de fissure
L’objectif de cette section est de présenter le calcul incrémental qui permet de simuler l’évolution de la fissure sur la tige durant le forage. Les contraintes dans la tige (tension F et moment de flexion M) sont calculées à l’aide du logiciel ABIS.
Comme nous l’avons vu dans la section II.1.1.2, une loi de propagation de fissure décrit l’évolution de la vitesse de propagation de fissure par cycle (da/dN) en fonction de la variation du facteur d’intensité des contraintes (∆K) causée par le chargement cyclique.
Un modèle de la propagation de fissure basé sur la mécanique linéaire élastique de la rupture doit comprendre les points importants suivants :
• La détermination du Facteur d’Intensité des Contraintes (FIC) correspondant
au problème étudié : comme montré précédemment, le FIC est relié au taux
de restitution d’énergie G par l’équation C.13 de l’annexe C sous la condition
d’élasticité linéaire. Nous proposons donc de calculer le FIC à partir du taux de restitution d’énergie G qui est déterminé par des calculs par éléments finis à l’aide
de la méthode G-thêta présentée dans l’annexe C.5.2. Ceci concerne l’approche
énergétique pour la détermination du FIC. Ce premier point sera détaillé dans la Section IV.3.
• L’extension de la fissure après une itération de △N cycles est déterminée en
utilisant une loi de propagation de fissure (voir la SectionII.1.1.2 page 35). Ainsi, le choix de la loi utilisée pour le modèle et ses coefficients pour les matériaux
étudiés sont importants. La loi de Paris largement utilisée dans la littérature ne tient pas compte de l’effet de la contrainte moyenne (ou la tension). Afin de surmonter cette limitation, nous choisissons la loi de Walker (elle se ramène à la loi de Paris dans le cas d’une “tension répétée”, R = 0). Les coefficients de loi de propagation pour différents grades d’aciers des tiges sont présentés dans la SectionIV.4. Rappelons que la loi de Walker est donnée par l’équation ci-dessous pour le cas des cycles de contrainte traction-traction en pointe de la fissure :
da dN = C " △K (1 − R)(1−λ) #m avec R = Kmin Kmax (IV.2) où C, m et λ sont des coefficients caractéristiques du matériau et déterminés expérimentalement. Pour le cas des cycles traction-compression, la loi de Walker prend la formule suivante :
da
dN = CK
m
max (IV.3)
• Le calcul incrémental qui permet de modéliser l’évolution de la fissure :
La Fig. IV.2.a illustre l’algorithme développé pour évaluer la propagation de la fissure pour chaque △N cycles de chargement. La forme de la fissure est supposée rester semi- elliptique pendant la propagation. Par conséquent, deux points situés sur le fond de la fissure sont choisis pour effectuer des calculs itératifs : le premier est le point le plus profond D, et le second est un point P quelconque. L’influence du choix du deuxième point P sur la propagation de la fissure est prise en compte.
A0, B0 ; N = 0
Calculer KI,max, KI,min
(en deux points D et P)
Vérifier KI,max≥KIc Oui Terminer Nfatigue= N Non M, F
(a)
∆A , ∆P (Walker) Après ∆N cycles∆A , ∆P → Ai+1; Bi+1 N := N + ∆N
Non ∆K (en deux points D et P)
Non Terminer Nfatigue= N Vérifier A ≤ T Oui Y D’ ∆A (b) X D D’ P P’ ∆A ∆P A A’ B B’
Fig. IV.2 – (a) Ordinogramme de l’algorithme de calcul de la propagation de fissure, et (b) Evolution de la fissure après une itération de calcul de △N cycles
Après △N cycles, la fissure se développe et les points D, P se propagent respec- tivement aux points D′, P′ (Fig. IV.2.b). La direction de propagation d’un point est supposée perpendiculaire à l’ellipse en ce point. On désigne par A, B deux axes de
l’ellipse de fissure. La connaissance des deux nouveaux points D′ et P′ permet de déterminer les paramètres (A′, B′) de la nouvelle ellipse (Fig. IV.2.b).
Remarque :
• Après chaque incrément (△N cycles), on calcule la valeur de C′ (la moitié de la longueur d’intersection de la fissure avec la surface extérieure du cylindre, voir la Fig.IV.1.b) à partir de A′ et B′ déterminés comme montré ci-dessus. Si C′calculé est inférieur à C, on pose C′ = C et on recalule B′ à partir de A′ sous la condition C′ = C. Ceci permet de forcer la fissure à se propager dans le matériau. Ce cas est illustré sur la Fig. IV.3.
Y D’ P’ ∆A ∆P D P P’ ∆A ∆P A A’ B B’ X C’=C
Fig. IV.3 – Propagation de la fissure après une itération de calcul
Dans ce modèle, l’effet de fermeture de fissure n’est pas pris en compte car nous n’avons pas suffisamment de données pour les matériaux étudiés. En plus, on considère que dans le cas de la fissure fermée (dans cette étude, c’est le cas où la contrainte à la pointe de la fissure est négative), le FIC est égal à 0. La variation du FIC durant un cycle de chargement est calculée par l’équation IV.4 suivante :
△K = KI,max− KI,min (IV.4)
Le critère par la contrainte dit que la fissure devient instable lorsque le FIC dépasse
une certaine valeur limite, appelée la ténacité KIc du matériau. Par conséquent, si
nous connaissons la ténacité KIc du matériau étudié, il faut la comparer avec la valeur calculée du FIC à chaque incrément. Si le FIC calculé dépasse la ténacité, le calcul s’arrête en annonçant la ruine de la structure.
Par ailleurs, si nous connaissons les valeurs du seuil de propagation de fissure △Kth (Régime I sur la Fig. II.7), nous pouvons les prendre en compte dans la détermination
de la vitesse de propagation de fissure de l’algorithme IV.2.a. Cependant, un calcul
sans effet de seuil △Kth est plus pessimiste.
Pour appliquer le modèle de propagation de fissure ci-dessus à l’opération de forage, nous utilisons le même schéma de l’algorithme de la fatigue cumulative présenté dans la sectionIII.1, en remplaçant le calcul du cumul de fatigue par le calcul de la propagation de fissure. L’algorithme du modèle de propagation de fissure durant le forage est montré sur la Fig. IV.4. Les calculs sont effectués pas à pas au fûr et à mesure que le forage évolue, en considérant un pas de longueur forée. A chaque pas, le code ABIS est utilisé pour déterminer les efforts (F et M) dans la garniture de forage. Ensuite, le modèle de propagation de fissure est mis en œuvre pour déterminer l’évolution de la fissure.
∆A , ∆P→ Ai+1 ; Bi+1
N := N + ∆N Nombre de cycles de ce pas :
Ni = f(RPM,ROP,∆L)
A0, B0 Taille initiale de fissure
Calcul des contraintes dans la tige : Tension (F) Moments de flexion (M) Paramètres du forage : Trajectoire du puits Paramètres opératoires Garniture de forage Pas suivant Depth = Depth + ∆Li Mettre à jour les paramètres d’entrée N = 0 Vérifier (N ≤ Ni) Oui Non
Calculer Kmax, Kmin
∆A , ∆P : Loi de Walker
Après ∆N cycles Vérifier Kmax ≥KIc Oui Rupture Non ∆K
Vérifier (A < T) Non Terminer Oui
Fig. IV.4 – Algorithme du modèle de propagation de fissure au cours de l’opération de forage