Modèles approchés prenant en compte les ordres parasites

        ~ f (x, y) = ¹ 2π ~ ∇φ (4.1) d(x, y) = ^2π || ~∇φ|| ^(4.2)

L’équation des réseaux permet ensuite de tracer le chemin des rayons passant au travers du composant. Elle s’écrit de la façon suivante [191] :

n⁰S^~0

m× ~N − n ~S × ~N = ^mλ

d ^{~u (4.3)}

Dans l’équation ci-dessus, ~S et ~S0

m sont deux vecteurs unitaires définissant la direction d’un rayon entrant sur le réseau et du rayon sortant associé dans l’ordre m. ~N est un

vecteur unitaire définissant la direction normale au réseau et ~u est un vecteur unitaire

tangent aux franges du composant diffractif, supposé plan. Le sens choisi pour les vecteurs N et u détermine quels ordres sont réputés positifs ou négatifs. n est l’indice du milieu du rayon entrant, et n⁰ l’indice du milieu sortant.

Cette méthode s’applique, pour un composant diffractif, aux traits du réseau local, qui par exemple sont des anneaux pour une lentille de Fresnel diffractive. Elle est utilisée sous des formes semblables par plusieurs logiciels de conception optique, qui toutefois se limitent souvent à considérer un seul ordre et à lui affecter une efficacité de diffraction de 100% pour toute longueur d’onde. Dans le cas de Zemax, c’est le cas des surfaces Binary Optic 1 (Kinoform) et Diffraction Grating ainsi que de leurs variantes Binary Optic 2-3-4 et Elliptical Grating. Dans le cas de CodeV, c’est le cas de toute surface ayant l’attribut de "propriété diffractive" DOE ou GRT. La fonction caractéristique utilisée par CodeV pour décrire le composant n’est toutefois pas une phase mais un chemin optique (exprimé en "lens unit").

4.1.2 Modèles approchés prenant en compte les ordres parasites

Notons que dans le cadre de l’approximation scalaire où les motifs diffractifs sont suf-fisamment grands par rapport à la longueur d’onde, les éléments optiques diffractifs ne peuvent théoriquement être atteindre une efficacité de 100% dans un ordre de diffraction

Figure 4.3 – Illustration de la défocalisation des ordres parasites 0 et 2 apparaissant lorsque λ s’écarte de la longueur d’onde nominale λ₀ (cas d’une lentille d’ordre p = 1 à λ₀).

particulier. Toutefois, cela n’est vrai que dans certaines conditions : pour un angle d’inci-dence donné, une géométrie particulière et une ou plusieurs longueurs d’onde spécifiques. Le fait de changer l’un de ces paramètres mène à une chute de l’efficacité de l’ordre nomi-nal et une certaine quantité de lumière est alors diffractée dans des ordres de diffraction dits parasites [192, 193]. La distance focale associée à chacun des ordres parasites mis en jeu est différente de la distance focale nominale. Les taches images ainsi formées par chacun des ordres parasites sont alors plus ou moins défocalisées. A la Fig. 4.3, je consi-dère une lentille de Fresnel d’ordre p = 1 à la longueur d’onde nominale λ₀. J’illustre alors le phénomène de défocalisation des deux ordres parasites les plus efficaces lorsque la longueur d’onde λ s’écarte de la longueur d’onde nominale, il s’agit des ordres 0 et 2. La distance focale de l’ordre m à λ est f_m⁰ (λ) = (λ₀/mλ)f = (1/m)f₁⁰(λ). Notons que sur cette illustration, λ est supposée ne pas s’écarter suffisamment de λ₀ pour que l’efficacité de l’ordre 1 tombe à 0% et que celle de l’ordre 0 ou 2 atteigne 100%.

Définition d’un coefficient de mérite

Dans la Réf. [192] en particulier, Buralli et al. ont étudié les performances sur l’axe d’une lentille de Fresnel d’ordre 1 dans le cadre de l’approximation paraxiale pour une longueur d’onde différente de la longueur d’onde nominale. Ils ont soulevé le fait que

l’ap-parition d’ordres parasites défocalisés est à l’origine de la formation d’un plateau plus ou moins uniforme dans la PSF tel qu’illustré à la Fig. 4.4.a. Cela créé alors un fond instrumental qui a tendance à diminuer le contraste image polychromatique, particulière-ment aux basses fréquences. Afin de prendre en compte les effets des ordres de diffraction non nominaux, Buralli et al. suggèrent en première approximation de multiplier, aux fré-quences spatiales non nulles, la FTM polychromatique de l’ordre de diffraction nominal par un coefficient qu’ils appellent polychromatic integrated efficiency. Il correspond au ratio de l’énergie utile sur l’énergie totale. On le note η_int,poly. Sur l’intervalle [λ_min,λ_max] on le calcule de la façon suivante :

η_int,poly =

Rλmax

λmin η_int(λ)dλ

λ_max− λ_min ^(4.4)

avec η_int défini comme l’efficacité locale de l’ordre p moyennée sur la pupille :

η_int= ¹

A_pupille

Z ∞ −∞

Z ∞

−∞η_locale(u, v)dudv

= ¹ A_pupille Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |T_p(u, v)|²dudv (4.5)

où A_pupille est l’aire de la pupille de sortie, (u, v) sont les coordonnées dans la pupille, et T (u, v) est la transmittance en (u, v).

Dans le cas monochromatique, ce coefficient η_int,poly est simplement l’efficacité de dif-fraction de l’ordre nominal. La Fig. 4.4.b montre la FTM polychromatique [8,12]µm cal-culée par Buralli et al. pour leur système ouvert à F/2 composé d’une lentille de Fresnel d’ordre 1 à 10µm.

Cette méthode a néanmoins ses limites, notamment dans le cas où la pupille est séparée de la lentille, dans le cas où beaucoup d’ordres de diffraction parasites sont mis en jeu, ou lorsque peu de zones sont éclairées. Prenons l’exemple d’une lentille diffractive dont le profil est tel que sur l’axe, seule la zone centrale est éclairée. En utilisant la méthode de Buralli et al., la surface éclairée sera vue comme ayant un comportement diffractif alors qu’en réalité son comportement est purement réfractif et aucun ordre de diffractif ne doit être défini.

Figure 4.4 – (a) Illustration du fond instrumental formé par des ordres de diffraction parasites. (b) FTM axiale polychromatique sur la bande [8 ;12]µm d’un système à une lentille diffractive d’ordre 1 ouverte à F/2. Les ordres parasites sont pris en compte en appliquant le coefficient de mérite de Buralli et al. [192].

Somme sur les ordres

Une méthode alternative consiste à tracer de multiples ordres de diffraction puis à additionner leurs contributions de façon cohérente pour calculer la PSF (sum-over-orders) [194, 195, 196]. Notons que l’équipe de Wood et al. de Thalès Optics Ltd a développé son propre outil informatique basé sur une sommation cohérente des contributions de 5 ordres de diffraction : l’ordre de diffraction nominal (souvent l’ordre 1), et 4 ordres de diffraction adjacents (dans ce cas, les ordres -1, 0, 2 et 3). Dans la Réf. [195], Bigwood et

al. ont comparé la FTM calculée à partir d’un seul ordre de diffraction et celle obtenue en

considérant 5 ordres de diffraction, dans le cas d’un système LWIR ouvert à F/1,4 dont la lentille de tête est une lentille hybride composée de 5 zones (voir Fig. 4.5.a). Ils montrent que la FTM estimée en considérant un seul ordre 100% efficace est trop optimiste en comparaison à celle obtenue à partir de 5 ordres (voir Fig. 4.5.b).

Ce modèle de sommation sur les ordres de diffraction donne de meilleurs résultats que la méthode de Buralli et al., en particulier lorsque peu de zones sont éclairées et que suffisamment d’ordres sont pris en compte. Dans la Réf. [196] Wood et al. ont étudié l’impact du nombre d’ordres pris en compte dans le calcul de la PSF en fonction du nombre de zones éclairées d’une lentille hybride en germanium fonctionnant entre 8 et 12µm. Il en ressort que lorsqu’une ou deux zones sont éclairées, 15 ordres de diffraction doivent

Figure 4.5 – (a) Système LWIR [8 ;12]µm FOV = 5,2^◦, N = 1,4. 5 zones de la lentille hybride sont éclairées. (b) FTM axiale polychromatique calculée avec 1 ou 5 ordres de diffraction [195].

être pris en compte. Lorsqu’un nombre raisonnable de zone sont éclairées, typiquement 5 zones environ, 5 ordres de diffraction suffisent.

Néanmoins cette méthode possède plusieurs inconvénients. En théorie si l’on souhaite mener un calcul vraiment rigoureux, une somme sur un nombre d’ordres infini devrait être considérée mais cela mènerait en pratique à des calculs très longs. En plus, un second inconvénient majeur de cette méthode est qu’elle suppose valable la définition même des ordres de diffraction. Or, nous en avons discuté dans la partie 3.5.2 page 175, cela n’est pas vrai dès lors que l’optique diffractive considérée est formée de marches de hauteur constante et est intégrée dans un système grand champ et grande ouverture. La méthode de sommation sur les ordres de diffraction peut permettre une approche qualitative de certains comportements, mais elle n’est pas généralisable à tout système utilisant des composants diffractifs. Elle n’est en particulier pas applicable à un système d’imagerie tel qu’on l’envisage, c’est-à-dire possédant à la fois un grand champ et une grande ouverture.

4.1.3 Modèles considérant les sauts de phase réels du composant

diffractif

Récemment, des techniques de modélisation plus exactes et parfois plus générales ont été proposées dans la littérature. Il s’agit de méthodes tenant compte du profil de phase discontinu de la lentille diffractive sans supposer valable la notion d’ordre de diffraction. En 1999, Sauer et al. ont proposé dans la Réf. [197] une technique de modélisation basée