D’autres modèles, non basés sur des sphères, ont été établis en 2D et en 3D.
Ainsi, Wang et al. [WKC99, KWC99] ont mis en place un modèle 2D de granulats, com- portant deux types de forme de granulats, selon que les granulats sont roulés ou concassés. Les granulats roulés sont modélisés par l’expression de leur rayon polaire comme une fonction harmonique de l’angle polaire, la phase de l’angle polaire étant alors générée aléatoirement. Le modèle de granulats concassés consiste à générer un polygone en générant chacune de ses faces de manière aléatoire. Le nombre de faces, la rayon et l’angle polaire sont des variables aléatoires. Le modèle de granulats concassés tient compte de l’allongement de ce type de granulats en allongeant le polygone, après génération. Enfin, la taille des granulats est adap- tée pour suivre une granulométrie donnée. Les granulats sont implantés sans recouvrement, en démarrant par les plus grandes tailles. De plus, une épaisseur minimale de mortier est imposée entre les granulats. Des microstructures comportant des fractions volumiques de granulats de 0.4 à 0.5 sont ainsi produites. Elles contiennent de plus une phase d’auréole de transition, et sont utilisés pour la localisation de contrainte (par éléments finis) sous l’hy- pothèse de propriétés non linéaires et de propriétés de fissuration, associée à un critère de rupture.
Le modèle 2D de Dequiedt et al. [DCCJ01] est obtenu à partir d’une tessellation de Vo- ronoï à laquelle est appliquée une érosion suivie d’une ouverture. Les paramètres du modèle, c’est-à-dire la densité de points de Poisson utilisée pour la tessellation et les tailles d’érosion et d’ouverture, sont adaptés pour ajuster le nombre de particules et fraction volumique à obtenir. Une troisième phase représentant les pores est modélisée par un modèle Booléen de sphères dont la distribution des diamètres suit une loi exponentielle ayant été ajustée sur des images de microstructures réelles. L’intersection entre les phases des pores et des granulats ainsi générées est supprimée de la phase des pores. Le modèle est validé par les covariances et les covariances croisées des différentes phases, mesurées sur des images segmentées de béton et sur les microstructures générées.
4.3. Autres modèles de béton
tailles différentes. Les types de granulats considérés en 2D sont des disques, des hexagones, des pentagones, des tétragones, et des polygones quelconques. Seul le modèle de sphère est utilisé en 3D. L’effet de la distribution et de la forme de granulats, de la fraction volumique, et de l’épaisseur de l’interface de transition sur la nucléation et la propagation de fissures est alors étudié.
He et al. [HGS+10] ont testé, en 3D, deux types de modèles de granulats (polyèdres et
ellipsoïdes) à l’aide des mesures de sphéricité et de surface spécifique mesurée en fonction du volume. Ces mesures sont réalisées sur des granulats réels (obtenus par tomographie), et sur des modèles. Différents types de polyèdres et d’ellipsoïdes sont ainsi testés. Il apparaît que les modèles ajustant le mieux les deux caractéristiques mesurées sont l’octaèdre (resp. l’ellipsoïde plat) pour les différents types de polyèdres (resp. ellipsoïdes) envisagés.
Häfner et al. [HELK06] ont quant à eux modélisé les granulats en 3D par des ellipsoïdes modifiées auxquelles sont sommés des fonctions surfaciques sinusoïdales. Leur modèle est utilisé pour des calculs en élasticité linéaire par méthode multigrille.
Caballero et al. [CLC06] ont développé un modèle 3D obtenu par génération d’une tes- sellation de Voronoï réalisée à partir d’une distribution de points BCC, suivie d’un rétrécis- sement et un déplacement des polyèdres. La microstructure ainsi générée est utilisée pour des simulations en traction simple, un interface de transition d’épaisseur 0 étant de plus modélisée. Ce modèle est aussi utilisée pour l’étude de l’influence de la mésostructure sur la rupture (voir Snozzi et al. [SCM11]).
De même que pour les microstructures de ciment, Garboczi [Gar02] a utilisé des tomo- graphies de béton pour en extraire les granulats et les modéliser par des fonctions sphériques harmoniques.
Enfin, des images de béton réel ont été utilisées par Nagai et al. [NYW98]. Ces images 3D sont reconstruites à partir d’images 2D et segmentées, afin d’utiliser la microstructure pour des calculs en élasticité linéaire et l’étude de la fissuration à l’interface granulats/matrice.
Chapitre
5
Polyèdres de Poisson
L’implémentation vectorielle d’un algorithme de génération de polyèdres de Poisson, réa- lisée au cours de la thèse, est présentée dans ce chapitre (voir Escoda et al. [EJW11]). L’im- plémentation vectorielle consiste à créer des polyèdres définis analytiquement, contrairement à l’implémentation Bitmap qui génère des images sur une grille de voxels. Les algorithmes ainsi obtenus permettent d’obtenir des polyèdres de manière plus rapide et avec un coût faible en terme de mémoire (mémoire vive lors de la génération, et occupation du disque dur pour le stockage). Enfin, un polyèdre produit de manière vectorielle peut être binarisé sur une grille de résolution arbitraire.
L’algorithme implémenté est ensuite validé à l’aide de mesures morphologiques. En effet, certaines caractéristiques morphologiques ont une expression théorique connue (voir Mathe- ron [Mat75]) pour les modèles basés sur les polyèdres de Poisson : notre implémentation est alors validée en comparant les expressions théoriques de ces mesures morphologiques et des mesures réalisées sur des simulations.
Une bibliothèque de polyèdres est alors créée par cet algorithme, et sera utilisée en cha- pitre 6 pour la simulation de microstructures de béton.
Cette implémentation a été développée en C++, la librairie Boost Random (voir Dem- ming et al. [DD10]) est utilisée pour la génération de variables aléatoires.
5.1
Définitions
Les polyèdres de Poisson sont définis dans cette section, dans le cas homogène et isotrope, sur l’espace Rnde dimension n. Le produit scalaire canonique et la norme canonique associée,
5.1.1
Processus de points de Poisson
Dans le cas homogène, le processus de points de Poisson, de densité θ ≥ 0, dans l’espace Rn de dimension n, est un processus de génération de points aléatoires tel que le nombre de
points N(K) contenus dans un compact K suit une loi de Poisson d’espérance N0 = θµn(K)
(avec µn la mesure de Lebesgue dans l’espace Rn) :
P {N(K) = k} = e−N0N0k
k! . (5.1)
Un processus de points de Poisson doit de plus respecter la propriété suivante : les nombres
N(Ki) sont des variables aléatoires indépendantes pour toute famille d’ensembles compacts
disjoints (Ki)i∈I, I ⊂ N.
Remarque : En pratique, pour les grandes valeurs de N0 (supérieures à 500), la loi de
Poisson est approximée par une loi Gaussienne de moyenne N0 et d’écart-type
√
N0. En
effet, pour les versions de la librairie Boost Random, utilisée pour la génération de variables aléatoires, antérieures à la version 1.45, les valeurs générées pour des grandes valeurs de N0
ne suivent pas la distribution de Poisson.
5.1.2
Tessellation de Poisson
Une tessellation de Poisson de l’espace Rn est un processus d’implantation d’hyperplans.
Dans le cas homogène et isotrope, la tessellation de Poisson de l’espace Rn de densité λ ≥ 0
(voir Matheron [Mat72]) est équivalente à un processus de points de Poisson dans l’espace
Sn× R+, où Sn = {x ∈ Rn, kxk = 1} est la sphère unité de l’espace Rn, et R+ l’ensemble des
réels positifs. Chaque hyperplan H de la tessellation correspond alors à un point (u, r) du processus de points de Poisson dans l’espace Sn×R+, selon la relation H = {x ∈ Rn, hu, xi =
r} : H est défini par un vecteur orthogonal u et sa distance à l’origine r.
Dans l’espace Rn et pour le cas isotrope, la densité de plan λ correspond à la densité
de points de Poisson induits sur une droite quelconque par intersection entre celle-ci et les hyperplans de Poisson.
5.1.3
Polyèdre de Poisson
Les polyèdres de Poisson sont définis comme le complémentaire de la tessellation de Poisson. Un polyèdre de Poisson est donc généré en sélectionnant de manière aléatoire un polyèdre parmi l’ensemble des polyèdres générés par une tessellation.
Cette sélection est faite ici en nombre, c’est-à-dire en attribuant à chaque polyèdre de la tessellation un même poids, par opposition à une sélection en volume, pour laquelle est