Actionneurs électromécaniques
2.4 Procédures d’identification
2.4.1 Identification d’actionneurs à base de MCC
Prenant en compte l’hypothèse ci-dessus, le simulateur de l’actionneur SAIA-Burgess peut être schématisé par la Fig. 2.5(a). Ce simulateur reproduit la dynamique décrite par les Eqs. (2.5)-(2.6). Quant au frottement, il sera modélisé par le modèle de LuGre. Les paramètres caractérisant le comportement de l’actionneur ainsi que la dynamique du frottement peuvent être estimés via la méthode suivante.
(a) Modèle complet.
(b) Modèle linéaire.
Figure2.5 – Simulateur de SAIA-Burgess.
2.4.1.1 Méthode M1
2.4.1.1.1 Identification de la résistance R et du coefficient K
Ces deux paramètres peuvent être estimés en boucle ouverte. Le test consiste à prélever, à plusieurs tensions, la valeur du courant ainsi que celle du couple en bloquant manuelle-ment la rotation de l’arbre de sortie. Ainsi, la carte courant-tension peut être construite via un ampèremètre. Tandis que, la courbe tension-couple peut être obtenue grâce à un couple-mètre. Celui-ci est placé entre l’actionneur SAIA-Burgess et un capteur incrémen-tal. En fixant l’arbre liant le couple-mètre au capteur incrémental, la valeur du couple du moteur est donc mesurée en fonction de la déformation de l’arbre de sortie.
La Fig. 2.6 illustre les résultats obtenus. La relation courant-tension est donnée par la courbe supérieure, tandis que la courbe inférieure schématise la carte courant-couple. Les cercles noirs correspondent aux données expérimentales. Alors que, la ligne rouge discon-tinue présente les résultats de simulation des équations suivantes :
U = RI (2.9)
Figure 2.6 – Estimation de R et de K.
Ainsi, R et K peuvent être estimés en résolvant les fonctions suivantes : min ˆ R n X i=1 (U(i) − ˆU (i))2 (2.11) min ˆ K n X i=1 (T (i) − ˆT (i))2 (2.12)
Avec ˆR et ˆK sont respectivement les estimées de R et de K. Tandis que, n est le nombre
des données expérimentales.
2.4.1.1.2 Identification des caractéristiques statiques de frottement
Les coefficients statiques de frottement (Ts, Tc, ˙θset β) peuvent être estimés en construi-sant la carte vitesse-frottement. Cet objectif peut être atteint via deux tests : un test en boucle ouverte permettant l’identification de la valeur du frottement sec, et un autre en boucle fermée conduisant à évaluer la valeur de la force de frottement à plusieurs vitesses. Dans cette étude, le régulateur classique PI est utilisé pour réaliser le test en boucle fermée. Tandis que le test en boucle ouverte est accompli en utilisant la technique donnée dans (Armstrong and Canudas, 1996).
La Fig. 2.7 présente ainsi les résultats obtenus. En fait, elle illustre les données ex-périmentales en cercles noirs et ceux de simulation en ligne rouge discontinue. La courbe supérieure caractérise la relation vitesse-tension d’entrée. Cette carte est très utile pour analyser le comportement d’un tel actionneur. Elle permet de distinguer entre l’intervalle des vitesses dans lequel la dynamique est non linéaire (à des vitesses faibles, le phénomène de Stribeck peut introduire des non-linéarités sur la dynamique de l’actionneur), et celui où elle sera linéaire (à des vitesses de rotation importantes, la dynamique de l’actionneur peut être linéaire en ne considérant que le frottement visqueux). En outre, elle permet également d’identifier toutes sortes d’anomalies pouvant être observées sur la dynamique du système (Papadopoulos and Chasparis, 2004). Ainsi, toute irrégularité peut être incorporée dans
Figure 2.7 – Estimation des paramètres statiques de frottement.
le modèle total de frottement. Quant à la carte vitesse-frottement, elle est donnée par la courbe inférieure. Cette relation est dérivée de la première via l’équation suivante :
Tf∗( ˙θ) = g( ˙θ)sgn( ˙θ) + β ˙θ =KU ∗ f( ˙θ) − K2˙θ R (2.13) Avec, T∗ f( ˙θ) et U∗
f( ˙θ) représentent le frottement en régime statique, et la tension corres-pondante respectivement.
Vu que R et K sont estimés dans le test précédent, les coefficients statiques de frottement peuvent être donc obtenus en résolvant l’une des équations non linéaires suivantes :
min ˆ Ts, ˆTc,˙ˆθs, ˆβ n X i=1 (T∗ f( ˙θk) − ˆTf∗( ˙θk))2 (2.14) min ˆ Ts, ˆTc,˙ˆθs, ˆβ n X i=1 (U∗ f( ˙θk) − ˆUf∗( ˙θk))2 (2.15) 2.4.1.1.3 Identification de l’inertie
À des vitesses importantes, le comportement de cette classe de systèmes peut être considéré linéaire en ne modélisant que le frottement visqueux. Il peut donc être reproduit via le simulateur donné par la Fig. 2.5(b). Grâce à la carte vitesse-tension, une réponse indicielle du système est acquise dans la zone de fonctionnement linéaire. Ensuite, cette réponse est approchée par l’équation suivante :
˙θ(t) = VmG(1 − e−(t/τ )) (2.16) Avec G = K K2+ βR, τ = JR K2+ βR
˙θ(t) est l’évolution temporelle de la vitesse angulaire de l’axe de sortie. Tandis que Vm,
G et τ sont respectivement l’amplitude de l’échelon, le gain statique du système et sa
constante de temps.
Ainsi, l’équation suivante permet de déterminer la valeur de l’inertie : min ˆ G,ˆτ t1 X t=0 ( ˙θ(t) − ˙ˆθ(t))2 (2.17)
2.4.1.1.4 Identification des paramètres dynamiques de frottement
Afin d’estimer σ0 et σ1, la procédure, proposée dans (Canudas and Lischinsky, 1997), est utilisée. Premièrement, deux tests en boucle ouverte, permettant d’obtenir des valeurs initiales appropriées à l’estimation de ˆσ, sont réalisés. Subséquemment, ces valeurs, consi-dérées comme conditions initiales, sont utilisées avec le module d’optimisation de Simulink SDO (the Simulink Design Optimization) afin d’évaluer précisément les quantités ˆσ0,1.
Premièrement, une condition initiale de ˆσ0 peut être obtenue en excitant le système par un signal rampe d’une pente très petite. Dans ces conditions, (Canudas and Lischinsky, 1997) considère les simplifications suivantes :
g( ˙θ) ≈ Ts+ Tc, T ≈ Tf ≈ σ0z (2.18) Ainsi, la dynamique de z peut être évaluée comme suit :
dz
dt = ˙θ −T T
s+ Tc| ˙θ| (2.19)
Prenant T = ct, avec c est une petite constante positive, l’évolution temporelle de z, pour une condition initiale nulle (z(0) = 0), est reproduite par l’équation suivante :
z(t) = θ(t) − θ(0) +2(T c
s+ Tc)(θ(t)t + Z t
0
θ(τ )dτ ) (2.20) En calculant l’évolution de z sur un intervalle (0, t1), et en prenant en compte la proposition (2.18), la condition initiale de ˆσ0 peut être obtenue par :
ˆσ0=ZtT
ZtZ (2.21)
Avec, les vecteurs Z et Zt sont respectivement l’évolution de z et sa transposée.
Deuxièmement, une valeur initiale de ˆσ1 peut être déterminée via un essai indiciel. Dans ce test, un échelon d’une amplitude inférieure à celle du frottement sec Ts est utilisé. Ainsi, le système est en régime de collage ou de pré-glissement. Dans ces conditions, la vitesse angulaire ainsi que la variable z sont quasi-nulles ( ˙θ ≈ 0, z ≈ 0). Par conséquent, le modèle du système (Eqs. (2.5)-(2.6)) peut être réduit comme suit :
J ¨θ + (σ1+ β) ˙θ + σ0θ = T (2.22) En approximant la réponse indicielle acquise à l’Eq. (2.22), une estimation initiale de la variable ˆσ1 peut être donc obtenue.
(a) Modèle complet.
(b) Modèle linéaire.
Figure2.8 – Simulateur des actionneurs Bosch et Pierburg.
Finalement, ces conditions initiales sont utilisées pour obtenir des valeurs plus précises. Afin d’atteindre cet objectif, (Canudas and Lischinsky, 1997) a utilisé un signal sinusoïdal avec une amplitude légèrement supérieure au frottement sec. En fait, un tel signal de com-mande favorise le phénomène de stick-slip qui est très sensible à la valeur des paramètres dynamiques de frottement. Ces conditions conduisent en effet à estimer précisément les paramètres ˆσ0,1. Cette démarche est appliquée dans ce travail, et la fonction suivante est considérée : min ˆ σ0,ˆσ1 t1 X t=0 (θ(t) − ˆθ(t))2 (2.23)
Par la suite, cette quantité est minimisée via le module SDO permettant ainsi d’estimer ˆσ0,1.