Modèle déformable

Nous avons suivi dans ce travail de thèse le même type d’approche que celle propo- sée par [Poupon,1999b]. Le modèle est composé de plusieurs régions qui se déforment simultanément. Ces déformations consistent en des séquences d’échange d’étiquettes au niveau des contours des structures ou au niveau du contour du fond des structures. L’échange d’étiquettes s’effectue uniquement au niveau des voxels qui appartiennent aux domaines d’évolution des structures en question. A chaque étape de l’évolution des fronts, la topologie des régions déformables doit suivre la topologie des noyaux gris centraux recherchés. Le volume initial est donc construit sous cette contrainte, et les déformations appliquées sont également tenues de préserver cette topologie

grâce à une contrainte ne permettant de changer l’étiquette d’un voxel donné que s’il constitue un point simple pour les deux structures correspondant aux 2 étiquettes à permuter. L’échange d’étiquettes se fait aussi sous la contrainte de minimisation d’une fonction d’énergie analogue à l’hamiltonien d’une distribution de Gibbs. Cette énergie est composée d’une somme de potentiels attachés à des cliques et des poten- tiels à portée plus globale. Elle peut être rapprochée de l’énergie utilisée dans les approches de type contour actif puisqu’elle s’exprime sous la forme : 1)d’un terme d’attache aux données qui guide l’évolution par le ou les contrastes présents dans les données IRM entre les noyaux gris centraux et le reste du cerveau, 2)d’un terme de contrainte de forme renseigné par les a priori anatomiques mesurés lors de la phase d’apprentissage ainsi que par l’atlas probabiliste restreignant le domaine d’évolution, et 3)d’un terme de régularisation qui assure la convergence de l’évolution vers une so- lution "régulière".

E = EDonn´ees+ EF orme+ ER´egularisation (7.4)

Terme d’attache aux données

EDonn´ees est une énergie d’attache aux données qui regroupe les écarts à la

moyenne des niveaux de gris mc(l) de chacune des structures et pour chacun des

contrastes : EDonn´ees= X c Kc X l V_donn´c _ees(l) (7.5) où Kc est une constante réglant l’importance relative de chaque contraste, V_donn´c _ees(l)

est un potentiel qui mesure pour chaque noyau gris d’étiquette l l’écart entre le niveau de gris mesuré en chaque voxel de la structure et la moyenne des niveaux observés sur la base d’apprentissage pour cette même structure [Poupon,1999b] :

V_donn´c _ees(l) = Wc(l) X v (Ic(v) − mc(l))2 2σc(l)2 (7.6) Dans le cas du contraste pondéré en T1 les moyennes de niveaux de gris mT1(l) des

différentes structures sont calculées à partir des valeurs moyennes des coefficients α(l) et β(l) comme détaillé dans l’équation7.3. Wc(l) est une constante de pondération

qui traduit le degré de confiance que l’on a sur l’information de la structure l pour un contraste c donné, et Ic(v) est l’intensité mesurée au point v dans le volume de

données du contraste c. Pour le fond, le calcul du potentiel Vc

donn´ees est différent. Il

tient compte à la fois de la substance blanche et de la substance grise qui le composent et s’exprime comme une fonction des moyennes et des écarts-types de la substance blanche et de la substance grise, comme expliqué par [Poupon,1999b] :

où φ est une fonction qui s’exprime comme une combinaison de deux fonctions définies par morceaux et d’une constante Kof f _{strictement positive :}

φ(mB, mG) =

X

v

min(φ1(v, mB, σB), φ2(v, mG, σG), Kof f) (7.8)

La première fonction φ1 permet d’autoriser les niveaux de gris proches de ceux de la

substance blanche, elle s’écrit sous la forme : φ1(v, mB, σB) =     v_−mB 2σB 2 si v < mB −v−mB 2σB sinon (7.9) La fonction φ2 s’applique quant à elle aux points de niveaux de gris proches de ceux

de la substance grise. Elle s’exprime sous la forme : φ2(v, mG, σG) =     v_−mG 3σG 2 si v < mG  v_−mG σG 2 sinon (7.10)

La justification précise de ces choix et les graphiques correspondants peuvent être trouvés dans [Poupon,1999b].

Terme de forme

L’énergie de forme EF orme mesure pour chaque structure l l’écart par rapport au

volume moyen mV(l), l’écart par rapport à la surface moyenne mS(l) [Poupon,1999b],

et une fonction de la probabilité d’appartenance à la structure en chaque voxel v. Elle résulte donc de la somme sur toutes les structures des 3 potentiels de volume Vvolume,

de surface Vsurf ace et d’atlas Vatlas.

EF orme = Kv X l Vvolume(l) + Ks X l Vsurf ace(l) + Ka X l Vatlas(l) (7.11) avec : Vvolume(l) = (V (l)−mV(l)) 2 2σV(l)2 , Vsurf ace(l) = (S(l)−mS(l)) 2 2σS(l)2 et Vatlas(l) =Pv−log (p(Tl(v)))

où Kv, Ks et Ka sont des coefficients de pondération des potentiels, de volume, de

surface et d’atlas respectivement. V (l) et S(l) désignent respectivement le volume et la surface de la structure l mesurés pendant le processus de déformation. Tl désigne

la transformation qui permet de passer du référentiel du sujet vers la carte de proba- bilité de la structure l exprimée dans le référentiel de Talairach. p(Tl(v)) désigne donc

la probabilité que le voxel v appartienne à la structure l en tenant compte de sa loca- lisation spatiale. Pour le potentiel d’atlas, nous avons choisi de considérer le −log des probabilités pour pouvoir obtenir l’expression de la vraisemblance des probabilités as- sociées à chaque structure. Le terme d’atlas diminue donc lorsque la vraisemblance augmente.

Terme de régularisation

Le terme de régularisation ER´egularisation est construit pour permettre de gérer

correctement les adjacences entre les structures à partir d’un modèle de Potts. Sa re- présentation matricielle Kpotts contient des coefficients d’adjacences permettant d’in-

terdire les adjacences anatomiquement impossibles et d’autoriser les adjacences pos- sibles [Poupon,1999b] et s’utilise de la façon suivante :

ER´egularisation = Kp X l X v_{∈F (l)} X v′ ∈N(v) Kpotts(l, l(v′)) (7.12)

où F (l) désigne le front de la structure l, N(v) désigne l’ensemble des voisins du voxel v et Kp pondère l’importance accordée au terme de régularisation. La matrice Kpotts

est décrite dans le tableau7.2.

Le choix des coefficients Kc, Ks, Kv, Ka et Kp a été fait de manière empirique en

CdG CdD P uG P uD GPG GPD T hG T hD CdG 0 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ CdD ∞ 0 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ P uG 1 ∞ 0 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ P uD ∞ 1 ∞ 0 ∞ 1 ∞ ∞ GPG ∞ ∞ 1 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ GPD ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 0 ∞ ∞ T hG ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 T hD ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 0

TAB. 7.2: Matrice de Potts contenant les coefficients d’adjacence entre structures.

effectuant plusieurs essais de plages de valeurs pour deux sujets test et en évaluant visuellement la qualité de la segmentation.