Chapitre IV. Autres résultats sur les modèles bidimen- bidimen-sionnels
IV.6. Modèle de dimères quantiques, dopage en mono- mono-mères
Modèle non dopé
Il est bien connu [roKhSar88] que le fondamental du modèle de dimères quantiques sur le réseau carré Éq. (1) est entièrement déterminé au point RK par la fonction de partition Zv=0 du modèle de dimères classiques sans interaction :
où la somme s’étend sur tous les pavages de dimères c du réseau carré.
On peut se poser la question : existe-t-il un modèle de dimères quantiques dont le fonda-mental est donné par la même formule que l’Éq. (14), mais avec cette fois la fonction de partition du modèle de dimères en interactions Éq. (2)
La réponse est positive, et la construction d’un tel modèle, très proche de celle de Rokhsar
| 0i = p 1 Zv=0 X c |ci Éq. (14) | 0i = p1 Z X c
et Kivelson [roKhSar88], a été formulée de manière générale par castelnovo et al. [caS
-telNovo05]. Sans entrer dans les détails, l’idée est de compenser chaque terme cinétique hors diagonal Hcc0 par un terme potentiel diagonal Hcc(c0) qui va dépendre des configurations c0 pour lesquelles Hcc0 est non nul. Explicitons la forme d’un tel Hamiltonien de dimères quantiques, qui s’écrit
où la seconde somme s’étend sur toutes les paires de configurations de dimères (c, c0) dif-férant par un flip. Prenant t = 1 pour définir l’échelle d’énergie, il est facile de voir que si
alors | 0i s’écrit bien sous la forme de l’Éq. (15). Ici Q⌘ 1/T est un nouveau paramètre du Hamiltonien quantique et v est le paramètre du modèle classique, pris encore une fois égal à -1. Par construction, ce modèle présentera un diagramme de phase à température nulle (obtenu en variant le paramètre Q) identique à celui du modèle classique (obtenu en variant la température). En particulier, nous y trouverons une phase critique étendue avec des exposants variant continûment et une transition Kosterlitz-Thouless à température nulle [caStelNovo07].
Dopage en monomères mobiles
Nous pouvons aller plus loin, et construire un modèle de dimères quantiques avec mono-mères mobiles dont le fondamental sera donné cette fois-ci par un modèle de dimono-mères classique, dopé en monomères (en nombre fixé). Il suffit pour cela de rajouter un terme cinétique et potentiel : avec ✏0 c= VmP c00exph Qv 2 h Nc00 ( ) + Nc00 ( ) Nc( ) Nc( )ii et Vm= t. Ici c00 est une configuration connectée à c par un saut de monomères tel que celui représenté dans la Fig. 30. La construction pour un modèle avec nombre de monomères non fixé (avec une certaine fugacité pour les monomères comme dans la Sec. IV.3) est donnée dans la Réf.
[papaNiKolaou07].
Cette procédure nous permet de construire des modèles quantiques ayant un fondamental « classique », ce qui permet de les simuler très facilement. En effet, connaissant le fon-damental, il suffit d’effectuer des simulations sur le modèle classique équivalent (soit par Monte Carlo classique, soit par matrice de transfert) pour obtenir les propriétés du modèle quantique [heNley97]. Toutefois, ces points Rokhsar-Kivelson généralisés ne sont pas for-cément représentatifs de l’ensemble des phases accessibles aux modèles de dimères quan-tiques et il est intéressant de se demander quelles sont les propriétés physiques en dehors de ces points, par exemple lorsque Vm6= tm. Il est nécessaire par contre de recourir à des méthodes purement quantiques (telles que la diagonalisation exacte ou la méthode Monte Carlo quantique « Fonction de Green »). Lorsque tm= Vm = 1, les résultats obtenus sur le modèle classique indiquent que deux monomères tests sont confinés dans la phase
colon-Hv−QDMm = Hv−QDM+X c ✏0c|cihc| − tm X (c,c00) |c00ihc| ✏c=X c0 exp βQv 2 h Nc0( ) + Nc0( ) Nc( ) Nc( )i , Hv−QDM=X c ✏c|cihc| − t X (c,c0) |c0ihc| Éq. (16)
Fig. 30 Illustration du terme de saut de monomère dans le modèle de dimères quantiques dopé en mono-mères (Éq. (27)). Un monomère (dénoté en rouge) peut sauter le long de la diagonale d’une plaquette seulement si celle-ci possède un dimère correctement placé. Les configurations des figures a) et b) sont reliées par un terme hors-diagonal d’amplitude tm. Les termes diagonaux Vm sont représentés dans chaque configuration par un triangle coloré.
b) a)
naire, et déconfinés (algébriquement) dans la phase critique. Si l’on diminue le paramètre de saut des monomères tm< Vm, les calculs de diagonalisation exacte et de Monte Carlo quantique (effectués par d. poilBlanc et F. Becca respectivement) montrent que les deux monomères sont confinés et forment un état lié dans toute la phase critique [poilblaNc06]. Lorsque l’on dope avec une densité de monomères finie, il est important de préciser la statistique quantique des monomères9, prise bosonique ici. En utilisant des arguments qua-litatifs [poilblaNc06], on s’attend à ce que la phase critique ne subsiste pas à dopage fini au contraire de la phase cristalline (comme cela se déduit du diagramme de phase classique de la Fig. 25), mais aussi que le système monomères-dimères subisse une séparation de phase lorsque Vm> tm. Le diagramme de phase conjecturé dans la Réf. [poilblaNc06] est présenté Fig. 31.
9 Si le système ne contient que deux monomères, ceux-ci résident sur des sous-réseaux différents et la statistique fermio-nique ou bosofermio-nique n’intervient pas (les monomères ne se voient pas)
Fig. 31 Diagramme de phase schématique du modèle de dimères quantiques dopé Éq. (16) en fonction de la densité finie nm de monomères. a) Pour 1
Q < Q1
c⇠ 0.65 : à faible densité et faible Vm/tm, le système reste cristallin. En augmentant nm, le cristal fond pour donner lieu à une phase liquide dimères-monomères sans ordre à longue portée. Pour Vm> tm, le système subit une séparation de phase. b) Pour 1
Q > 1
Q
c, la phase cristalline disparaît et ne subsiste qu’à travers une phase critique à densité de monomères strictement nulle.
a) b) n m n m 0 1 V /tm m 0 1 V /tm m