Modèles classiques

Les modèles classiques, ou élémentaires (Borsotto, 2009), sont une sous-catégorie des modèles statiques. Ils peuvent être vus comme les modèles de frottement les plus simples. De tels modèles sont généralement utilisés afin de régénérer la courbe (f-v). Ils peuvent comprendre une ou plusieurs équations, où chacune de ces équations est utilisée pour reproduire l’une des caractéristiques statiques de frottement. La Fig. 1.9 illustre certains exemples des modèles classiques, introduits dans la suite de cette section.

1.4.1.1.1 Modèle de Coulomb

La courbe (f-v), relative au modèle de Coulomb, est donnée par la Fig. 1.9(a). Coulomb a étudié le frottement dans des systèmes non lubrifiés, concluant ainsi que : le frottement est la force résistive au glissement, et qu’il est indépendant à la fois de la vitesse de glissement et de la surface de contact. Communément, le modèle de Coulomb est donnée comme suit2:

T_f = Tcsign( ˙θ) (1.3)

avec, T_f, T_c, ˙θ et sign(.) sont respectivement le frottement, le frottement de Coulomb, la

vitesse de glissement, et la fonction mathématique signe (signum).

Dans la littérature, plusieurs appellations sont attribuées au frottement de Coulomb, telles que : la force de Coulomb, le frottement dynamique, le frottement de glissement, le frottement cinétique, etc. (Olsso, 1996). Le frottement de Coulomb représente le phéno-mène de frottement par une valeur constante pour toutes les vitesses de glissement. Ainsi, il ne considère aucune autre caractéristique de frottement. Certaines de ces caractéristiques peuvent être intégrées au modèle de Coulomb en introduisant quelques éléments mathé-matiques à l’Eq. (1.3). À titre d’exemple, l’Eq. (1.3) peut être modifiée de telle sorte que le frottement visqueux soit également pris en compte. Ainsi, le modèle de frottement de Coulomb+Visqueux peut être obtenu.

(a) (b)

(c) (d)

Figure1.9 – Modèles classiques : (a) Modèle de Coulomb, (b) Frottement visqueux ajouté, (c) Modèle SCV, (d) Modèle de Stribeck.

1.4.1.1.2 Modèle de Coulomb+Visqueux (CV)

Le frottement visqueux, ou le frottement de fluide, est la composante de frottement relative à la viscosité de lubrifiant. Ordinairement, le frottement visqueux est modélisé par une fonction linéaire de la vitesse de frottement. Ainsi, le modèle de frotement CV peut être reproduit via l’équation suivante :

T_f = σv˙θ |{z}

Tv

+Tcsign( ˙θ) (1.4)

avec, σ_v et T_v sont respectivement le coefficient de viscosité du lubrifiant et le frottement visqueux.

La Fig. 1.6(b) illustre la courbe (f-v), correspondante à l’Eq. (1.4). Notons que le frottement visqueux, pour certaines applications, peut être une fonction non linéaire de la vitesse. Par conséquent, une expression, plus générale, de frottement visqueux est proposée dans la littérature (Olsson et al., 1998; Canudas and Lischinsky, 1997) :

T_v= σ_{v| ˙θ|}δvsign( ˙θ) (1.5)

avec, δ_v est un coefficient de caractérisation, relative à la géométrie de l’application.

1.4.1.1.3 Modèle de Statique+Coulomb+Visqueux (SCV)

Le frottement statique joue un rôle primordial dans la modélisation et le contrôle des systèmes. Plusieurs phénomène, indésirables au bon fonctionnement des systèmes (ex :

stick-slip), sont relatifs à cette propriété (Dupont and Armstrong, 1993). Vu que le frotte-ment statique est la force resistive, en phase de collage, à la force extérieure, il est donc représenté par une fonction de la vitesse de glissement, ainsi que de la force extérieure. Par conséquent, le frottement, à une vitesse nulle, peut être reproduit comme suit :

T_f = (

T si ˙θ = 0 et |T | < Ts

T_ssign(T ) si ˙θ = 0 et |T | ≥ Ts (1.6) avec, Ts et T sont respectivement le frottement statique et la force (couple) extérieure.

Le modèle SCV est illustré par la Fig. 1.9(c). Une telle courbe est ainsi reproduite en utilisant deux equations : la première permet de prédire la valeur du frottement statique (vitesse nulle), tandis que la deuxième est utilisée pour quantifier la valeur du frottement dynamique (vitesses non nulles). Par conséquent, le modèle SCV peut être donné comme suit :

T_f = (

sign(T )min(|T |,Ts) si ˙θ = 0

T_csign( ˙θ) + σ_v˙θ _{si ˙θ 6= 0} ^(1.7) Notons que la première équations de (1.7) est identique à l’Eq. (1.6). Elle utilise la fonction minimum (min(.)) afin de réduire l’Eq. (1.6) à une seule équation (i.e. la première équation de (1.7)).

1.4.1.1.4 Modèle de Stribeck

Bien que le modèle SCV est apte à reproduire certaines caractéristiques du frottement, il est inefficace à reproduire le frottement à des vitesses faibles. En fait, le modèle SCV (pa-reillement pour les deux premiers modèles) régénère le frottement par des termes linéaires ou constants de la vitesses de glissement. Cependant, il a été observé, particulièrement dans des systèmes lubrifiés, que le frottement est une fonction non linéaire de la vitesse (Fuller, 1984). À des vitesses faibles (régime II-III de la Fig. 1.2), le niveau de frottement baisse continûment lorsque la vitesse de glissement augmente (l’effet de Stribeck (Jacobson, 2003; Stribeck, 1902a,b,c)). Ainsi, la discontinuité, reproduite par le modèle SCV lors de la transition entre la phase de collage et celle de glissement, n’a aucune explication physique. Afin de contourner ce problème, le modèle de Stribeck peut être utilisé :

T_f = T_c+ (T_{s− Tc})e^−|θs^θ˙^˙ |δ

+ σ_v˙θ (1.8)

avec ˙θs et δ sont respectivement la vitesse de Stribeck et un paramètre de réglage.

La courbe (f-v) dépend de plusieurs facteurs, tels que : la température, le lubrifiant, etc. Ainsi, l’Eq. (1.8) n’est pas généralisable à toutes les applications. D’autres caractérisations de la courbe de Stribeck sont proposées dans la littérature. Certains exemples sont données dans le Tab. 1.1.

Les modèles classiques représentent un inconvénient majeur résidant dans la disconti-nuité autour de la vitesse nulle. Cela peut conduire à des problèmes de calcul et peut affecter les résultats de simulation. Dans le but de surmonter ce problème, quelques solutions one été proposées dans la littérature. Certains chercheurs ont proposé d’utiliser une droite,

(a) relation (f-v) (b) schéma bloc

Figure1.10 – Modèle de Karnopp.

dont la valeur de la pente est très grande, pour modéliser la force de frottement autour de la vitesse nulle (Tjahjowidodo et al., 2005). Dans d’autres travaux, la fonction tangente hyperbolique (Tanh) a été utilisée pour reproduire le modèle de Coulomb (Threlfall, 1978). Une autre solution est proposée par le modèle de Karnopp.