Modèle hybride

III.6.1. Définition

Comme mis en évidence sur les exemples précédents, le choix d’un modèle adapté à la somme de productions hydrauliques dépend fortement du cas considéré. Les relevés de production sont plutôt corrélés positivement sur l’ensemble de l’échantillon disponible mais les coefficients varient sur une

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plage importante qui, contrairement à la cogénération, ne s’explique pas uniquement par des périodes de non-production, où d’indisponibilité d’une partie des générateurs.

Il existe de nombreuses manières de modéliser la loi jointe de deux variables aléatoires ; dans cette étude on cherche à analyser la loi de probabilité individuelle associée à chaque générateur aussi bien que la dépendance entre eux.

III.6.2. Copules

Le comportement statistique du vecteur (X,Y) comprend d’une part l’information sur les comportements marginaux des variables X et Y considérées séparément, d’autre part sur la dépendance entre ces deux variables. Il peut être intéressant de découpler les deux, par exemple dans cette étude pour modéliser d’une part le comportement individuel d’un générateur et d’autre part comment la production se synchronise ou non avec la charge. Ce découplage peut être réalisé à travers la notion de copule. Une copule est une fonction de répartition de la loi jointe de (FX(X),FY(Y)). La variable FX(X) suit par définition une loi uniforme sur [0 ; 1], par conséquent la copule est indépendante des lois marginales de X et Y.

Figure III-22 – À partir d’un échantillon (xn,yn), on analyse séparément les lois marginales(histogrammes et la dépendance entre les variables (étude des variables FX(xn) et FY(yn))

Exemple : on définit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois quelconques arbitraires. Un tirage indépendant d’un échantillon (xn,yn) est effectué, et les points correspondants sont tracés sur la

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Figure III-22, en haut à gauche. L’analyse séparée de (xn) et (yn) permet de tracer les histogrammes séparés de X et Y. À partir de ceux-ci on peut tracer l’échantillon (FX(xn),FY(yn)), en bas à droite de la Figure III-22, qui correspond à la densité de la copule associée à (X,Y). Sur cette dernière figure, où les lois marginales ont été « éliminées », la répartition uniforme des points dans le carré unité révèle que les variables FX(xn) et FY(yn) (dont on rappelle qu’elles suivent toutes les deux une loi uniforme sur [0 ; 1]) sont indépendantes ; dans cet exemple, la notion de copule nous suggère donc l’indépendance entre les deux variables X et Y originelles, qui était nettement moins évidente sur le graphe en haut à gauche de la Figure III-22, représentant le tirage d’un échantillon (xn,yn).

La copule C associée au couple de variables indépendantes (X,Y) est une application de ሾͲǢ ͳሿଶ_dans ࣬ qui vérifie :

׊ሺݔǡ ݕሻ א ሾͲǢ ͳሿଶܥሺݔǡ ݕሻ ൌ ࣪ሺܨ௑ሺܺሻ ൑ ݔƬܨ௒ሺܻሻ ൑ ݕሻ ൌ ݔݕ (III-18) De manière générale, pour un couple de producteurs P1 et P2, on cherche à définir une copule C_θd’une famille définie arbitrairement et, par souci de simplicité, ne dépendant que d’un paramètre θ. On peut citer quelques modèles classiques :

· Les copules Gaussiennes sont les copules sous-jacentes des lois normales multidimensionnelles. En dimension 2, l’expression générale est de la forme donnée en équation (III-19) avec r le coefficient de corrélation linéaire entre les deux composantes et ϕ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite unidimensionnelle [Emb01].

׊ሺ—ǡ ˜ሻ א ሾͲǢ ͳሿଶ୰ሺ—ǡ ˜ሻ ൌ න න ^ͳ ʹɎξͳ െ ”ଶ‡^ିୱ మିଶ஡ୱ୲ା୲మ ଶξଵି୰మ †•†– மషభሺ୴ሻ ିஶ மషభሺ୳ሻ ିஶ (III-19)

· La copule à bande diagonale est construite géométriquement pour prendre une densité uniforme sur une bande diagonale du carré [0 ; 1]²[Coo86]. L’expression générale est de la forme suivante (équation (III-20)).

׊ሺݑǡ ݒሻ א ሾͲǢ ͳሿଶ ە ۖ ۔ ۖ ۓɅሺ—ǡ˜ሻൌ_{ͳǦɅ •‹}^ͳ ȁ—൅˜ȁ൏ͳǦɅ‘—ȁʹǦ—൅˜ȁ൏ͳǦɅ _Ʌሺ—ǡ˜ሻൌ_{ʹሺͳǦɅሻ •‹‘‡–•‹}^ͳ ȁ˜Ǧ—ȁ൑^ͳǦɅ ξʹ Ʌሺ—ǡ˜ሻൌͲ•‹‘ (III-20)

Lorsque l’on s’intéresse à la loi jointe empirique entre deux producteurs, des copules de type « bande diagonale » semblent plus adaptées à la représentation que les copules gaussiennes. Néanmoins ces dernières pourraient théoriquement s’étendre à un nombre de dimensions quelconques, ce qui permettrait de représenter un groupe de producteurs. Par ailleurs on ne cherche pas à décrire la loi jointe mais uniquement une variable aléatoire construite à partir des lois marginales et dont le comportement s’approche suffisamment de la somme réellement observée ; par la suite on utilisera donc un modèle gaussien.

III.6.3. Estimation du paramètre θ

Pour un modèle de copule donné, l’estimation du paramètre θ peut se faire par utilisation de la corrélation de Spearman. En effet, si le vecteur aléatoire (X,Y) est construit à partir d’une copule C et deux lois marginales quelconques, alors le rho de Spearman ρn de deux échantillons (Xi)1≤i≤n et (Yi)1≤i≤n

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௡՜ஶߩ_௡ൌ ߩ ൌ ͳʹ ඵ ݑݒ݀ܥሺݑǡ ݒሻ ሾ଴Ǣଵሿమ

(III-21)

ρ est indépendant des lois marginales de X et Y, et ρn en est un estimateur. On peut donc choisir le paramètre θ tel que l’équation (III-21) soit vérifiée en remplaçant ρ par ρn. On donne dans le Tableau III-10 certaines valeurs de ρ en fonction du paramètre. Notons que les modèles sans foisonnement et indépendant correspondent respectivement aux cas particuliers où ρvaut 1 et ρ vaut 0.

Tableau III-10 – Lien entre paramètre de la copule et rho de Spearman des variables aléatoires selon le modèle de copule considéré

Copule Rho Paramètre

Normale ρ 2*sin(πρ/6)

Diagonale sgn(θ)(-θ³+θ²+θ) θ

III.6.4. Application au cas hydraulique

On reprend l’exemple détaillé dans la partie Chapitre IIII.5.2, où les producteurs présentent une corrélation faible. On a déjà mis en évidence que l’un des générateurs avait peu produit, et ce de manière indépendante de la production de l’autre. On se restreint donc aux pas de temps où les deux générateurs sont actifs ; ρ a une valeur de 0.6 et on teste (arbitrairement) un modèle de copule normale. Celle-ci est représentée en Figure III-23 avec la copule empirique, et le modèle de somme obtenu est tracé en Figure III-24 ; les tendances obtenues sont similaires, notamment pour les valeurs hautes.

Figure III-23 – Représentation sur le domaine [0;1]² des courbes de niveaux de la copule empirique (à gauche) et de celles de la copule normale paramétrisée à partir du coefficient de corrélation relevé, cf. Tableau III-10 (à

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Figure III-24 – Puissance relevée et comparaison au modèle avec copule normale de la somme des générateurs étudiés sous condition de fonctionnement simultané. Cas de corrélation faible

Figure III-25 – Puissance relevée et comparaison au modèle avec copule normale de la somme des générateurs étudiés sous condition de fonctionnement simultané. Cas de corrélation forte

Le second couple de générateurs considéré présentait une corrélation forte et le modèle sans foisonnement était une approximation satisfaisante de la somme réellement observée. On teste le modèle par copule à titre de comparaison ; les modèles de sommes sont tracés en Figure III-25. Visuellement, le modèle basé sur la copule n’est pas plus précis au niveau des valeurs hautes de la distribution ; on peut noter néanmoins que les indicateurs de distance K et N diminuent lorsque l’on passe du modèle sans foisonnement au modèle avec copule (de 5 à 3% et de 1.75 à 1.25% respectivement).Visuellement, le modèle avec copule permet de gagner en précision au niveau des valeurs de probabilité basse, alors que l’on souhaite surtout décrire les occurrences de fortes

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production. Pour une étude complémentaire, il pourrait être pertinent de se restreindre à des valeurs hautes de production pour paramétriser la copule retenue.

ð Pour les producteurs hydrauliques, des modèles à corrélation partielle sont nécessaires pour expliquer le comportement joint de plusieurs producteurs.

ð Des modèles basés sur les copules gaussiennes s’avèrent plus ou moins précis selon les couples de producteurs considérés. La méthodologie proposée permet théoriquement de construire des modèles avec plusieurs producteurs, mais des études supplémentaires seront nécessaires.

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