Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs B et C est définie par :

SC_BC =I

J

X

j=1 K

X

k=1

(Y•,j,k−Y•,j,•−Y•,•,k+Y•,•,•)².

5.1 Modèles à effets fixes

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs A et C est définie par : La variation résiduelle théorique est quant à elle définie par :

SC_R= Enfin la variation totale théorique est égale à :

SC_{T OT} = Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_C +SC_AB +SC_AC+SC_BC +SC_R.

La listeydes données expérimentales y_1,1,1, . . . , y_I,1,1, y_1,2,1, . . . , y_I,J,1, y_1,1,2, . . . , y_I,J,K per-met de construire une réalisation du tableau précédent :

Facteur A Facteur B FacteurC Réponse Y

A₁ B₁ C₁ y_1,1,1

La variation due au facteurA observée sur la liste de données y est définie par : scA =J K

I

X

i=1

(y_i,•,•−y•,•,•)².

La variation due au facteurB observée sur la liste de données y est définie par : sc_B =IK

J

X

j=1

(y•,j,•−y•,•,•)².

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 55

La variation due au facteur C observée sur la liste de données y est définie par :

La variation due à l’interaction des facteursA etB observée sur la liste de donnéesy est définie par :

La variation due à l’interaction des facteurs B etC observée sur la liste de donnéesy est définie par :

La variation due à l’interaction des facteursA etC observée sur la liste de donnéesy est définie par :

La variation résiduelle observée sur la liste de données y est quant à elle définie par : sc_R = Enfin la variation totale observée sur la liste de données y est égale à :

sc_{T OT} =

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est évaluée sur la liste de donnéesy :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB+sc_AC+sc_BC +sc_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

5.1 Modèles à effets fixes

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

nA

f_A= s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Facteur C sc_C n_C s²_C = sc_C

n_C f_C = s²_C

s²_R H0⁰⁰⁰ ouH⁰⁰⁰1

Interaction AB sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H⁽⁴⁾0 ouH⁽⁴⁾1

Interaction AC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC

n_AC f_AC = s²_AC

s²_R H⁽⁵⁾0 ouH⁽⁵⁾1

Interaction BC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC

n_BC f_BC = s²_BC

s²_R H⁽⁶⁾0 ouH⁽⁶⁾1

Résiduelle scR nR s²_R = sc_R n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H0⁰ : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0

contre

H1⁰ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 57

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I − 1 et (I − 1)(J − 1)(K −1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur cri-tique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H⁰0 est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰0 : β₁ =β₂ =· · ·=β_J = 0 contre

H⁰⁰₁ : Il existe j₀ ∈ {1,2, . . . , J} tel que β_j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J − 1 et (I − 1)(J − 1)(K − 1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_B est supérieure ou égale à la valeur cri-tique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H₀⁰⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰⁰0 : γ₁ =γ₂ =· · ·=γ_K = 0 contre

H₁⁰⁰⁰ : Il existe k₀ ∈ {1,2, . . . , K} tel que γ_k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H0⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteur C et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_C est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à K − 1 et (I −1)(J −1)(K − 1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_C est supérieure ou égale à la valeur cri-tique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H0⁰⁰⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H0⁽⁴⁾ : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H⁽⁴⁾1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i0,j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁴⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, fAB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fAB est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

5.1 Modèles à effets fixes

H⁽⁵⁾0 : (αγ)1,1 = (αγ)1,2 =· · ·= (αγ)1,K = (αγ)2,1 =· · ·= (αγ)I,K = 0 contre

H⁽⁵⁾1 : Il existe (i0, k0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , K}tel que (αγ)i0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁵⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteurs Aet C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(K−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H0⁽⁶⁾ : (βγ)_1,1 = (βγ)_1,2 =· · ·= (βγ)_1,K = (βγ)_2,1 =· · ·= (βγ)_J,K = 0 contre

H⁽⁶⁾1 : Il existe (j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} tel que (βγ)_j0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁶⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteurs B et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_BC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (J−1)(K−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_BC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Les estimateursµ,_b α_c1, . . . , α_cI, β^c₁, . . . , β^c_J, γ_c1, . . . , γ_cK, (αβ)\_1,1, . . . , (αβ)\_I,J, (αγ)\_1,1, . . . , (αγ\)_I,K, (βγ)\_1,1, . . . , (βγ)\_J,K, σ^c2 des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, β₁, . . . , β_J, γ₁, . . . , γ_K, (αβ)_1,1, . . . , (αβ)_I,J, (αγ)_1,1, . . . , (αγ)_I,K, (βγ)_1,1, . . . , (βγ)_J,K,σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y•,•,• =Y ,

cα_i =Yi,•,•−µ,_b 16i6I, βc_j =Y•,j,•−µ,_b 16j 6J, γc_k =Y_•,•,k−µ,_b 16k6K,

(αβ)\_i,j =Yi,j,• −Yi,•,•−Y•,j,•+µ,_b 16i6I, 16j 6J, (αγ)\_i,k =Yi,•,k −Yi,•,• −Y•,•,k+µ,_b 16i6I, 16k 6K, (βγ)\_j,k =Y•,j,k−Y•,j,• −Y•,•,k+µ,_b 16j 6J, 16k6K, σc² = SC_R

(I−1)(J −1)(K−1) =S_R². Ce sont des estimateurs sans biais¹.

1. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 59

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),_b α_c1(y), . . . , α_cI(y),

Un facteur contrôlé A se présente sousI modalités, chacune d’entre elles étant notée Ai. Un facteur contrôlé B se présente sous J modalités, chacune d’entre elles étant notée B_j. Un facteur contrôlé C se présente sousK modalités, chacune d’entre elles étant notéeC_k. Pour chacun des couples de modalités (A_i, Bj, Ck) nous effectuons L > 2 mesures d’une réponse Y qui est une variable continue. Nous notonsn =I×J×K×Lle nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k,l=µ+α_i +β_j +γ_k+ (αβ)_i,j+ (αγ)_i,k+ (βγ)_j,k + (αβγ)_i,j,k+_i,j,k,l,

5.1 Modèles à effets fixes

K

X

k=1

(αβγ)_i,j,k = 0, ∀(i, j)∈ {1, . . . , I} × {1, . . . , J},

oùYi,j,k,lest la valeur prise par la réponseY dans les conditions (A_i, Bj, Ck) lors dul−ème essai. Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, 16l 6L, L(_i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 1 6l, p 6L.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous regroupons les valeurs que peut prendre la réponseY dans les conditions (A_i, B_j, C_k) lors desL essais dans le tableau suivant :

FacteurA Facteur B Facteur C Essai n^o Réponse Y

A₁ B₁ C₁ 1 Y_1,1,1,1

... ... ... ... ...

A₁ B₁ C₁ L Y_1,1,1,L

... ... ... ... ...

A_I B₁ C₁ 1 Y_I,1,1,1

... ... ... ... ...

A_I B₁ C₁ L Y_I,1,1,L

A₁ B₂ C₁ 1 Y_1,2,1,1

... ... ... ... ...

A_I B_J C₁ L Y_I,J,1,L

... ... ... ... ...

A₁ B₁ C₂ 1 Y_1,1,2,1

... ... ... ... ...

A_I B_J C_K L Y_I,J,K,L

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur A est définie par : SC_A =J KL

I

X

i=1

(Yi,•,•,•−Y•,•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur B est définie par : SC_B =IKL

J

X

j=1

(Y•,j,•,•−Y•,•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur C est définie par : SC_C =IJ L

K

X

k=1

(Y•,•,k,•−Y•,•,•,•)².

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 61

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs A et B est

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs B et C est définie par :

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs A et C est définie par :

La variation théorique due à l’interaction d’ordre 2 entre les facteursA,B etC est définie par :

La variation résiduelle théorique est quant à elle définie par :

SC_R=

Enfin la variation totale théorique est égale à :

SC_{T OT} =

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_C+SC_AB +SC_AC+SC_BC +SC_ABC+SC_R.

La listeydes données expérimentalesy1,1,1,1, . . . , y1,1,1,L, . . . , yI,1,1,1, . . . , yI,1,1,L, y1,2,1,1, . . . , y_I,J,1,L, y_1,1,2,1, . . . , y_I,J,K,L permet de construire une réalisation du tableau précédent :

5.1 Modèles à effets fixes

Facteur A Facteur B Facteur C Essai n^o Donnée expérimentale y

A₁ B₁ C₁ 1 y1,1,1,1

La variation due au facteurA observée sur la liste de données y est définie par : sc_A=J KL

I

X

i=1

(yi,•,•,•−y•,•,•,•)².

La variation due au facteurB observée sur la liste de données y est définie par : sc_B =IKL

J

X

j=1

(y•,j,•,• −y•,•,•,•)².

La variation due au facteurC observée sur la liste de données y est définie par : scC =IJ L

K

X

k=1

(y•,•,k,•−y•,•,•,•)².

La variation due à l’interaction des facteursAet B observée sur la liste de données yest définie par :

La variation due à l’interaction des facteursB etC observée sur la liste de donnéesyest définie par :

La variation due à l’interaction des facteursA etC observée sur la liste de données yest définie par :

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 63

La variation due à l’interaction d’ordre 2 entre les facteursA,B etC observée sur la liste de données y est définie par :

sc_ABC =L

La variation résiduelle observée sur la liste de données y est quant à elle définie par :

sc_R =

Enfin la variation totale observée sur la liste de données y est égale à :

scT OT =

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est évaluée sur la liste de donnéesy :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB +sc_AC+sc_BC+sc_ABC+sc_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

5.1 Modèles à effets fixes

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A = s²_A

s²_R H⁰0 ouH1⁰

FacteurB sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

FacteurC sc_C n_C s²_C = sc_C

n_C f_C = s²_C

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

InteractionAB sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H⁽⁴⁾0 ouH1⁽⁴⁾

InteractionAC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC nAC

f_AC = s²_AC

s²_R H⁽⁵⁾0 ouH1⁽⁵⁾

InteractionBC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC nBC

f_BC = s²_BC

s²_R H⁽⁶⁾0 ouH1⁽⁶⁾

InteractionABC sc_ABC n_ABC s²_ABC = sc_ABC nABC

f_ABC = s²_ABC

s²_R H⁽⁷⁾0 ouH1⁽⁷⁾

Résiduelle sc_R n_R s²_R= scR

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H0⁰ : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0

contre

H1⁰ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 65

qui suit une loi de Fisher à I−1 et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH0⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰0 : β₁ =β₂ =· · ·=βJ = 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe j₀ ∈ {1,2, . . . , J} tel que β_j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_B est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH⁰⁰₀ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰⁰0 : γ₁ =γ₂ =· · ·=γ_K = 0 contre

H₁⁰⁰⁰ : Il existe k₀ ∈ {1,2, . . . , K} tel que γ_k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H0⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteur C et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_C est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àK−1 et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_C est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H⁰⁰⁰0 est rejetée, nous pouvons procéder à des comparai-sons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H0⁽⁴⁾ : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H⁽⁴⁾1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i0,j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁴⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, fAB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J −1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuilα du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fAB est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

5.1 Modèles à effets fixes

H⁽⁵⁾0 : (αγ)1,1 = (αγ)1,2 =· · ·= (αγ)1,K = (αγ)2,1 =· · ·= (αγ)I,K = 0 contre

H⁽⁵⁾1 : Il existe (i₀, k₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , K}tel que (αγ)_i0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁵⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteurs Aet C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuilα du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H0⁽⁶⁾ : (βγ)_1,1 = (βγ)_1,2 =· · ·= (βγ)_1,K = (βγ)_2,1 =· · ·= (βγ)_J,K = 0 contre

H⁽⁶⁾1 : Il existe (j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} tel que (βγ)_j0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁶⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteurs B et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_BC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (J−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeurf_BC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H0⁽⁷⁾ : (αβγ)_1,1,1 = (αβγ)_1,1,2 =· · ·= (αβγ)_1,1,K = (αβγ)_2,1,1 =· · ·= (αβγ)_I,J,K = 0 contre

H⁽⁷⁾1 : ∃(i₀, j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} | (αβγ)_i0,j0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H0⁽⁷⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction, d’ordre 3, des facteurs A, B etC et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_ABC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1)(K−1) etIJ K(L−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_ABC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Les estimateursµ,b αc₁, . . . , αc_I, β^c₁, . . . , β^c_J, γc₁, . . . , γc_K, (αβ)\_1,1, . . . , (αβ)\_I,J, (αγ)\_1,1, . . . , (αγ\)_I,K,(βγ)\_1,1, . . . ,(βγ)\_J,K,(αβγ\)_1,1,1, . . . ,(αβγ\)_I,J,K,σ^c2 des paramètres µ,α₁, . . . , α_I, β₁, . . . , β_J, γ₁, . . . , γ_K, (αβ)_1,1, . . . , (αβ)_I,J, (αγ)_1,1, . . . , (αγ)_I,K, (βγ)_1,1, . . . , (βγ)_J,K,

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 67

(αβγ)_1,1,1, . . . , (αβγ)_I,J,K, σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes : µb=Y•,•,•,• =Y ,

αc_i =Yi,•,•,•−µ,_b 16i6I, βc_j =Y•,j,•,•−µ,_b 16j 6J, γc_k =Y•,•,k,•−µ,_b 16k6K,

(αβ)\_i,j =Yi,j,•,•−Yi,•,•,•−Y•,j,•,•+µ,_b 16i6I, 16j 6J, (αγ)\_i,k =Yi,•,k,• −Yi,•,•,•−Y•,•,k,•+µ,_b 16i6I, 16k 6K, (βγ)\_j,k =Y•,j,k,•−Y•,j,•,•−Y•,•,k,•+µ,_b 16j 6J, 16k 6K,

(αβγ)\_i,j,k =Yi,j,k,•−Yi,j,•,•−Yi,•,k,•−Y•,j,k,•+Yi,•,•,• +Y•,j,•,•+Y•,•,k,•−µ,_b 16i6I, 16j 6J, 16k 6K,

σc² = SC_R

IJ K(L−1) =S_R². Ce sont des estimateurs sans biais².

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),b αc₁(y), . . . , αc_I(y), βc₁(y), . . . ,β^c_J(y),γc₁(y), . . . ,γc_K(y),(αβ\)_1,1(y), . . . ,(αβ)\_I,J(y),(αγ\)_1,1(y), . . . ,(αγ\)_I,K(y), (βγ)\_1,1(y), . . . , (βγ)\_J,K(y),(αβγ)\_1,1,1(y), . . . , (αβγ\)_I,J,K(y),σ^c2(y) des paramètresµ,α₁, . . . , α_I, β₁, . . . , β_J, γ₁, . . . , γ_K, (αβ)_1,1, . . . , (αβ)_I,J, (αγ)_1,1, . . . , (αγ)_I,K, (βγ)_1,1, . . . , (βγ)J,K, (αβγ)1,1,1, . . . , (αβγ)I,J,K, σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,•,• =y,

cα_i(y) =yi,•,•,•−µ(y),_b 16i6I,

cβ_j(y) = y_{•,j,•,•}−µ(y),_b 16j 6J, γck(y) =y•,•,k,•−µ(y),b 16k6K,

(αβ)\_i,j(y) =y_i,j,•,• −y_{i,•,•,•}−y_{•,j,•,•}+µ(y),_b 16i6I, 16j 6J, (αγ)\_i,k(y) = y_i,•,k,•−y_{i,•,•,•}−y_{•,•,k,•}+µ(y),_b 16i6I, 16k6K, (βγ)\_j,k(y) =y_•,j,k,•−y_{•,j,•,•}−y_{•,•,k,•}+µ(y),_b 16j 6J, 16k 6K,

(αβγ)\_i,j,k(y) =yi,j,k,•−yi,j,•,•−yi,•,k,•−y•,j,k,•+yi,•,•,•+y•,j,•,•+y•,•,k,•−µ(y),_b 16i6I, 16j 6J, 16k6K,

σc²(y) = scR

IJ K(L−1) =s²_R.

5.2. Modèles à effets aléatoires

5.2.1. Sans répétition

Les α_i représentent un échantillon de taille I prélevé dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des Ai, les αi, sont distribués suivant une loi normale

2. La notion de biais d’un estimateur est définie dans le chapitre 15.

5.2 Modèles à effets aléatoires

centrée de variance σ_A². Les β_j représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribués sui-vant une loi normale centrée de varianceσ_B². Les γ_k représentent un échantillon de taille K prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets desC_k, lesγ_k, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ_C². Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j, C_k) nous effectuons une mesure d’une réponseY qui est une variable continue. Nous notons n=I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j +γ_k+ (αβ)_i,j+ (αγ)_i,k + (βγ)_j,k+_i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K,

oùY_i,j,k est la valeur prise par la réponseY dans les conditions (A_i, B_j, C_k). Nous suppo-sons que :

L(α_i) = N(0, σ_A²), ∀ i,16i6I, L(β_j) =N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J, L(γ_k) = N(0, σ_C²), ∀k,16k6K,

L((αβ)_i,j) = N(0, σ_AB² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L((αγ)_i,k) =N(0, σ_AC² ), ∀ (i, k),16i6I, 16k 6K, L((βγ)_j,k) = N(0, σ²_BC), ∀ (j, k),16j 6J, 16k 6K,

ainsi que l’indépendance des effets aléatoires α_i, β_j, γ_k, (αβ)_i,j, (αγ)_i,k et (βγ)_j,k. Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²),

Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec 16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires α_i, β_j, γ_k, (αβ)_i,j, (αγ)_i,k et (βγ)_j,k et des erreurs_i,j,k.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un paragraphe du chapitre 14.

Nous utilisons les quantitéssc_A,sc_B,sc_C,sc_AB,sc_AC,sc_BC,sc_R etsc_{T OT} introduites à la section 5.1.1.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB+sc_AC +sc_BC +sc_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 69

Source Degrés de liberté

Facteur A nA=I−1

Facteur B n_B =J−1

Facteur C n_C =K −1

Interaction AB n_AB = (I−1)(J −1) Interaction AC n_AC = (I −1)(K−1) Interaction BC n_BC = (J−1)(K −1) Résiduelle n_R= (I−1)(J−1)(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

Facteur A scA nA s²_A = sc_A

n_A fA= s²_A

s²_AB+s²_AC−s²_R H⁰0 ouH⁰1

Facteur B scB nB s²_B = sc_B

n_B fB = s²_B

s²_AB+s²_BC −s²_R H0⁰⁰ ouH⁰⁰1

Facteur C sc_C n_C s²_C = sc_C

n_C f_C = s²_C

s²_AC+s²_BC −s²_R H⁰⁰⁰0 ouH⁰⁰⁰1

Interaction AB sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H⁽⁴⁾0 ouH⁽⁴⁾1

Interaction AC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC

n_AC f_AC = s²_AC

s²_R H⁽⁵⁾0 ouH⁽⁵⁾1

Interaction BC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC

n_BC f_BC = s²_BC

s²_R H⁽⁶⁾0 ouH⁽⁶⁾1

Résiduelle sc_R n_R s²_R = sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

5.2 Modèles à effets aléatoires

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H₀⁰ : σ_A² = 0

contre H⁰1 : σ²_A6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fA est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit approximativement³ une loi de Fisher à I−1 et n⁰ degrés de liberté avec :

n⁰ = (s²_AB+s²_AC−s²_R)²

s²_AB² (I−1)(J −1)+

s²_AC²

(I−1)(K−1)+

s²_R²

(I−1)(J−1)(K−1) .

Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁰⁰0 :σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 : σ_B² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit approximativement⁵ une loi de Fisher à J−1 et n⁰⁰ degrés de liberté avec :

n⁰⁰ = (s²_AB +s²_BC −s²_R)²

s²_AB²

(I−1)(J−1) +

s²_BC²

(J−1)(K−1)+

s²_R²

(I−1)(J−1)(K−1) .

Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_B est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁰⁰⁰0 : σ_C² = 0 contre H⁰⁰⁰1 : σ²_C 6= 0.

3. Nous utilisons ici l’approximation dite de Satterthwaite.

Frédéric Bertrand et Myriam Maumy 71

Sous l’hypothèse nulle H0⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteur C et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_C est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit approximativement⁵ une loi de Fisher à K−1 et n⁰⁰⁰ degrés de liberté avec :

n⁰⁰⁰ = (s²_AC +s²_BC −s²_R)²

s²_AC²

(I−1)(K−1)+

s²_BC²

(J −1)(K−1) +

s²_R²

(I−1)(J −1)(K−1) .

Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_C est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁽⁴⁾0 : σ²_AB = 0 contre H1⁽⁴⁾ : σ_AB² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁴⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AB est supérieure

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁴⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AB est supérieure

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