Modèle numérique

Des essais de simulations numériques ont été réalisés en complément des essais expérimentaux. Le modèle numérique utilisé est présenté de manière succincte dans ce paragraphe.

Les avantages de la simulation numérique du malaxage du béton sont nombreux :

• elle permet de « voir » dans le béton. En effet, le béton est opaque et les malaxeurs ont des mouvements complexes : ils sont clos et leurs parois sont également opaques. De plus, ils sont difficilement instrumentables (difficultés liées aux conditions agressives pour des instruments de mesure, en effet installer une caméra à l'intérieur du malaxeur ou faire de la PIV reste compliqué),

• nous pouvons avoir accès aux champs de vitesse v , de contrainte σ et de pression P en tout point à chaque instant,

• le positionnement des zones rigides (très importantes pour un matériau viscoplastique comme le béton) peuvent être déterminées.

2.4.1 Code de calcul FloMix

Les difficultés numériques rencontrées lors de la mise en place d’une simulation numérique du malaxage du béton dans un malaxeur planétaire ou annulaire sont multiples :

• le béton est viscoplastique,

• la géométrie du malaxeur est complexe et beaucoup de surfaces sont mobiles (planétaire, double arbre, nombreuses pales),

• les particules (granulats) sont rigides,

• l’écoulement présente des surfaces libres,

• les écoulements sont localisés autour des pales et sont instationnaires,

• des glissements peuvent apparaître aux parois, potentiellement caractérisé par un seuil de friction.

Nous utilisons un code de calcul dont le développement a été entrepris pour prendre en compte les difficultés typiques du malaxage. Notons que la complexité du problème rend très couteuse une méthode d'éléments finis standard (remaillages complexes très fréquents, assemblage matriciel...). Ainsi, les codes commerciaux (ou libres) se sont avérés insatisfaisants. Par conséquent, un outil sur mesure [Roquet et Lê, 2006], [Roquet, 2010] a été élaboré. Il repose sur la modélisation des phénomènes de malaxage à l'aide de domaines fictifs [Glowinski et al., 1997] et d'éléments finis mixtes bilinéaires continus (pour la vitesse v et constante pour la pression P et la contrainte σ) avec filtrage de la pression [Brezzi et Fortin, 1991]. Les méthodes de domaines fictifs décrites dans [Glowinski et al., 1997] ont en effet été conçues pour des géométries complexes avec des parois éventuellement mobiles. Elles sont donc particulièrement appropriées pour la simulation d'écoulement dans des malaxeurs. L'avantage principal de ce type de méthodes est d'éviter un remaillage fréquent ainsi que de bénéficier des performances d'une grille cartésienne ce qui permet d'économiser les ressources.

Le code de calcul FloMix est écrit dans un ensemble de modules en fortran 95 sur un système d'exploitation Linux et permet de résoudre des problèmes d’écoulement mettant en jeu des lois de comportement complexes et évolutives, par exemple de type Bingham. Il considère un modèle sans dimension et prend en compte des géométries mobiles

2.4.2 Techniques numériques

Divers tests numériques [Glowinski et al., 1997] ont montré la capacité de la méthode de domaines fictifs à capturer le champ de vitesse de manière efficace. Ceci a été démontré lors de travaux théoriques récents [Girault et al., 2001]. Nous cherchons donc à bénéficier des avantages des méthodes spatiales définies sur des domaines simples (boites, anneaux) notamment l'absence de stockage matriciel ainsi que des solveurs matriciels simples et rapides à base de transformée de Fourier rapide (FFT). La géométrie retenue pour notre étude étant complexe (malgré un traitement en 2D), nous l'immergeons dans une boite englobante contenant le domaine réel d'écoulement : le domaine fictif (figure 2.17) sur lequel nous pouvons définir une méthode peu coûteuse. Un problème sur tout le domaine fictif est alors résolu.

Figure 2.17 Principe général des domaines fictifs

La véritable géométrie apparait alors sous la forme d'un saut de discontinuité des contraintes normales entre la partie réelle de l'écoulement et la partie purement fictive. Ce saut est un multiplicateur de Lagrange associé aux conditions de parois (typiquement des conditions d'adhérence). La rhéologie viscoplastique du béton frais est non-linéaire, il faut en conséquence gérer cette non-linéarité : une solution est d'utiliser des algorithmes de calcul de point de selle (LeTallec et Glowinski, 1989; Dean et al., 2007). En outre un sous-problème de point de selle pour l'incompressibilité ainsi que le couplage entre un problème défini sur une simple grille fixe et des conditions de bords définies sur une géométrie complexe et mobile est résolu.

En pratique, il faut définir une grille fixe sur le domaine fictif, mailler une fois pour toute le bord, stocker et actualiser à chaque pas de temps l'interaction grille/maillage de bord (faible coût et maillage d'éléments finis et ses conséquences). En ce qui concerne le schéma en temps, la méthode des caractéristiques [Rui et Tabata, 2002] est peu coûteuse avec des grilles régulières et donc bien adaptée aux approches par domaines fictifs. Un schéma en temps permet d'éviter de traiter l'inertie comme une non-linéarité en écrivant un schéma pour la dérivée lagrangienne.

2.4.3 Conclusions

Les temps de calculs en 2D pour effectuer un tour de malaxeur avec les paramètres de simulations suivants : un pas de temps ∆t = 10^-3 s et un pas spatial ∆x = 1/256 pour un nombre de Bingham fixé à 100 et Reynolds de 1 est de quinze jours. Le post-traitement pour la fabrication des images en 2D est important, de l’ordre d’une journée. Pour une simulation en 3D, ce temps est multiplié par quatre c’est-à-dire qu’il aurait fallu deux mois pour la même simulation. Le code de calcul est précis suivant une approche globale. Il existe un saut de discontinuité des contraintes ce qui conduit à un défaut de précision près des parois. Globalement, la précision sur la vitesse v est de l’ordre de ∆x³ en paroi alors que pour une méthode aux éléments finis standard est de l’ordre de ∆x² [Girault et al., 2001]. De la même manière, la précision globale sur les contraintes σ est de l’ordre de ∆x tandis que dans le cas d’une méthode aux éléments finis standard la précision sur les contraintes est de ∆x [Girault et al., 2001]. En pratique, l’erreur la plus forte est localisée en paroi. Le code de calcul ne peut donc pas nous donner une estimation précise du champ de vitesse local et des taux de cisaillements locaux c’est-à-dire, par exemple, à proximité de la sonde Viscoprobe.