2.4 Diversité de phase et résolution de problèmes inverses
3.1.3 Le modèle de coronographe parfait
Le modèle de formation d’image utilisé par COFFEE, donné par l’équation 3.1.1, requiert une expression analytique de la FEP coronographique hc(φu, φd). Dans un premier temps, il a été décidé d’utiliser le modèle de coronographe dit « coronographe parfait » développé par J.-F. Sauvage et al. [96], en le modifiant légèrement afin de pouvoir prendre en compte une apodisation
3.1. PRINCIPE dans la pupille d’entrée du système. Dans ce dernier cas, la fonction de transmission pupillaire en amont du coronographe s’écrit :
Pu(r) = Π 2r Du Φ(r), (3.1.10)
avec Du le diamètre de la pupille d’entrée du système, Φ(r) la fonction d’apodisation et Π la fonction porte définie telle que Π(2r/Du) = 1 si r ≤ Du/2et 0 sinon. Le champ électrique en entrée du système s’écrit alors :
ψA =Puejφu. (3.1.11)
Notez qu’au cours de ce premier développement de COFFEE, la présence d’aberrations d’am-plitude ξ, dont l’impact est plus faible que celui des aberrations de phase, a été négligé. Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre 4. D’après [96], le champ ΨB dans le plan focal du coronographe s’écrit, dans le cas du coronographe parfait :
ΨB =F(ψA)− η0F(Pu) (3.1.12)
où η0 est un scalaire qui minimise l’énergie en sortie du coronographe, soit : η0 = arg min
η kF(ψA)− ηF(Pu)k2. (3.1.13)
La valeur analytique de ce scalaire est connue [96], et vaut :
η0 = 1 N ZZ S ψ∗APudr, (3.1.14) avec : N = ZZ S P∗uPudr. (3.1.15)
Dans le cas où aucune aberration n’est présente dans le système, on obtient η0 = 1et ΨB = 0: en l’absence d’aberrations, ce modèle de coronographe supprime totalement la lumière provenant de l’étoile (ou, dans le cas d’une calibration, de la source sur l’axe), d’où son nom de coronographe parfait.
Notez bien que contrairement aux coronographes présentés dans le chapitre 2, ce modèle de coronographe parfait n’est pas à proprement parler un véritable coronographe, au sens ou ce der-nier ne correspond pas à un masque coronographique réel voué à être intégré dans un système d’imagerie coronographique. Ce modèle de coronographe parfait se veut être une modélisation mathématique de l’action d’un coronographe dans un système d’imagerie à haut contraste.
Le champ électrique dans le Lyot Stop ψC est obtenu par propagation du champ ΨB: ψC = (ψA− η0Pu)Pdejφd
=ΦPdejφd− η0ΦPdejφd (3.1.16)
avec Pd(r) = Π(2r/Dd). Le champ électrique sur le détecteur ΨD se calcule dès lors par une simple transformée de Fourier de ψC. Par conséquent, la FEP coronographique hc(φu, φd), définie comme le module carré du champ ΨD s’écrit :
hc(φu, φd) =
F ΦPdejφd
− η0F ΦPdejφd 2
L’équation (3.1.17) donne donc l’expression analytique de FEP coronographique requise par le modèle de formation d’images (équation 3.1.1) utilisé par la première version de COFFEE présentée dans ce chapitre. Cette expression présente l’avantage d’être un peu plus simple que l’expression de FEP coronographique générale (i.e. valable pour un masque coronographique M quelconque établie dans la section2.2.3 du chapitre 2). Par ailleurs, ce modèle de coronographe parfait permet d’obtenir une expression analytique de FEP coronographique incluant un terme de phase turbulente résiduelle, ce qui permettrait à terme d’utiliser COFFEE sur des images acquises durant l’observation scientifique elle-même.
La principale limitation de ce modèle de coronographe réside toutefois dans son adéquation incertaine avec les modèles de coronographes réels. En effet, comme nous l’avons dit plus haut, ce coronographe parfait n’est qu’une modélisation mathématique de l’action d’un coronographe dans un système optique. Par conséquent, une version de COFFEE reposant sur ce modèle ne pourra être appliqué à des données expérimentales que si le modèle de coronographe parfait décrit suffisamment bien les différents coronographes réels présentés dans la section2.2.2du chapitre2
(ARPM, FQPM, ALC...). Ce point fera l’objet d’une étude détaillée dans la suite de ce chapitre.
3.2 Évaluation des performances par simulation
Dans cette section, les performances de la première version de COFFEE sont évaluées par simulations numériques. Les objectifs d’une telle analyse sont multiples, à commencer par véri-fier la validité du formalisme développé dans la section précédente sur lequel repose COFFEE (section3.2.1). Dans un second temps, nous nous intéresserons à l’impact des différentes sources d’erreurs sur la qualité de la reconstruction telles que le bruit (section 3.2.2), la taille de l’objet (section3.2.3), une phase de diversité mal connue (section3.2.4) ou encore la présence d’aliasing (section3.2.5). Enfin, nous analyserons en détail l’adéquation du modèle de coronographe parfait avec les coronographes réels dans la section 3.2.6. Les différentes simulations dont les résultats seront présentées dans cette section (exeption faite de la section3.2.5) ont été réalisées avec les paramètres rassemblés dans le tableau3.1.
Remarquez ici l’absence de terme de régularisation pour les reconstructions réalisées par COF-FEE. Un tel choix est dû à la base utilisée pour ces simulations, composée de 36 modes de Zernike. En effet, la petite taille de cette base, qui ne décrit que les basses fréquences des phases aberrantes, rend l’estimation des différents modes de Zernike composant les aberrations φuet φdassez simple pour pouvoir se passer d’a priori sur ces aberrations.
Afin de générer des aberrations représentative des aberrations optiques entachant un système d’imagerie à haut contraste, la simulation des aberrations φu et φd est réalisée en considérant que la variance de chaque mode de Zernike σ2
k décroît avec l’ordre radial nk du mode de Zernike considéré [97] :
σk2 ∝ 1 n2
k
, (3.2.1)
ce qui correspond à une décroissance en 1/ν2 (ν : fréquence spatiale) de la DSP des aberrations présentes dans le système optique. Une telle décroissance de la DSP, caractéristique des défauts de polissage des surfaces optiques, a été observée dans le cas de l’instrument SPHERE [98,99].
Afin de définir la qualité de la reconstruction réalisée par COFFEE, nous définissons ici l’erreur de reconstruction q (avec, comme précédemment, q ∈ [u, d]) comme l’erreur du front d’onde
3.2. ÉVALUATION DES PERFORMANCES PAR SIMULATION