Courbure maximale permise

Cette analyse est présentée dans l’article de Lubinski (1961). Elle est basée sur le fait que dans certaines conditions, le matériau présente une limite d’endurance de fatigue en-dessous de laquelle le phénomène de fatigue ne se produit pas et ce cycle de chargement peut se répéter à l’infini.

On considère une tige soumise à une tension F dans une partie du puits dont la courbure est C. Sous l’effet de la tension, la courbure de la tige peut être différente de celle du trou. En effet, la déformation de la tige dans cette partie courbée dépend de la tension F . Si F est assez petite, la tige n’est en contact avec la paroi du trou qu’aux connexions. Si F augmente jusqu’à une valeur assez grande, on peut avoir un contact au milieu de la tige car celle ci est davantage tirée.

Lubinski a établi des formules analytiques permettant de déterminer la plus forte

valeur CT de la courbure de la tige pour plusieurs cas. Par exemple, dans le cas où

il y a seulement des contacts entre la tige et la paroi du trou aux connexions, la plus grande courbure de la tige se situe à côté de la connexion et a une valeur donnée par l’équation II.18. CT = (C − q) kL tanh (kL)+ q (II.18) avec : k = r F EI et q = ± 1 k2 wesin θ

EI . Dans cette formule, le signe “+” correspond

au cas où l’inclinaison augmente le long de cette courbure (courbure croissante, “build- up”) et le signe “-” dans le cas inverse (courbure décroissante, “drop-off ”). Les autres paramètres sont : θ l’inclinaison moyenne de cette partie courbée, we le poids linéique déjaugé de la tige, E le module d’Young du matériau de la tige, L la moitié de la distance entre deux connexions sur la tige, I le moment d’inertie de la section droite du corps de la tige.

Le moment de flexion aux endroits où CT est atteinte est M = EICT. Sachant que

l’amplitude de la sollicitation périodique liée à la flexion (maximale dans la section droite) est σa =

M

I Rext, on en déduit que : σa = ECTRext = E

"

(C − q)_{tanh (kL)}kL + q #

Rext (II.19)

où Rext est le rayon extérieur du corps de la tige.

Remarquons que dans le paramètre k =pF/(EI) , la tension F peut être remplacée

par σmS (σm = F/S) où S est l’aire de la section droite de la tige.

Dans certaines conditions, le matériau présente une limite d’endurance en fatigue σe en-dessous de laquelle le phénomène de fatigue ne se produit plus. Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la durée de vie soit infinie est :

σa ≤ σe (II.20)

La limite d’endurance de fatigue σe pour un matériau dépend de la contrainte

moyenne σm. En combinantII.19etII.20, pour assurer l’absence de fatigue dans la tige soumise à la tension F fixée (donc σm fixée) il faut et il suffit que la courbure du puits

ne dépasse pas une valeur maximale Cmax (Equation II.21). Elle est donc appelée la

courbure maximale permise du puits.

Cmax = σe ERext− q ! tanh (kL) kL + q (II.21)

Dans un diagramme (σa, σm), les conditions σa ≤ σe, σa ≥ 0 (par convention) et

σm ≥ 0 (on est en mode tension) définissent un domaine d’endurance infini (durée de

vie illimitée).

A une durée de vie donnée, la relation de résistance de fatigue - contrainte moyenne est souvent tracée dans un diagramme, appelé le diagramme de Haigh. Il peut être généré par un nombre important d’essais de fatigue. En pratique, différentes lois em- piriques ont été proposées pour décrire cette relation. Parmi lesquelles, la loi linéaire de Goodman est la plus utilisée. Cette loi relie le point de résistance de fatigue à la contrainte moyenne nulle sur l’axe de coordonnées et la résistance à la traction pour le point sur l’axe de la contrainte moyenne (voir la Section II.1.1.1 page 31).

Pour le grade E le plus conventionnel parmi les aciers utilisés en forage, la li-

mite d’endurance de fatigue à la contrainte moyenne nulle est 22 kpsi1 _{(amplitude de}

contrainte de flexion) (Lubinski, 1961) pour l’environnement non-corrosif et la résis- tance à la traction est de 100 kpsi (voir le Tab I.1). Donc sur la Fig. II.13, la courbe bleue pointillée représente la loi linéaire de Goodman. Cependant, Lubinski (1961) a

utilisé la courbe continue sur la Fig. II.13 qui est recommandée par la société Hu-

ghes Tool et basée sur la meilleure expérience de cette entreprise pour ce problème. L’expression de cette courbe est la suivante :

σe = 19.5 − 10 σm 67 − 6 σm 67− 0.5 !2 (II.22) où σe et σm sont exprimées en kpsi. L’équation II.22 est valable pour des valeurs de σm jusqu’à 67 kpsi.

La courbe représentant l’équation II.22présente les caractéristiques suivantes :

- Elle est légèrement au dessus de celle Goodman dans la zone de contrainte moyenne élevée ;

- La limite d’endurance de fatigue à la contrainte moyenne nulle est de 18 kpsi.

Cette baisse de 4 kpsi, par rapport à la valeur de 22 kpsi donnée par la loi de Goodman, permet de prendre en compte l’influence des marques, des entailles ainsi que des usures sur le tube pendant le service ;

- Cette courbe est limitée jusqu’à la valeur de σm de 67 kpsi, cela est dû à la limite élastique du matériau. Pour la conception, la contrainte maximale σmax= σm+σa 1. 1 kpsi ≈ 6.895 MPa

doit être inférieure à la limite d’élasticité du matériau (75 kpsi pour le grade E, voir le Tab I.1) (courbe violet).

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 e d e l a c o n tr a in te σa (k p si )

Limite d'endurance en fatigue

Courbe suggérée Courbe linéaire de Goodman Limite élastique Environnement non-corrosif, Grade E

0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 A m p li tu d e d e l a c o

Contrainte moyenne de traction σ_m(kpsi)

Fig. II.13 – Les limites d’endurance pour le grade E

Pour l’environnement corrosif, l’API RP 7G recommande de baisser de 40% la valeur obtenue pour le cas non-corrosif. Cependant, l’expérience a montré que dans un milieu corrosif, le matériau peut ne pas exhiber une limite d’endurance de fatigue. Ainsi, cette méthode de la courbure maximale permise doit être utilisée avec précaution dans le cas de l’environnement corrosif.