Analyse de sensibilité et méta-modélisation

ω_Ω(t +^∆t

2 ^{) = ωΩ(t −}

∆t

2 ^{) + ˙ωΩ(t)∆t} (1.16)

La position des particules ainsi que leurs orientations au temps t + ∆t sont calculées suivant les équations 1.17 et 1.18.

xΩ(t + ∆t) = xΩ(t) + ˙xΩ(t +^∆t

2 ^)∆t (1.17)

θ_Ω(t + ∆t) = θ_Ω(t) + ω_Ω(t +^∆t

2 ^)∆t (1.18)

Le calcul des positions et des orientations des particules au temps t + ∆t est indispensable à l'initiation d'un nouveau cycle de calcul. Il est important de noter que, pour garantir la stabilité numérique des simulations, le pas de temps choisi doit être susamment petit.

1.6 Analyse de sensibilité et méta-modélisation

La simplication du modèle MED d'impact d'un bloc sur un franc pied ou une cépée est nécessaire pour permettre son utilisation à l'échelle du versant. Les analyses de sensibilité peuvent être utilisées dans cette optique. Ces approches permettent de décrire de quelle façon la variabilité de la réponse d'un modèle est aectée par la variabilité des diérents paramètres d'entrée du modèle. Les objectifs de ces analyses sont variés [Saltelli et al., 2006, Caniou, 2012,Iooss and Lemaître, 2015] :

 Analyser l'inuence des paramètres d'entrée du modèle sur les résultats du modèle (contributions/interactions).

 Identier les paramètres non inuents et simplier le modèle.

 Réduire la dispersion des résultats du modèle en minimisant la variabilité des paramètres les plus inuents.

Plusieurs méthodes d'analyses de sensibilité sont disponibles dans la littérature dont une partie est présentée dans la gure 1.4. Celles-ci peuvent être classées en trois groupes : les méthodes d'analyse par criblage, les analyses de sensibilité locale et les analyses de sensibilité globale [Jacques, 2005].

Les méthodes d'analyse par criblage permettent d'analyser qualitativement l'importance de la variabilité des paramètres d'entrée sur la réponse du modèle. Celles-ci sont généralement utilisées pour les modèles disposant d'un grand nombre de variables d'entrée. On peut citer comme exemple la méthode de Morris [Morris, 1991]. Celle-ci permet de classier l'importance des paramètres d'entrée en trois groupes : ceux ayant un eet négligeable, ceux ayant un eet linéaire important sans interactions avec les autres paramètres et ceux ayant des eets non-linéaires importants ou ayant des interactions importantes avec d'autres paramètres.

Les analyses de sensibilité locale et les analyses de sensibilité globale sont des méthodes d'analyses quantitatives. Elles permettent, d'une part, de hiérarchiser les variables d'entrée les plus inuentes d'un modèle et, d'autre part, de donner un ordre de grandeur des écarts au sein de cette hiérarchie [Jacques, 2005].

One At a Time Linéaire 1er degré Monotone sans interactions Monotone avec interactions Non monotone continu Non monotone discontinu Complexité du modèle

Criblage ^{Décomposition} _{de la variance}

Sobol Monte Carlo Sobol Quasi-MC Classification + méta modèle Morris Test statistique RIV design Fract. fact Rill design - Bifurcations séquentielles - Criblage par groupe Plan d'Exp supersaturé d/2 d 2d 10d 100d 1000d Regression linéaire Rank regression

Tous les effets (tous les ordres) Visualisation des effets principaux Effets principaux (1er Ordre)

Effets principaux et totaux

Nombre d'évaluations du modèle Connaissance du modèle pré requise Meta modèle Smoothing FAST et eFAST

Figure 1.4  Synthèse des méthodes d'analyse de sensibilité [Iooss and Lemaître, 2015]

Les analyses de sensibilité locale permettent d'étudier de quelle façon la variation des paramètres d'entrée autour d'une valeur dite nominale (souvent la valeur moyenne) se répercute sur la réponse du modèle. Plusieurs méthodes d'analyse de sensibilité locale peuvent être utilisées : les méthodes indirectes [Rabitz et al., 1983, Pauw and Vanrolleghem, 2006, Saltelli and Chan, 2008] ainsi que les méthodes directes [Saltelli and Chan, 2008]. Ces méthodes nécessitent généralement un nombre réduit de réalisations pour déterminer l'inuence des diérents paramètres d'entrée sur les résultats. Cependant, elles sont construites en considérant que les inuences entre paramètres d'entrée et de sortie du modèle sont linéaires. De plus, elles ne permettent pas de détecter les interactions entre les paramètres d'entrée.

Les analyses de sensibilité globale sont utilisées pour étudier l'inuence de la variabilité des paramètres d'entrée sur la variabilité des paramètres de sortie. Ces analyses sont généralement basées sur la décomposition de la variance. Elles permettent de déterminer la part de la variance des résultats du modèle numérique expliquée par chaque paramètre d'entrée ainsi que les interactions entre les paramètres d'entrée (interactions de second ordre et d'ordres supérieurs). Une des méthodes hiérarchisant l'importance des paramètres d'entrée du modèle est présentée par Sobol (indices de Sobol [Sobol, 1993]).

Dans cette thèse, nous avons privilégié l'utilisation d'analyses de sensibilité globale. Cepen-dant, l'utilisation de ces méthodes nécessite la réalisation d'un nombre important de simulations du modèle testé. Leur utilisation avec un modèle numérique MED, présentant des temps de calcul long, s'avère donc compliquée. Pour répondre à ces problématiques de temps de calcul, des méthodes utilisant une approximation du modèle étudié (méta-modèle) ont été appliquées pour réaliser des analyses de sensibilité globale pour des temps de calcul réduits. La création d'un méta-modèle consiste à calibrer un modèle mathématique sur la base de la réponse d'un

1.6. Analyse de sensibilité et méta-modélisation 19 modèle numérique en considérant l'ensemble de la variabilité des paramètres d'entrée. Le modèle ainsi créé doit permettre une bonne prédiction de la réponse du modèle d'origine pour un temps de calcul négligeable [Sudret, 2012]. De nombreuses méthodes permettant la création de méta-modèles sont présentées dans la littérature [Fang et al., 2005, Sudret, 2008, Hastie et al., 2009,Simpson et al., 2014].

Dans cette thèse nous avons privilégié l'utilisation de la méthode de construction d'un méta-modèle par chaos polynomial. Cette méthode permet la détermination directe des indices de Sobol [Sudret, 2008] et l'optimisation des temps de calcul nécessaires à la réalisation d'une étude de sensibilité globale pour le modèle MED développé.

1.6.1 Méthode basée sur la décomposition de la variance : les indices de Sobol

La réponse Y ∈ R d'un modèle est fonction des valeurs des paramètres d'entrée Xi =

(X₁, ..., X_d) ∈ R^davec Xi(i = 1, ..., d):

Y = f (Xi) (1.19)

La variabilité des résultats du modèle, induite par la variation des valeurs des paramètres

d'entrée (Xi), est bien décrite par la variance de Y . Les méthodes basées sur la décomposition

de la variance permettent ainsi de déterminer la part de la variance de Y (V ar[Y ]) expliquée

par chaque paramètre d'entrée Xi et les interactions entre les paramètres d'entrée (interactions

de second ordre et d'ordres supérieurs). Les indices de Sobol (Si) et indices de Sobol totaux

(ST i) [Sobol, 1993] sont calculés par la décomposition du modèle en une somme de fonctions de

dimensions croissantes.

La décomposition de la variance peut s'écrire : V ar[Y ] = d X i=1 Di(Y ) + d X i<j Dij(Y ) + ... + D12...d(Y ) (1.20)

où Di(Y ) = V ar[E(Y |Xi)], Dij(Y ) = V ar[E(Y |Xi, Xj)] − Di(Y ) − Dj(Y ) et ainsi de suite

pour les interactions d'ordres supérieurs.

Les indices de Sobol sont dénis de la façon suivante :

Si = ^{Di(Y )}

V ar[Y ] (1.21)

Sij = ^{Dij(Y )}

V ar[Y ] (1.22)

Les indices de Sobol totaux sont nalement dénis suivant l'équation 1.23 [Homma and Saltelli, 1996]. ST i = Si+^X i<j Sij+ ^X j6=i,k6=i,j<k Sijk+ .... = ^X l∈#i Sl (1.23)

L'estimation de ces indices peut s'avérer très coûteuse en temps de calcul et ce coût de calcul augmente avec le calcul des indices d'ordre supérieur. [Iooss and Lemaître, 2015] recommandent donc de limiter l'analyse des indices de Sobol au premier et second ordre. Toutefois, l'estimation

précise de ces indices requière généralement 104 itérations pour obtenir l'indice associé à un

d'expérience, peuvent néanmoins être adoptées et sont décrites dans [Cukier et al., 1978,Saltelli et al., 1999,Tarantola et al., 2006,Saltelli et al., 2007].

1.6.2 Analyse de sensibilité basée sur la méta-modélisation

Dans ce travail de recherche, un méta-modèle est construit sur la base des résultats d'un modèle numérique en utilisant l'expansion par chaos polynomial (PCE). On considère un modèle

f ayant une réponse Y de variance nie.

[Sudret, 2008] propose une description détaillée des diérentes étapes de construction d'un méta-modèle. Cette méthode conduit à la dénition d'un méta-modèle :

Y = f^{P CE}(X) = ^X

α∈A

Yαψ_α(X) (1.24)

où ψα sont des fonctions polynomiales multivariées qui constituent une base polynomiale

orthogonale. Yα est la projection orthogonale de la réponse du modèle selon ψα.

On peut noter que l'utilisation de la méthode PCE pour la construction d'un méta-modèle permet d'établir analytiquement la décomposition de la variance selon Sobol [Sobol, 2001]. Celle-ci permet de déterminer de manière rapide les indices de Sobol (équations 1.21, 1.22) en fonction