Modèle magnétique : cartographie de flux avec modèle de Park

Dans le cadre de la conception optimale de machines électriques tournantes triphasées, les modèles magnétiques permettent d’une part de calculer le couple électromagnétique produit par la machine en fonction de ses conditions d’alimentation, d’autre part de déterminer les flux traversant les bobinages des trois phases statoriques pour un couplage ultérieur avec un modèle électrique et, enfin, d’estimer la forme d’onde d’induction dans les parties ferromagnétiques afin de prévoir les pertes fer.

Les modèles éléments finis magnétiques à trois dimensions ou en régime transitoire ne sont pas, en l’état actuel des systèmes informatiques, directement utilisables pour répondre efficacement à ces besoins.

L’approche proposée est focalisée sur une cartographie de flux basée sur un modèle de Park (ou transformation dq) couplé à un calcul éléments finis magnétostatique en deux dimensions. La méthode est entièrement implémentée sous MATLAB et automatisée afin d’être couplée à un optimiseur dans le cadre d’un dimensionnement. Le modèle estime donc un élément essentiel des calculs magnétiques et électriques que sont les flux d’axe d et q en prenant en compte la saturation simple et la saturation croisée, mais il permet également d’évaluer l’induction moyenne dans les culasses statoriques de la machine.

En raison des hypothèses liées au modèle de Park et de la modélisation 2D, cette méthodologie est applicable uniquement aux machines à flux radial à bobinage réparti (et non concentré). Pour des facilités de validation, elle sera exposée pour une machine à aimants enterrés simple couche dont les dimensions sont issues de la thèse de Chédot [24] mais ne se restreint en aucun cas à cette topologie.

2.2.2.1.1 Calcul de flux par la théorie des deux axes dq

Un des problèmes de base du dimensionnement est de connaître les relations non linéaires reliant les courants des bobinages statoriques (voire du bobinage d’excitation pour les machines à double excitation ou à rotor bobiné) et les flux dans les trois phases associées. Nous préférons la notion de flux à la notion d’inductance dont la définition en régime non-linéaire est sujette à caution. La théorie classique pour les machines synchrones à bobinage réparti est basée sur la transformée dq généralement dans la forme attribuée à Park. La transformée dq consiste en un changement de repère qui permet, dans un cas idéal, d’éliminer la dépendance des flux principaux ψm ou magnétisants vis-à-vis de la position rotorique θ, tout en réduisant le nombre de flux, de courants et de tensions de 3 à 2 (a,b,c à d,q) pour des machines triphasées.

Les flux de fuite sont calculés à partir de formulations analytiques, soit : Ψ1 Ψ>1= o1

Ψp Ψ>p= op Eq. II-12

où id iq sont les courants d’axe d et q, ψd et ψq sont les flux d’axe d et q et Lf l’inductance de fuite.

Comme les flux de fuites traversent majoritairement des zones d’air, par nature linéaire, un grand nombre d’auteurs [25], [24] et [6] les déterminent au travers de l’estimation des inductances de fuite. Pour notre application, le calcul des inductances de fuite de têtes de bobines est issu des formulations analytiques comme celle de Liwschitz [26]. D’autres auteurs comme Wentzloff [25] prennent également en compte le flux de fuite autour des logements des aimants en face avant et arrière de la machine en l’ajoutant à l’inductance de fuite de tête de bobine de l’axe d uniquement.

Néanmoins, la théorie de décomposition en deux axes est sujette aux hypothèses fondamentales que Miller [27] formule de la manière suivante :

répartition sinusoïdale des bobinages : les bobinages sont distribués sinusoïdalement autour de la périphérie du stator induisant une variation sinusoïdale des inductances avec la position du rotor et une FEM sinusoïdale. Cette méthode ne permet donc pas de prendre en compte les bobinages concentrés.

absence de saturation : le circuit magnétique est linéaire et nous pouvons donc appliquer le théorème de superposition des flux

D’autres auteurs comme Louis [28] formulent de manière élégante ces hypothèses par :

Circularité englobant les principes de symétrie et de linéarité c'est-à-dire que les enroulements d’une armature triphasée ainsi que les portions de culasse associées à chaque phase sont identiques et décalées de 2π/3 dans l’espace

Premier harmonique : la distribution des champs dans l’entrefer est sinusoïdale

Pas de phénomène secondaire : effets thermiques (les résistances ne dépendent pas des courants injectés), effets de peau dans les matériaux magnétiques (pas de variation de la perméabilité des matériaux magnétiques en fonction de la fréquence) et effet d’encochage ou de denture statorique Dans ce cadre, la transformation dq en régime permanent conduit à l’expression suivante des flux (la même matrice de passage est utilisable pour les courants et tensions) :

qΨ1

Les deux hypothèses de Miller énoncées précédemment ne sont, à strictement parler, jamais respectées et en toute exactitude les flux dépendent des courants d’axe d et q mais également de la position rotorique θ (dénommé modèle 1) :

Ψ1 Ψ1o1, op, ƒ, Ψde„ N… Ψp Ψpo1, op, ƒ„ Eq. II-14 où Ψap est le flux de l’aimant.

Dans ce cadre, il est nécessaire de faire un grand nombre de calculs afin de déterminer un couple, ce qui n’est pas compatible, actuellement, avec une approche de dimensionnement optimal.

Une simplification consiste à considérer les flux indépendants de la position rotorique mais fonction de la saturation et de la saturation croisée (dénommé modèle 2) :

Ψ1 Ψ1o1, op, Ψde„ N… Ψp Ψpo1, op„ Eq. II-15 En effet, la dépendance des flux avec la position est due aux harmoniques de bobinage mais également à toute variation de perméances lors d’une rotation de la machine.

Cela inclut les effets de dentures statoriques, la présence d’éléments magnétiques dissymétrisants dans les culasses comme les trous, chanfreins ou l’utilisation de tôles FeSi à grains orientés.

Par ailleurs, même pour un bobinage sinusoïdal et en considérant les effets secondaires évoqués ci-dessus comme négligeables, il subsiste une dépendance des flux en fonction de la position à cause de saturations locales de la machine en particulier dans les dents, qui sont ici considérées comme négligeables.

Le modèle précédent peut encore bénéficier d’une simplification consistant à négliger les effets de saturation croisée, par ailleurs relativement faibles en ce qui concerne la dépendance du flux d’axe q avec le courant d’axe d (dénommé modèle 3) :

Ψ1 Ψ1o1, Ψde„ N… Ψp Ψpop„ Eq. II-16

Une simplification ultime consiste à négliger purement et simplement la saturation. Seule la dépendance du flux de l’aimant fixe avec une température donnée subsiste (modèle 4) :

Ψ₁ Ψ₁Ψde„ N… Ψp Ψ_p Eq. II-17

Les 4 modèles évoqués ci-dessous peuvent être classés selon les critères suivants :

Modèles 1 2 3 4

Dépendance position

Saturation croisée

Saturation

Temps de calcul - +/- + ++

Figure II-8 : Comparaison des modèles dq

Les modèles 1 et 4 ne sont pas applicables, à l’heure actuelle, dans une approche de dimensionnement optimale. Le modèle 4 est trop peu précis et le modèle 1 induit un temps de calcul trop long. En effet, il revient à effectuer une simulation magnétodynamique de la machine au moins sur un demi pas dentaire.

Seuls les modèles 2 et 3 sont utilisés pour un dimensionnement optimal.

2.2.2.1.2 Méthode de cartographie

La cartographie de flux consiste à définir une grille convenablement choisie (compromis temps de calcul et précision) de courants dans les axes d et

calcul obéit aux règles suivantes :

Le flux dans l’axe d est toujours démagnétisant id négatifs

Les flux présentent des symétries ou antisymétries en fonction du courant i id négatif, soit en prenant en compte la saturation croisée

De là, pour chaque point de fonctionnement de la grille, un calcul éléments finis

linéaire, utilisant le mailleur de la toolbox Pdetool de MATLAB avec éléments de type T3 (triangles à trois nœuds) et le solveur SEF de Vivier [29]

(Le solveur SEF associé au mailleur Pdetool de MATLAB a été validé par comparaison avec un logiciel de calcul élément finis commercial de référence FLUX 2D (voir annexes) afin d’écarter toute considération relative au choix du maillage et type d’

une différence inférieure à 0.5 % entre les deux logiciels.)

Finalement, les flux dans les axes d et q sont déduits d’une tra points hors grille sont approximés par une méthode d’interpolation linéaire.

L’ensemble de la procédure a été automatisée par implémenta

un optimiseur. Le coefficient de foisonnement des tôles est supposé unitaire.

La figure ci-dessous, calculée avec le modèle 2

sur l’axe q d’une IPM, tandis que la saturation croisée est plus visible sur l’axe d.

Figure I éthode de cartographie

La cartographie de flux consiste à définir une grille convenablement choisie (compromis temps de calcul et précision) de courants dans les axes d et/ou q selon le modèle choisi. Le choix du nombre de points de Le flux dans l’axe d est toujours démagnétisant, donc les calculs seront effectuées avec des courant Les flux présentent des symétries ou antisymétries en fonction du courant i

, soit en prenant en compte la saturation croisée :

, pour chaque point de fonctionnement de la grille, un calcul éléments finis

le mailleur de la toolbox Pdetool de MATLAB avec éléments de type T3 (triangles à trois [29], permet de déterminer les flux dans les axes a,

(Le solveur SEF associé au mailleur Pdetool de MATLAB a été validé par comparaison avec un logiciel de calcul élément finis commercial de référence FLUX 2D (voir annexes) afin d’écarter toute considération relative au choix du maillage et type d’éléments utilisé dans les résultats énoncés. Les résultats ont conduit à une différence inférieure à 0.5 % entre les deux logiciels.)

Finalement, les flux dans les axes d et q sont déduits d’une transformation de Park (équation II lle sont approximés par une méthode d’interpolation linéaire.

L’ensemble de la procédure a été automatisée par implémentation sous MATLAB pour u un optimiseur. Le coefficient de foisonnement des tôles est supposé unitaire.

calculée avec le modèle 2, illustre la prise en compte du phénomène de saturation sur l’axe q d’une IPM, tandis que la saturation croisée est plus visible sur l’axe d.

Figure II-9 : Cartographies de flux dans les axes d et q

La cartographie de flux consiste à définir une grille convenablement choisie (compromis temps de calcul . Le choix du nombre de points de donc les calculs seront effectuées avec des courants Les flux présentent des symétries ou antisymétries en fonction du courant iq et ce pour tout courant

Eq. II-18

, pour chaque point de fonctionnement de la grille, un calcul éléments finis magnétostatique non le mailleur de la toolbox Pdetool de MATLAB avec éléments de type T3 (triangles à trois

permet de déterminer les flux dans les axes a, b et c.

(Le solveur SEF associé au mailleur Pdetool de MATLAB a été validé par comparaison avec un logiciel de calcul élément finis commercial de référence FLUX 2D (voir annexes) afin d’écarter toute considération éléments utilisé dans les résultats énoncés. Les résultats ont conduit à nsformation de Park (équation II-5). Les tion sous MATLAB pour une intégration à

illustre la prise en compte du phénomène de saturation

Les cartographies ainsi établies permettent notamment de déterminer le couple (selon la formule II-11) produit par la machine en fonction de l’amplitude des courants statoriques et de l’angle de couple (angle formé entre le courant statorique et l’axe d) :

Figure II-10 : Calcul du couple à partir des cartographies dq et le modèle 2

Pour chaque point du maillage, la procédure permet également de déterminer deux autres cartographies, à savoir celle de l’induction moyenne dans les aimants ainsi que l’induction dans l’entrefer en fonction de la position rotorique.

Ces cartographies sont utilisées dans le cadre d’un couplage avec d’autres modèles, dont le modèle électrique ou de pertes fer.