Génération de microstructure contenant des pores

La phase des pores est modélisée par un modèle Booléen de sphères dont le rayon suit l’histogramme des rayons déterminé en section 3.3.

Le modèle Booléen de sphères combine un processus de points de Poisson (de densité θ) et l’implantation de sphères en ces points. La fraction volumique f du modèle Booléen ainsi généré est donnée par :

f(v) = 1 − exp(−θK0), (6.26)

avec K0 le volume moyen du grain primaire, c’est à dire ici le volume moyen des sphères

dont le rayon suit la distribution de rayons R (donnée par la Fig.3.23) :

K0 =

4 3πE[R

3_{]. (6.27)}

De même que le modèle d’implantation de polyèdres, le modèle Booléen généré ici est périodique.

Les pores sont de cette manière implantés à la fois dans la matrice et dans les granulats, l’analyse de la tomographie ayant mis en évidence la présence de granulats poreux dans la microstructure. Une modélisation plus fine consisterait à analyser l’histogramme des rayons des pores dans chacune des deux phases (matrice et granulat), et à modéliser séparément les

0 5 10

r (mm)

G(r)

Fig. 6.9 – Comparaison de la granulométrie par ouverture de l’image simulée à trois échelles (en rouge) et de la granulométrie par ouverture de l’image de tomographie segmentée (cas du filtre alterné séquentiel de taille 3, voir section 3.3.3.2) en vert. La granulométrie théorique correspondant à la microstructure simulée en donnée en noir.

deux types de pores. Un tel modèle nécessiterait cependant un algorithme d’implantation permettant d’implanter dans la matrice l’ensemble des polyèdres et le modèle Booléen de sphères, sachant qu’il a été vu précédemment que l’implantation de l’ensemble des polyèdres est à la limite des possibilités de fractions volumiques implantés de l’algorithme développé ici.

Un exemple d’une telle microstructure, obtenue à partir de la microstructure à trois échelles donnée en Fig.6.4, avec la fraction volumique f = 0.074, telle que mesurée en section 3.3, est donné en Fig.6.10.

6.2.5

Conclusion

L’algorithme développé permet de simuler des microstructures de béton, à partir de don- nées granulométriques obtenues expérimentalement. Les microstructures générées peuvent comporter deux phases (matrice et granulats) ou trois phases (ajout des pores). À la diffé- rence des modèles existants présentés en introduction, qui modélisent les plus gros granulats dans une matrice représentant le mortier, le modèle développé ici permet l’implantation de l’ensemble de la courbe granulométrique du béton.

6.2. Modélisation d’une microstructure de béton basée sur des polyèdres de Poisson

Fig. 6.10 – Coupe de microstructure simulée à trois phases. La phase des granulats (en blanc) est modélisée par un modèle multi-échelle de polyèdres de Poisson, selon les paramètres donnés en Tab.6.2. La phase des pores (en noir), modélisée par un modèle Booléen de sphères, est ensuite implantée. La matrice est représentée en gris.

de microstructures) est intégré à la plate-forme MAP1 _{développée à EDF R&D.}

Troisième partie

Réponse linéaire élastique effective et

locale

Chapitre

7

Détermination des champs élastiques locaux

Ce chapitre présente les hypothèses et les méthodes utilisées pour le calcul des champs linéaires élastiques numériques, en chapitre9, sur des microstructures de matériau cimentaire obtenues par segmentation d’images de tomographie, ou par réalisation d’un modèle aléa- toire. Les microstructures considérées comporteront alors soit deux phases (pâte cimentaire et granulats), soit trois phases (pâte cimentaire, granulats et pores). Les champs élastiques ainsi obtenus seront utilisés pour l’homogénéisation numérique des propriétés linéaires élas- tiques, et pour l’étude statistique et locale des champs, à l’aide des méthodes présentées au chapitre 8.

7.1

Propriétés linéaires élastiques

La réponse linéaire élastique locale dans la matrice et les granulats est donnée par le tenseur d’élasticité local L, qui relie les tenseurs de déformation et de contrainte ε et σ (tenseurs du second ordre) selon la relation :

σij = Lij,klεkl, (7.1)

où le champ de contraintes (resp. déformations) satisfait la condition d’équilibre (resp. d’ad- missibilité), c’est-à-dire :

∂iσij = 0, (7.2a)

εkl =

1

2(∂kul+ ∂luk) . (7.2b) Dans les équations précédentes, le champ de déplacement local est noté uk. Ces équations

petites déformations (Eq.7.2b) où l’on néglige les termes de second ordre : les variations de distance sont très inférieures aux distances considérées. D’autre part, les équations d’équilibre et d’admissibilité aux interfaces (entre granulats et pâte par exemple) sont celles d’interfaces dites parfaites. Les phénomènes de décohésion, par exemple, ne sont pas pris en compte.

Dans le cadre des théories d’homogénéisation des milieux composites, lorsque les lon- gueurs caractéristiques de la microstructure sont très inférieures au volume complet, la ré- ponse élastique effective est définie par les moyennes :

e σij = eLij,kleεkl, (7.3a) e σ = hσi , (7.3b) e ε = hεi , (7.3c)

où eL est le tenseur d’élasticité macroscopique, qui relie la contrainte macroscopique eσ et la

déformation macroscopique eε, h · i représente la moyenne sur le volume complet. En supposant

l’isotropie du tenseur d’élasticité local L, et de la microstructure, le tenseur d’élasticité effectif e

L est alors aussi isotrope. Les deux tenseurs d’élasticité local et effectif se décomposent ainsi selon :

Lij,kl(x) = µ(x)(δikδjl+ δilδjk) + [κ(x) − (2/3)µ(x)]δijδkl, (7.4)

e

Lij,kl = eµ(δikδjl+ δilδjk) + [eκ − (2/3)eµ]δijδkl, (7.5)

où δ est le symbole de Kronecker, κ et µ sont les modules locaux de compressibilité et de cisaillement, et eκ et eµ leur équivalent macroscopique.

Dans les pores, dans le cas non drainé considéré ici, µ(x) ≡ κ(x) ≡ 0 ; i.e., la contrainte est nulle et la déformation est indéterminée. Les modules locaux de compressibilité et de cisaillement dans les deux autres phases sont donnés par µ(x) ≡ µ(a)_{, κ(x) ≡ κ}(a) _{dans les}

granulats, et µ(x) ≡ µ(m)_{, κ(x) ≡ κ}(m) _{dans le matrice (pâte cimentaire).}

Dans les granulats et dans la matrice, les modules d’élasticité locaux sont déterminés de manière équivalente par le coefficient de Poisson et le module d’Young, respectivement définis par : ν(x) = 1 2 3κ(x) − 2µ(x) 3κ(x) + µ(x) , (7.6) E(x) = 9κ(x)µ(x) 3κ(x) + µ(x). (7.7)

Conformément aux valeurs utilisées par Wriggers et al. [WM06] et aux valeurs mesurées par Granger [Gra96] (voir section 2.2), le coefficient de Poisson est pris égal à 0.2 pour les