Dans cette section nous décrivons le modèle de transmission ainsi que le modèle de canal.
Modèle de Transmission
Considérons un canal MISO broadcast composé d’un émetteur central équipé avec M antennes et K récepteurs mono-antenne non-coopératifs. Nous sup-posons M ≥ K et une transmisson en bande étroite. Le signal yk reçu par l’utilisateurks’écrit à chaque instant
yk =hHkx+nk, k= 1,2, . . . , K,
où hk ∈CM est le canal aléatoire du émetteur à utilisateur k, x ∈CM est le vecteur transmis et les termes de bruit nk ∼ CN(0, σ2) sont indépendants.
Nous supposons que le canal hk évolue suivant un modèle block-fading, c’est-à-dire, le canal est constant à chaque instant mais varieindépendamment d’un instant à l’autre.
Le vecteur transmisxest une combinaison linéaire des symboles indépendant des utilisateurssk et s’écrit
x=
K
X
k=1
√pkgksk,
où gk∈CM et pk≥0 sont les vecteurs de précodage et la puissance du signal de l’utilisateurk respectivement. Ensuite, nous supposons que l’utilisateur ka une connaissance parfaite du canalhket du canal effectifhHkgk. Une estimation dehHkgk peut être obtenue par un apprentissage dédié en précodant le signal de l’utilisateurkpargk. Les vecteurs de précodage sont normalisés pour satisfaire la contrainte de puissance totale moyenne
E[kxk2] = tr(PGHG)≤P, (1) oùG,[g1,g2, . . . ,gK]∈CM×Kest la matrice de précodage,P= diag(p1, . . . , pK) est la matrice de puissance etPest la puissance d’émission totale. Un diagramme à blocs du système MU-MISO est présenté en Figure 1.
Soit ρ,P/σ2 le SNR. Sous la contrainte sk ∼ CN(0,1) et une détection mono-utilisateur avec connaissance du canal parfaite à la réception, le SINRγk
de l’utilisateurkest défini par
γk = pk|hHkgk|2
K
X
j=1,j6=k
pj|hHkgj|2+σ2
. (2)
s P1/2 G x 2 1
M
...
+ n1
y1
+ n2
y2
+ nK
yK
h1
h2
hK
...
Figure1: Diagramme à blocs du système MU-MISO avec transmisson en bande étroite.
Le débitRk de l’utilisateurk est donné par
Rk = log (1 +γk) (3)
et la somme des débitsRsum définie par Rsum=
K
X
k=1
Rk. (4)
Alors que l’opérateur du réseau est souvent interessé par la capacité du sys-tème en moyenne, nous utilisons la plupart du temps les débits moyens E[Rk], E[Rwsum] etE[Rsum], où l’espéranceE[·] est prise sur les canaux aléatoireshk. Modèle de Canal
Chaque canal hk de l’utilisateurk s’écrit de la façon suivante hk =√
MΘ1/2k zk, (5)
oùΘk est la matrice de corrélation de l’utilisateurketzk a des entrées i.i.d. de moyenne nulle et de variance 1/M. Les matrices de corrélation varient lentement par rapport au temps de cohérence du canal et alors sont supposées parfaitement connues à l’émetteur, alors que le récepteur ka seulement connaissance deΘk. Ensuite, l’émetteur dispose seulement d’une estimée imparfaite ˆhk du vrai canal hk modélisé comme [38–41]
hˆk =√ MΘ1/2k
q
1−τk2zk+τkqk
=√
MΘ1/2k zˆk, (6) où ˆzk =p
1−τk2zk+τkqk,qka des entrées i.i.d. de moyenne nulle et de variance 1/M, indépendantes dezketnk. Le paramètreτk∈[0,1] indique la précision ou
qualité de l’estimée de canal ˆhk, c’est-à-dire,τk = 0 correspond a CSIT parfaite alors que pourτk = 1 la CSIT est complètement decorrélée du vrai canal.
2 Présuppositions mathématiques : Théorie des Matrices Aléatoires
Cette section met en place les outils nécessaires pour analyser le MISO BC à grandes dimensions avec précodage linéaire et corrélation par utilisateur.
2.1 Introduction et Outils
La théorie des matrices aléatoires (RMT) est un domaine très bien étudié en mathématique. Entre autre, la RMT consiste à étudier le comportement des valeurs propres des matrices hermitiennes. En l’occurrence Mar˘cenko et Pastur ont prouvé que la distribution empirique des valeurs propres (e.s.d.)FBN d’une matrice hermitienne BN∈CN×N définie par
BN = 1 n
n
X
i=1
xixHi, (7)
où xi∈CN a des entrées indépendantes et identiquement distribués (i.i.d.) de moyenne nulle, de variance 1, converge vers une distribution limite des valeurs propres (l.s.d.) F qui est déterministe quand n, N → ∞ avec rapport N/n borné. La l.s.d. F est appeléela loi de Mar˘cenko-Pastur [49]. Il est beaucoup plus favorable de travailler avec la l.s.d. plutôt qu’avec la fonction de la densité jointe de probabilité (p.d.f.) des valeurs propres calculée dans [45–48].
Dans le domaine des télécommunications mobiles et en particulier dans notre système, le canalH,[h1,h2, . . . ,hK]H∈CK×M est modélisé comme aléatoire (5). Notamment, dans l’analyse de précodage linéaire en Section 3 nous retrou-vons des termes de la forme de mFBN(z) , N1tr(BN −zIM)−1, z∈C\R+, qui est latransformée de Stieltjes de l’e.s.d. de la matrice hermitienneBN. La transformée de Stieltjes est définie en Définition 2.1 et est un outil essentiel en RMT, car il est très difficile de démontrer directement que l’e.s.d.FBN converge vers une l.s.d. F. Au lieu de cela, il est souvent beaucoup plus facile d’évaluer la limite mF(z) de la transformée de Stieltjes mFBN(z), où il est démontré dans [51, Theorem B.9] queF est la l.s.d. deFBN. Par conséquent, démontrer la convergence demFBN versmF est équivalent à démontrer la convergence de FBN vers F. Il est beaucoup plus simple de travailler avec la transformée de Stieltjes, qui laisse à disposition des outils comme le lemme d’inversion matri-ciel (MIL), l’identité de résolvante (Lemma F.2) ou le lemme de trace (F.3) qui rendent la démonstration de convergence beaucoup plus facile. Les conditions sous lesquellesmF est une transformée de Stieltjes sont données dans Proposi-tion 2.1.
Un autre outil important en télécommunication mobile est latransformée de ShannonVF(z),log det(IN+zBN),z∈R+, introduite dans [20]. La transfor-mée de Shannon est proportionelle (avec un facteurN) à la capacité d’un canal MIMO mono-utilisateur.
Tout en sachant que l’e.s.d.FBN converge vers une l.s.d.F siBN est définie selon (7), souvent la convergence n’est pas garantie pour des modèles de matrice
BN plus sophistiqués. Néanmoins, même si la transformée de Stieltjes deFBN ne converge pas versmF, elle peut pourtant être approximée par une variable déterministemFN telle quemFBN−mFN N→∞−→ 0, presque sûrement, oùmFN ∀N est la transformée de Stieltjes de la fonction de distributionFN telle queFBN− FN ⇒0, presque sûrement. La variablemFN est appeléeéquivalent déterministe et est définie en Définition 2.3.
Dans ce qui suit, nous démontrons le théorème principal qui offre un équi-valent déterministemFN de la transformée de StieltjesmFBN oùBN est aléa-toire avec profil de variance généralisé. Le théorème élargit les résultats dans [31, 53] mais la démonstration repose fortement sure des techniques appliquées dans [31, 53].
Ensuite, nous simplifions la notation et écrivonsmX,mFX et ¯mX=mFN.