donc pour entrer un programme il faut quand même le créer. Donc il faut déjà savoir comment on peut faire pour tenir compte des mesures de la feuille A4.
C. propose quelque chose [Inaudible].
P : C. il propose une solution c’est : pour tenir compte du fait que les dimensions de la feuille de la boîte sont liées entre elles, on choisit nos hauteurs et par rapport à ça on va pouvoir calculer la largeur et la longueur de la boîte. Est-ce que vous êtes d’accord avec ça ? Oui ?
Les élèves disent qu’ils sont d’accord.
P : Alors on met la dernière proposition. Donc la dernière proposition « on fixe une hauteur, on calcule la longueur et la largeur de la boîte » [P le marque au tableau] Qu’est-ce qu’il faut que je rajoute ?
F. : En respectant les dimensions de la feuille.
E. amène dans le milieu l’idée de créer « un programme qui calcule de façon aléatoire », auquel F. ajoute qu’il faut respecter les dimensions de la feuille. La question légitime posée par P, soit le fait qu’il faudra créer ce programme pour pouvoir s’en servir, fait surgir la proposition de C. de fixer les hauteurs et, par rapport à elles, calculer la largeur et la longueur de la boîte. Ces nouveaux ingrédients du milieu ont probablement surgi grâce au travail sur le tableur, qui joue ici le rôle de milieu : il suggère une automatisation des calculs et un lien entre les mesures relevées des boîtes. Mais c’est aussi l’affirmation de P : « Donc il faut déjà savoir comment on peut faire pour tenir compte des mesures de la feuille A4 » qui invite à trouver une manière de produire ce programme avec les contraintes données par la situation. Pour ce qui concerne la dialectique de l’individu et du collectif, on note que la mise en commun des résultats en utilisant le tableur a permis de faire surgir l’idée de fabriquer un modèle algébrique, en enrichissant le milieu. Ce sont les élèves qui amènent ces nouveaux ingrédients dans le milieu, alors que P occupe encore un topos de direction de l’étude, en posant des questions qui aident à faire avancer la recherche.
3.2
Le modèle fonctionnel
Au sein de la deuxième séance, la réalisation du moment exploratoire est principalement caractérisée par plusieurs épisodes de travail en autonomie. Ces épisodes sont exploités par
48 3 Le cas du moment exploratoire
P dans le cadre de sa direction de l’étude pour faire avancer l’élaboration d’une réponse collective R♥. Un exemple de ces épisodes de travail autonome est fourni par l’extrait suivant.
P parle avec d’autres élèves : Vous avez créé la boîte ?
G. : On a trouvé la fonction, c’était la longueur fois 2x fois. . . la largeur fois 2x fois la hauteur. Parce que x on dit que c’est la hauteur. . . et du coup la longueur ça sera 29,7 et la largeur 21.
V. : Par contre, tu t’es trompé, c’est un moins là. P : Alors comment vous pourriez savoir si ça marche ? V. : À la calculette
P : Comment vous pourrez vérifier si ça marche ce que vous avez fait ? V. : Un graphique... non...
P : Avec quoi vous pouvez le confronter ? V. : Avec les anciennes boîtes.
P : Avec ce que vous aviez fait comme calcul, vous pouvez vérifier si ce que vous avez, ça vous donne bien les mêmes valeurs que ce qu’on avait trouvé nous.
G. lui montre quelque chose et lui dit : Mais madame moi ça me donne ça.
P : Ça avec un graphique on ne peut pas voir si ça correspond aux valeurs. Il faudrait regarder quoi ?
V. : Les tables.
P valide. Puis elle conclut : Donc rentrez-la votre fonction et puis il faut regarder si ça correspond aux valeurs qu’on a trouvées. Comment on fait pour savoir si ça correspond ? Bon je vous laisse explorer votre piste, là.
Dans l’extrait présenté, on voit des élèves expliquer à P le modèle algébrique qu’ils ont trouvé. Avec le guidage de P, ils font des hypothèses pour l’exploiter, notamment avec le graphique ou les tables de la calculatrice. L’apparition d’un embryon d’étape de vérification est ainsi présente : pour contrôler que la fonction créée par les élèves est bien celle permettant de calculer le volume générique de la boîte, ils doivent revenir sur le système (la boîte) et s’assurer que les résultats sont cohérents.
La dialectique de la déduction et de l’expérimentation est ainsi mise en œuvre, articulée à la dialectique des médias et des milieux. On notera cependant que P met dans le milieu des assertions qui sont seulement suggérées par les élèves.
À la fin du travail en autonomie, au sein de la même séance, le résultat proposé par les élèves G. et V. est repris par P avec la classe entière, ce qui permet d’ajouter la modélisation « en mots » dans le milieu collectif, comme on le voit dans ce qui suit :
P fait un point au tableau.
P : Alors V. est-ce que vous pouvez nous expliquer ce que vous avez fait là svp ? Vous avez pris votre feuille, comme ça. . . Après ? [P trace un rectangle au tableau.]
3.2 Le modèle fonctionnel 49
V. : On a tracé un carré. V. explique où elle a mis les carreaux et P le marque dans le rectangle qu’elle a tracé au tableau. V. précise que les carreaux sont « de mesures égales ».
P : Ça vous a permis quoi de tracer ce carré ? Ça vous fait quoi de tracer ce carré ? Qu’est-ce que vous avez fait après ?
G.explique : On a enlevé 5 cm de chaque côté. P marque tout au tableau.
G. : Puis on a découpé un trait sur chaque côté.
P le marque en rouge au tableau. G.explique qu’après elles ont plié le long les traits pour faire la boîte.
L’idée de concevoir un modèle qui puisse marcher avec différentes hauteurs est ensuite suggé- rée par Ju. qui affirme d’avoir fait « une boîte avec 4 ». Cela renforce l’idée que les grandeurs sont liées et favorise la production d’un modèle qui permet de calculer le volume pour n’im- porte quelle boîte.
Ju. interrompt en disant qu’elle a fait une boîte avec une hauteur de 4 cm.
P : Du coup comment on va faire pour aller trouver le volume cette fois-ci dans votre boîte ?
Ju. répond : On enlève 4 au lieu de 5.
P : Donc je vais faire dans les dimensions largeur, longueur [P note au tableau] Donc vous dites quoi comme longueur, largeur. . . ?
Ju. : 21 moins 4. . . moins 8...
P : Donc la hauteur c’est 4. . . et j’enlève quoi ici ? Ju. répond 8.
P : Et la longueur ? Ju. : Pareil.
50 3 Le cas du moment exploratoire
Les nouveaux ingrédients du milieu ont été amenés par les élèves suite à leur travail en autonomie sur les boîtes et avec la calculatrice. Notamment, on voit que c’est l’étude du patron de la boîte qui semble avoir permis cette première étape de la modélisation. Le patron n’avait pas été donné et a pu être produit probablement parce que les élèves possédaient chacun une boîte physique. C’est donc l’articulation tableur-boîte qui permet l’émergence d’un bout de technique. Par rapport à la dialectique de l’individu et du collectif, c’est le travail de certains élèves qui amène des nouveaux ingrédients intégrés ensuite dans le travail collectif, comme on l’a souligné. Le topos de P est dans l’ensemble celui de la direction de l’étude : elle pose des questions qui clarifient ce que les élèves disent, comme par exemple « du coup comment on va faire pour aller trouver le volume cette fois-ci dans votre boîte ? » et qui, en même temps, permettent d’expliciter le travail que les élèves ont fait en autonomie.