Modèle d'impact sur un franc pied

Le modèle d'impact développé dans ce chapitre doit permettre de traduire la réponse dynamique d'un franc pied au cours de l'impact d'un bloc en intégrant l'inuence du système racinaire et du houppier au modèle présenté dans le chapitre 3.

Le bloc est assimilé à une sphère rigide. La tige est modélisée comme un cône exible selon l'approche développée dans le chapitre précédent (cf. Chapitre 3). Elle est représentée par une succession de n÷uds reliés par des connexions cylindriques. Pour traduire la déformation de la tige, des forces et des moments sont appliqués entre les n÷uds adjacents en fonction de leurs positions et de leurs vitesses relatives (Figure 6.3). Les relations dénissant les forces et

moments entre les n÷uds sont principalement régies par les paramètres : MOE, EP last, EU nld,

σElast, σRupt, τ, DT ige et TDens.

Comme dans le chapitre 3, le contact entre le bloc et la tige est modélisé par l'intermédiaire de forces de contact appliquées au point de contact. Ces forces sont calculées à partir des interpénétrations et des vitesses relatives entre les objets. La force de contact est répartie entre une composante normale à la surface de contact et une composante dans le plan tangent à cette

surface. Le calcul de l'interaction entre le bloc et la tige est régi par les paramètres suivants :

module d'élasticité radial du bois vert (Er), module de Young d'une roche calcaire (Eb), rapport

entre la raideur normale et la raideur tangentielle (κb_t), et l'angle de frottement du bloc sur le

tronc (ϕb_t).

La longueur de l'arbre, incluant le houppier, est dénie suivant la relation allométrique pour le hêtre issue des travaux de [Quetel, 2005] :

T ree_height= 1, 3 + (73, 805 × D_{T ige}) − (54, 734 × D_{T ige}² ) (4.1)

où T reeheight [m] est la longueur d'un arbre. DT ige [m] est le diamètre mesuré à hauteur de

poitrine de l'arbre.

Franc pied _Modèle

CrownLength Treeheight Mnode X Z Y Δθ_{1_2} Nœuds 1 Nœuds 2

Figure 4.1  Schéma conceptuel de la modélisation d'un franc pied dans le modèle MED. Où CrownLength

est la longueur du houppier. Mnodeest la masse additionnelle aectée aux n÷uds appartenant au houppier.

T ree_height est la longueur de l'arbre, incluant le houppier. ∆θ1_2 est l'orientation de la connexion entre

le n÷ud 1 et le n÷ud 2.

4.2.1 Modélisation de l'ancrage des arbres et du houppier

4.2.1.1 Ancrage des arbres

La MED peut permettre la prise en compte explicite de la contribution du système racinaire sur la réponse dynamique de l'arbre par la modélisation des interactions entre le sol et les racines [Bourrier et al., 2013]. Cependant, un tel modèle serait complexe à calibrer et les temps de simulation pour un impact seraient beaucoup plus longs. Ainsi, nous avons privilégié une intégration simpliée de la contribution du système racinaire.

Dans le modèle MED, la contribution du système racinaire est modélisée en appliquant un moment additionnel au niveau du n÷ud situé au pied du tronc en fonction de l'orientation de la connexion autour des axes X et Y (Figure 6.2). Pour chaque axe (X ou Y), le moment appliqué

4.2. Modèle d'impact sur un franc pied 69

n÷uds inférieurs du tronc (∆θ1_2). À chaque pas de temps, l'incrément de moment (dMroot) est

ajouté à la valeur du moment Mroot au pas de temps précédent :

dM_root= K_root× d∆θ₁_2 (4.2)

où Kroot est un coecient de raideur. d∆θ1_2 est l'incrément d'orientation de la connexion

reliant les deux n÷uds inférieurs du tronc.

Par ailleurs, la valeur du moment Mroot est limitée à une valeur Ma [Dupuy et al., 2005,

Lundström, 2009].

4.2.1.2 Modélisation du houppier

Lors de l'impact d'un bloc sur un franc pied, le houppier contribue à la réduction d'énergie du bloc en raison du déplacement des branches et du tronc. Plusieurs modèles décrivant la réponse dynamique d'un arbre soumis au chargement du vent ou à l'impact d'un bloc ont été développés et assimilent le houppier à une masse répartie sur la partie sommitale de la tige [Kerzenmacher and Gardiner, 1998, Quetel, 2005, Jonsson et al., 2007]. D'autre modèles, plus complexes, utilisent la Méthode des Éléments Finis (MEF) pour considérer explicitement les branches du houppier [Moore and Maguire, 2008, Sellier and Fourcaud, 2009]. Étant donné le peu d'informations concernant l'architecture des branches d'un houppier et la variabilité de celle-ci, nous avons choisi de modéliser le houppier comme une masse additionnelle uniformément répartie sur la partie sommitale des tiges en se basant sur des relations allométriques développées pour le hêtre.

Pour chaque franc pied, le houppier est modélisé par l'addition d'une masse (Mnode[kg])

répartie sur nnode n÷uds situés en tête de tige. La longueur du houppier (CrownLength[m]) est

déterminée grâce à une relation allométrique issue des travaux de [Quetel, 2005] sur le hêtre.

La masse du houppier CrownM ass[kg] est calculée en utilisant une relation allométrique issue

des travaux de [Bartelink, 1997] sur le hêtre. L'utilisation de ces relations allométriques évite la réalisation de simulations aberrantes (une tige de diamètre faible ayant une masse de houppier élevée, par exemple).

CrownLength= 0, 40642 × T reeheight (4.3)

où T reeheight[m] est la hauteur de la tige.

Crown_{M ass}= 0, 0031 × (D_{T ige}× 100)^3,161 (4.4)

où DT ige[m] est le diamètre à hauteur de poitrine de la tige.

Le nombre de n÷uds (nnode) sur lesquels sont appliqués une masse additionnelle (Mnode) est

déni par la relation :

n_node = ^CrownLength

DT ige (4.5)

La masse additionnelle (Mnode) sur chaque n÷ud est calculée de la façon suivante :

M_node= ^{CrownM ass}

4.3 Analyse de sensibilité et méta-modélisation

Les analyses de sensibilité permettent de décrire de quelle façon la variabilité de la réponse d'un modèle est aectée par la variabilité des diérents paramètres d'entrée du modèle. Leur utilisation conduit à identier les paramètres d'entrée majoritairement explicatifs de la variabilité des grandeurs de sortie du modèle. Il est souvent dicile de réaliser ce type d'analyse sur des modèles numériques coûteux en temps de calcul tels que ceux basés sur la MED (Pour cette étude 1000 simulations avec le modèle MED représentent environ une semaine de calcul). Pour résoudre ce problème, nous avons fait le choix de construire, dans un premier temps, un méta-modèle du modèle MED de façon à réaliser, dans un second temps, une analyse de sensibilité à l'aide du méta-modèle [Fang et al., 2005, Marrel et al., 2011, Eisenhower et al., 2012,Sudret, 2012,Garcia-Cabrejo and Valocchi, 2014].

Nous avons choisi de créer un méta-modèle en utilisant une méthode de chaos polynomial (cf. Chapitre 1). La construction du méta-modèle est réalisée à l'aide de l'utilitaire Uqlab développé à l'ETH de Zurich [Stefano Marelli and Bruno Sudret, 2014]. Une fois le méta-modèle construit, une analyse de sensibilité globale basée sur le calcul des indices de Sobol est réalisée (cf. Chapitre 1). L'utilisation combinée d'un méta-modèle et d'une analyse de sen-sibilité globale permet de réaliser une étude robuste pour un temps de calcul réduit [Sudret, 2008]. Le méta-modèle a été construit à l'aide de simulations du modèle MED. Les paramètres d'entrée des simulations sont déterminés de façon à limiter le nombre de simulations néces-saires à la création du méta-modèle. Ils sont échantillonnés suivant une méthode LHS (Latin Hypercube Sampling) qui permet d'explorer de façon optimisée l'ensemble de la variabilité des paramètres d'entrée [McKay et al., 1979,Sacks et al., 1989,Clemson et al., 1995,Fang et al., 2005]. Le méta-modèle est ensuite construit sur la base des simulations réalisées en utilisant l'ex-pansion par chaos polynomial (PCE) [Sudret, 2012,Stefano Marelli and Bruno Sudret, 2014].

Pour un modèle Y = M(X), où X est le vecteur contenant les paramètres d'entrée du modèle et Y est le vecteur contenant les résultats du modèle (énergie dissipée, déviation de la trajectoire du bloc...), la méthode PCE consiste à exprimer le modèle M dans un espace déni par des polynômes orthogonaux. Cette méthode permet de calculer la combinai-son linéaire de ces polynômes assurant une prédiction optimale de Y [Wiener, 1938,Sudret, 2012]. L'erreur de prédiction entre les résultats issus du méta-modèle et du modèle MED est évaluée grâce à l'indice Q. Cet indice est le rapport entre l'erreur déterminée par une méthode de "leave one out" [Allen, 1971] et la variance de la variable de sortie analysée (V ar[Y ]).

Pour calculer Q, on considère n résultats du plan d'expérience. Pour le i-ème jeu de variables

d'entrée du modèle (x(i)), une expansion polynomiale (MP Ci) est construite à partir des n − 1

résultats restants du plan d'expérience. L'erreur résiduelle de prédiction (∆i) est dénie de la

façon suivante :

∆_i= M (xⁱ) − M^{P C}i(xⁱ) (4.7)

où M(xi) est la valeur prédite par le modèle MED pour le jeu de variables d'entrée x(i).

M^{P C}i(xⁱ) est la valeur prédite par le méta-modèle MP Ci pour le jeu de variables d'entrée xi.

4.4. Simulations d'impacts 71