formances de nos algorithmes d'apprentissage, un modèle simple de la smart surface a été développé. L'objectif de ce modèle n'est pas d'être réaliste, car une modé- lisation multi-domaine de ce dispositif à base de MEMS distribués reste très complexe
[Zho07, CZFH08]. Le modèle développé vise à générer des problématiques de
contrôle équivalentes à celles que l'on pourrait rencontrer avec la smart sur- face. Il se base sur un modèle simple des forces uidiques exercées par un ux d'air sur un corps situé dans ce ux.
8.3.1 Introduction aux forces uidiques
Un uide peut exercer des forces et des moments mécaniques sur un corps dans plu- sieurs directions. On distingue généralement deux types de forces uidiques, représentées sur la gure 8.9a :
la force de traînée , ou drag force, notée FD, qui s'exerce sur un corps dans la
direction de l'écoulement du uide,
la force de portance , ou lift force, notée FL, qui s'exerce sur un corps dans la
Ces deux forces sont les résultantes des eets combinés des forces de pression et des forces tangentielles (appelées aussi forces de surface mouillée (wall shear)). Ces forces de pression et tangentielles agissant sur une surface élémentaire dS d'un corps sont respectivement exprimées par p.dS et τw.dS, comme décrites à la gure8.9b. Les forces
résultantes de traînée et de portance exercées sur un corps sont alors exprimées par : FD = Z S (−pcosθ + τwsinθ)dS (8.1) FL= − Z S (psinθ + τwcosθ)dS (8.2)
où θ est l'angle entre la normale à la surface élémentaire dS et la direction positive de l'écoulement du uide. Ainsi, les forces de pression et de surface mouillée contribuent en général toutes les deux à la traînée et à la portance.
En pratique, on utilise souvent une approximation des forces résultantes de traînée et de portance agissant sur l'ensemble du corps solide. Cette approximation dépend entre autres de la densité ρ du uide (dans notre étude, on utilise la densité de l'air), de la vélocité du uide appliqué au solide V , des dimensions du corps solide et d'un coe cient sans dimension de traînée CD ou de portance CL. Les forces sont alors exprimées par :
FD = 1 2ρCDV 2S (8.3) FL= 1 2ρCLV 2S (8.4)
où S est la surface frontale de référence.
8.3.2 Forces de convoyage et de lévitation
Pour le modèle du convoyage d'un objet, nous décrivons les interactions uidiques entre les jets d'air distribués sur la surface active et l'objet manipulé. Les microaction- neurs pneumatiques sont représentés par des carrés de 1mm2. Au centre de chaque carré
est situé un ori ce par lequel sort un jet d'air. Cet ori ce est orienté suivant ~x ou ~y. Une vue en coupe est donnée à la gure 8.10. Un objet de centre de gravité G lévite et est convoyé selon ~x. Les jets d'air sont générés en sortie des ori ces. En position de repos, le jet d'air est de direction verticale et de vélocité vaz(of f ). En position active, le
jet d'air peut prendre deux orientations suivant qu'on l'active à droite ou à gauche du plan de mouvement. On décompose alors sa vélocité selon :
~va(on)= vax(on)~x + vay(on)~y + vaz(on)~z. (8.5)
Par l'application combinée des jets d'air au repos et actifs, des forces uidiques vont s'exercer sur l'objet en son centre de gravité G. On distingue la force résultante de
Figure 8.10 Forces exercées sur l'objet dans la matrice de microactionneurs (image extraite de [CZFH08]).
lévitation FL qui s'applique dans la direction ~z et la force résultante de convoyage
FD qui s'applique dans le plan (~x, ~y). Un couple s'exerce aussi entraînant une rotation
de l'objet autour de l'axe ~z.
8.3.3 Modèle du convoyage 2D
Concernant notre modèle de convoyage en 2D, seuls les déplacements de l'objet dans le plan (~x, ~y) sont considérés et sa lévitation n'est donc pas prise en compte. Les hypo- thèses sont alors les suivantes (cf. gure 8.10) :
nous modélisons uniquement la force de convoyage FD qui permet à l'ob-
jet de se déplacer dans le plan. Ainsi, l'objet est supposé être constamment en lévitation,
nous supposons négligeables les composantes selon ~x et ~y de la force due aux jets d'air verticaux. Donc, on a :
~va(of f )= vaz(of f )~z. (8.6)
Les jets verticaux ne participent qu'à la lévitation dans notre modèle. Or, cette force de lévitation n'est pas modélisée, donc les jets verticaux sont ignorés, concernant les jets d'air orientés, seules les composantes selon ~x et ~y sont
modélisées donc :
~va(on) = vax(on)~x + vay(on)~y, (8.7)
pour les déplacements de l'objet dans le plan (~x, ~y), seules les interactions entre les jets d'air orientés et les bords de l'objet sont modélisées. En eet, ces parties sont les plus exposées à la force de convoyage lors de la génération d'un jet d'air orienté [Zho07]. Les jets d'air orientés qui mouillent la surface inférieure de
Figure 8.11 Notations géométriques dans le cas d'un jet d'air orienté selon ~x et qui mouille la tranche de l'objet (vue de dessus).
l'objet ne sont donc pas pris en compte. Par exemple, à la gure8.10, ~va2(on) est
ignoré ; seul ~va1(on) participe au déplacement de l'objet,
nous supposons en n que les jets d'air sont indépendants, i.e. qu'il n'y a aucune interaction entre les jets.
Notations géométriques
A n de modéliser la force de convoyage due aux jets d'air orientés, les notations géo- métriques données à la gure8.11sont nécessaires. On s'intéresse ici à un ori ce normal à ~x et donc à un jet d'air parallèle à ~x.
L'objet est représenté par un polygone à N faces. Son centre de gravité est noté G. L'abcisse de G est noté x et son ordonné est notée y. Tous les ori ces sont numérotés de 1 à M. Lorsqu'un ori ce est proche de l'objet et que le jet d'air est orienté dans la direction de l'objet (comme illustré à la gure8.11), le jet d'air atteint alors une tranche de l'objet appelée aire mouillée . Nous faisons l'hypothèse que cette aire mouillée est la projection dans le plan (O, ~y, ~z) de la tranche atteinte par le jet d'air. La relation entre une face n de l'objet et un ori ce i de la surface est décrite grâce aux variables suivantes :
~un est le vecteur normal à la face n,
si,n est la surface de l'aire mouillée de la face n,
−1 0 1 2 3 4 5 6 −1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Distance di,nentre Pi,net l orifice i (mm)
V él oc ité la té ra le vai r du je t d ’a ir is su d e l’o rif ic e i ( m m /s )
jet d'air orienté jet d'air inverse
x
Figure 8.12 Vélocité latérale d'un jet d'air en fonction de sa distance à l'ori ce. di,nest la distance entre Pi,n et l'ori ce i.
Ainsi, on peut déduire de l'équation8.3la force de convoyage élémentaire exercée par le jet d'air de l'ori ce i sur la face n :
~ fi,n= 1 2ρCDsi,nv 2 i,n~un. (8.8)
Nous supposons que la force de convoyage exercée sur une face n est normale à cette face. vi,n est la vitesse relative du jet d'air au point Pi,n donnée par :
vi,n= ˙x − vair(di,n) (8.9)
où ˙x est la vitesse de l'objet et vair est une fonction qui donne la vélocité d'un jet
d'air en fonction de sa distance à l'ori ce (cf. gure 8.12 et annexe C). Cette fonction est issue de l'expérience exceptée la vitesse latérale du jet d'air en sortie de l'ori ce (vair(0) = 5, 5m/s) dont la valeur est donnée dans une modélisation à base de calculs
par éléments nis du microactionneur pneumatique réalisée par [FCMF06]. On remarque une vélocité négative du jet d'air pour une distance inférieure à 0. En eet, lorsqu'un jet d'air est généré en sortie d'un ori ce dans le sens de ~x par exemple, un léger jet d'air inverse est aussi généré dans le sens contraire. Ceci illustre la constatation expérimentale suivante : un objet se déplaçant dans la direction de ~x et dont l'inertie est faible peut alors rebondir contre les jets d'air inverses (voir aussi les résultats au 8.4.2).
Étant donné le phénomène de dispersion dans le processus de fabrication des MEMS, un actionneur peut présenter des défaillances. A n de modéliser cette incertitude sur l'eet d'un jet d'air, la force de convoyage élémentaire ~fi,n exercée par un jet d'air d'un
Modélisation
Pour aboutir à la force de convoyage résultante notée ~FD, qui s'applique au centre
de gravité G de l'objet, toutes les forces de convoyage élémentaires exercées par les M jets d'air sur les N faces de l'objet sont sommées selon :
~ FD = M X i=1 N X n=1 δi,nf~i,n (8.10)
où δi,n est égal à 1 si le jet d'air issu de l'ori ce i atteint la face n et 0 sinon. δi,n est
aussi égal à 0 si l'ori ce i est situé en-dessous de l'objet. En eet, les forces uidiques résiduelles exercées par les microactionneurs sur la face inférieure de l'objet sont négligées par hypothèse.
Le moment résultant de ces forces élémentaires est alors : ~ MFD = M X i=1 N X n=1
δi,n( ~GPi,n∧ ~fi,n). (8.11)
Force de viscosité
Lorsque l'objet est en mouvement sur la surface, il peut être considéré comme un corps en mouvement dans un uide (l'air). Il est donc soumis à des forces de frottement réparties sur sa surface. La résultante de ces forces de frottement est appelée la force de viscosité dans le cas des uides. Cette force de viscosité s'exprime de la manière suivante :
FV = −Kηv (8.12)
où K est un coe cient géométrique dépendant de la forme de l'objet, η le coe cient de viscosité du uide et v la vitesse de l'objet.
Modèle dynamique du convoyage 2D
Au nal, la dynamique du convoyage 2D de l'objet suit les relations suivantes : m¨x = ~FD • ~x − Kη ˙x m¨y = ~FD • ~y − Kη ˙y J ¨θ = ~MFD• ~z (8.13) où les constantes sont précisées à l'annexe Cet (x, y) sont les coordonnées du centre de gravité G de l'objet et ˙θ sa vitesse angulaire.